CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số
dcxbxaxxfy +++==
23
)(
(
0
≠
a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy ++== 23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
)(xfy =
có cực trị
⇔
)(xfy =
có cực đại và cực tiểu
0)(' =⇔ xf
có
hai nghiệm phân biệt
⇔
03'
2
acb −=∆
.
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bước1:Thực hiện phép chia

b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('
93
1
)(
Tức là:
)()(').()( xrxfxqxf +=
Bước 2:Do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên







cxrxfy
.Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là:

)(xrY =
hay
)
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy −+−=
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số :
)12()6(
3
1
23
+−+++= mxmmxxy
có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔

có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
<−≠<−⇔



<−+
−≠
⇔



>+−−=∆
≠+
⇔ m
mm
m
mm
m
Bài 3:Tìm m để hàm số
)1()45()2(
3
1
223
++++−+= mxmxmxy

1
0)1('.1
0'
2
−<<
−
⇔





+−<−
>+
>−+
⇔







<−
>−
>∆
⇔ m
m
m
mm

⇒∀≥+= xxxf 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của
hàm số
863)(
23
+−−= xxxxf
Giải:
.Ta có
)22(3)('
2
−−= xxxf





+=
−=
⇔=−−=⇔=
312
311
022)(0)('
2
x
x
xxxgxf

xxfy
.





−==
==
⇒





>=
<−=
⇒−=
36)2(
36)1(
036)2(''
036)1(''
)1(6)(''
xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct

ta có
)33()3()]1(2)[()(
22
+−−−−−+= mmxmmxxgxf
Với
3≠m
thì
0)( =xg
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên





+−−−−==
+−−−−==
)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1

⇔



=−−
≠
⇔+=
am
a
am
a
am
am
am
m
baxy
3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vậy nếu
0
≥
a
thì không tồn tại m;nếu a<0 thì

ta có
)21)(1()13()]1(2)[()(
2
mmmxmmxxgxf −−+−−−+=
Với
3
1
≠m
thì
0)( =xg
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên





−−+−−==
−−+−−==





∈
=−
⇔



=−−
−=−−
⇔−=≡∆⇔−= m
m
m
mmm
m
xyxy
Bài 4: Tìm m để hàm số
37)(
23
+++= xmxxxf
có đường thẳng đi qua cực đại và
cực tiểu vuông góc với đường thẳng
73 −= xy
Giải:
Hàm số có CĐ,CT
0)(' =⇔ xf
có hai nghiệm phân biệt
21021'



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên







−+−==
−+−==
9
7
32)21(
9
2
)2(2
9
7
31)21(
9
2
)1(1

9
2
21
2
m
m
dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
++−−+= xaxaaxxf
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18≤
Giải:
1.Xét phương trình:
0)2cos1(8)sin3(cos22)('
3
=+−−+= axaaxxf
Ta có
)2cos1(16)sin3(cos'
2
aaa ++−=∆


0)('0' =⇔∀>∆ xfa
có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực
trị tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có



+−=
−=+
)2cos1(421
cossin321
axx
aaxx
Suy ra x1
2
+x2
2
=(x1+x2)
2
-2x1x2=
aaaaaaa
222
cos17cossin6sin9)2cos1(8)cossin3( +−=++−
Khi đó BĐT:x1
2
+x2
2
⇔+≤+−⇔≤ )cos(sin18cos17cossin6sin918
2222
aaaaaa

2
1
0)1('.1
0'
0)1('.2
211
211
+−−∈⇔












−<
+−≥∪−−≤
−<<−
+−−−∈
⇔






xx
3.Theo định lý viét ta có





++=
+−=+
)34(
2
1
21
)1(21
2
mmxx
mxx
Khi đó A=
2
9
9.
2
1
])4(9[
2
1
)1(2
2
34
)21(221