Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

2

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HA
ØM SỐC©u 1
Cho hàm số
1
1
x
y
x



(1) ,có
đồ thò là (C)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
3.
0 0
( , )M x y
la ømột đie
åm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của
hai đường tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc
vào vò trí của điểm M.


2) Gọi
( )M C
có hoành độ
M
x m
. Chứng tỏ r
ằng tích các khoảng cách từ M
đến hai đường tiệm cận của
( )C
không ph
ụ thuộc vào m
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
2
2 2
1
x mx
y
x
 


với m là tham số.
1)
Xác đònh m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số
trên có diện tích bằng 4.
2) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên khi m= -3.
C
©u 5: (2 điểm) Cho hàm số:
4 2 2

©u i 7: (2 điểm) Cho hàm số
2
6 9
2
x x
y
x
 

 

a)
Khảo sát sự bie
án thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Tìm tất cả
các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được
tiếp tuyến với đồ thò,song song với đường thẳng
3
4
y x 


Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

3
C©u 8: (2 điểm)
Cho hàm số
3 2
2 3(2

parabol:
2
5 6y x x  
và
2
5 11y x x   

Viết phương
trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên
Bµi 10: (2 điểm)
a. Khảo sát,vẽ đồ thò (C) của hàm số
3 2
3y x x 

b. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ
thò (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
C
©u 11: (2 điểm) Cho hàm số
4 3 2
3 4(1
) 6 1
y x m x
mx m
   
 
có đồ thò
( )
m
C
.

x
   
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số (1) với m= 5
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua
điểm cực đại và cực tiểu đó.
C©u 14: (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2y x x 

1a. Khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số
1b. Dựa vào đồ thò (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :
4 2
2 0x x m  

C©u 15: (2
điểm)
a. Khảo sát hàm số (C) có phương trình:
2
4 8
2
x x
y
x
 



b. Từ đ

C©u 16:
1. kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) hàm số: y = -(x + 1)
2
(x+4).
2. Dùng
đồ thò (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình : (x + 1)
2
(x+4)
=
(m+1)
2
(m+4)

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

4
C©u 17: ( 3 điểm) C
ho hàmsố
2
( 1)(
)
y x x m
x m
   
(1), v
ới m là tham số thực
1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2
2.Tìm các giá trò của m để đồ thò của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành .Xác đònh tọa

Khảo sát hàm số khi m= 1
b. Tìm tất cả giá trò m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đại
CD
y
,
tung độ đie
åm cực tiểu
CT
y
thỏa:
2 3
2
( ) (4
4)
9
CD CT
y y m 


C©u 20: ( 2 điểm)

1. Khảo sát hàm số
1
1
y x
x
 

.Gọi (C) là đồ thò
của hàm số.

Cho hàm số
2
3 2x x
y
x
 


1.Khả
o sát sự biến thiên và vẽ đồ thò( C) của hàm số.
2.Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
CAU 24:(3 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 2y x x m   
(có đồ thò
là
( )
m
C
), m là tham số

1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m= 0
2. Tìm các giá trò của m sao cho đồ thò
( )
m
C
chỉ có hai
điểm chung với trục Ox

CÂU 26:
Cho hàm số
3 2 2
(2 1)
( 3 2) 4
y x m x
m m x
   
  

1.Khảo
sát hàm số khi m=1
2. Trong trường hợp tổng quát ,hãy xác đònh tất cả các tham số m để đồ thò của hàm
số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung
CÂU 27:
1. Khảo sát hàm số:
2
3 6
1
x x
y
x
 


(1).
2. Tư
ø đồ thò của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò của hàm số:
2
3 6

m số :
2
2
x x
y
x



(C)

1. Khảo sát hàm số (C)
2. Đường thẳng
( )
đi qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại
điểm O(0,0) .Xác đònh b để đường thẳng
( )
cắt
(C) tại hai điểm phân biệt M,N. Chứng
minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố đònh khi b thay đổi.
CÂU 30:
Cho hàm
số :
2
2 2
1
x mx
y
x
 

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

6
Câu 32 :( 2,5 điểm) 1. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
 



a. Khảo sát hàm số đã cho.
b. Xác đònh điểm
1 1
( ; )A x y
( với
1
1x 
) thuộc đồ thò của hàm số trên sao cho khoảng
cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thò là nhỏ nhất.
2. Tìm tập giá trò của hàm số
2
3
1
x
y

 



Tìm các giá trò của m để tiệm cận xiên của đồ thò của hàm số đã cho cắt trục toạ
độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18.
Câu 35 :
Cho hàm số

3 2
3( 1)
3(2 1) 4
y x m x
m x
   
  
( m là tham số )

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m=1
2. Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm
đó đối xứng qua điểm I(0,4)
Câu 36
: Cho
hàm số
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx

m
y x x
x
   
có ba đie
åm
cực trò .Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trò này đều nằm trên đường
cong:
2
3( 1)y x 

Câu 38:

1. Ha
õy vẽ đồ thò hàm số :
2 2 2 2
( 1) 4y x x x
x
   
 

2.Tìm
toạ độ các giao điểm của các đường tiếp tuyến của đồ thò hàm số
1
3
x
y
x



luôn luôn nghòch biến trên
các khoảng xác đònh của nó.
Câu 40:

1. Khảo
sát hàm số :
2
5
2
x x
y
x
 


(C)

2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thò (C) đến
các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vò trí điểm M.
3. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thò (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ
nhất.
Câu 41:

Cho
hàm số
3 2 2
3y x x m x m   

1. Khảo
sát ( xét sự biến thiên . vẽ đồ thò ) hàm số ứng với m= 0.



1. Tìm
giá trò của m sao cho
2y 
với mọi
2x  

2. Kh
ảo sát hàm số với m=1
Câu 44 :
Cho hàm số :
2
8
8( )
x x
y
x m



(1) ,trong đó m là tham số .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) với m=1.
2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m sao cho hàm số (1) đồng biến trên
[1, )

Câu 45:

1
. Khảo sát hàm số :




(1)
2. Tìm một hàm số mà đồ thò của nó đối xứng với đồ thò hàm số (1) qua đường thẳng
x + y – 3 = 0 .
3. C là điểm bất kỳ trên đồ thò hàm số (1) .tiếp tuyến với đố thò hàm số (1) tại C cắt
tiệm cận đứng và ngang tại A và B .Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và tam
giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi.
CÂU 47 :
Cho
hàm số :
4 2
4y x x m  
(C).
1
. Khảo sát hàm số với m = 3
2. Giả sử đồ thò cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác đònh m sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thò (c) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới
trục hoành bằng nhau .
Câu 48: Cho hàm số :
3 2
1
1
3
y x mx x
m
   



5
y m x x
mx
   

(m là th
am số )
1. Với giá trò nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Khảo sát hàm số (C) ứng với m= 0 .
3. Chứng minh rằng từ điểm A(1;-4) có 3 tiếp tuyến với đồ thò (C).
Câu 51:

1. C
ho hàm số :
3 2
3( 1)
3 ( 2) 1
y x a x
a a x
   
 
trong đó a là tham số .
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi a= 0.
b.Với các giá trò nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trò của x
sao cho :
1 2x 

2. Tìm
tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số :
2

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

9
Câu 53: Cho hàm
số :
3 2
2 3 12
1
y x x x   
(1)

1. Khảo sát hàm số (1) .
2. Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) của hàm số (1 ) sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai
điểm đi qua gốc toạ độ .
Câu 54:
Cho hà
m số :
2
( 2) 1
1
x m x m
y
x
   



1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 2 .

  



1. Với như
õng giá trò nào của tham số m thì hàm số nghòch biến trong khoảng
1
;
2
 
 
 
 
?
2. Khảo
sát hàm số khi m = 1.
Câu 57 :
Cho hàm số :
3 2
3 2( 1) 2y mx mx m x    
,trong đó
m là tham số thực.
1. Tìm những điểm cố đònh mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua .
2. Chứng tỏ rằng những điểm cố đònh đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đường cong
có chung một tâm đối xứng.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với giá trò m=1
4. Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thò tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong
các tiếp tuyến của đồ thò thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất.
5. Tìm diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số ( ứng với m = 1) ; tiếp tuyến
tại điểm uốn và trục Oy.

2
2,
5
M
 
 
 
sao cho d cắt đồ thò hàm
số (1) tại hai điểm phân biệt A ,B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
CÂU 60:
Cho hàm so
á :
3 2 2
3y x x m
x m
   

1.
Khảo sát (xét sự biến thiên, vẽ đồ thò ) hàm số ứng với m= 0

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

10
2.
Tìm tất cả các giá trò của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực đại ,cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x 

.Gọi đồ th
ò là (C)
2.Tìm trên đường thẳng y=4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới đồ thò
(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
45

CÂU 63: Cho
hàm số
3 2
2 3( -
3) 11- 3
y x m x
m
  
(
m
C
)
1) Cho
m=2 . Tìm phương trình các đường thẳng qua
19
( , 4)
12
A
và tiếp xúc

với đồ thò (
2
C
) của hàm

c. Tính tích phân :
1
2 2
0
(1 )x x dx 

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

11 Chuyªn ®Ị kh¶o
s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n



TCN: y = 1 vì

lim 1
x
y

BBT:

Đồ thò:
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1
(d) tiếp xúc (C)








2
x+1
= k(x-3)
+ 1 (1)
x-1
-2

3)

0 0 0
( , ) (
)
M x y C
. Tiếp tuyến
của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác
có diện tích không phụ thuộc M.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
  
0 0 0
'( )(
)
y f x x
x y  

  
  
  
2
0 0 0
0
2 2
0 0 0
2
0


Giao điểm
với tiệm cận ngang y = 1.
 
 
   
 
 
0 0
5 2 5 2
1 ,1
3 3
x x
y x B

Giao điểm
hai đường tiệm cận: I(1, 1)
Ta có :
 
   
  

0 0
0
4 5 21 1 1
. . 1 . 1
2 2 2 1 3
A I B I
IAB
x x


12 C©u 2: (2 điểm)
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
1
x
y
x



TXĐ: D=R
\{1}
 
3
,
0
2
1
y
x

  

Hàm số gia
ûm trên từng khoảng xác đònh

0
x
y
x

 


Phương tr
ình tiếp tuyến của (C) tại M:
'
( )( )
0 0 0
y f x x
x y
  

2
2 4 2
3 3
0 0 0
( )
0
2 2 2
1
( 1) ( 1
) ( 1)
0
0 0 0
x x x

x a
   
  
(1)
(
vì
0
x
=1 kh
ông là nghiệm)
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:
1 0
1
,
2
0
a
a
a
 





 
 
 



x



Điều k
iện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía
Ox.

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

13
 
2 2( ) 4
2
0 0 1 0 1
1
0 . 0 0
0 1
1 1
1
0 1
0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 2
1 1
0 0 3 2 0
2 2( 2)
3 3

2, 1
2
3
a a
a
  







2
3
a

 
và
1a 

ĐS:
2
, 1
3
a a

 

C©u 3: (2 điểm)

x


 

 


Tiệm cận đứng: x= -1 vì
lim
1
y
x
 
 

Ta có:
2
2 1
1
y x
x
  

Tiệm cận
xiên: y = 2x - 1 vì
2
lim 0
1x
x



Tiệm cận
đứng : x + 1 = 0 (D1)
Suy ra d
1
(M, D1)
1
1
1
m
m

  

Tiệm
cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d
2
(M,D2) =
2
2 2 1 1
2
1
5 5 1
m m
m
m
  






1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4.
Ta có:
2 2
1
m
y x m
x
   


Với
0m 
thì TCX: y =
2x + m + 2 vì
lim 0
1
m
x
x


 

Giao điểm
TCX và Ox: y = 0



m
S OA OB m

   
 

2
2
( 2) 16
6
m
m
m


   

 

( thỏa
điều kiện
0m 
)
2) Khảo
sát và vẽ đồ thò khi m = -3:
2
2 3 2
(C)
1
x x

y
x
 


TCX: y = 2
x - 1 (theo câu 1)

BBT: Đồ thò:
0 2, 2
0
x y x y   
 

C©u
5: (2 điểm)
Cho:
y = x
4
– (m
2
+ 10)x
2
+ 9 (C

5 44
2
'' 12 20
'' 0
3 9
y x y x
y

   
   


điểm uốn
5 44 5
44
; ;
3 9 3 9
  
  
  
  
  

BBT:


Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

15

0m 
, (C
m
) luôn luôn cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm

(-3,3)
và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0x m x   
(1) Đặt

2
( 0)t x t 

Phương tr
ình trở thành:
2 2
( 10) 9 0t m t   
(2)
Ta co
ù:






( 10) 9t m t  
Ta có: af(9)
=
2 2
81 9 90 9
9 0, 0
m m m   
   

0 9
1 2
t t   

2
9 ( 3;
3)
1 1
3 3
2 1 1 2
2 ( 3;
3)
9
2
2
x x
x x x x
x
x

  

m x x
   
 
(m là tham số)

1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò này.
Ta có:
2 2
' 3 2( 3
) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1)
y x m x
y x m x         

Hàm số có C
Đ, CT

(1) có 2
nghiệm phân biệt.
2 2
' 0 ( 3
) 9 0 6 0 6 0
m m m m
m
   
          

Chia f(
x) cho f’(x) ta được :
1 1 2 1

( ) 3 ,
1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1
2
f x x x
x m x x m x x
x
   
           


Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

16
min ( )
1
m g x
x
 

với
4
( ) 3
2
g x x
x
  

Ta có:
3

( )
2
x x
y C
x
 

 

 TXĐ: D = R\
{2}
2
4 3
'
2
( 2)
x x
y
x
 

 1
' 0
3
x
y
x

 
 

BBT: Đồ thò:
Cho x = 0
9
2
y 

b) Tìm M

Oy sao cho tiếp tuye
án kẻ từ M đến (C)
song song với đường thẳng y=
3
4

x có dạ
ng.
Gọi M(0, b)
Oy
, tiếp tiếp qua
M song song
đường thẳng
3
4
y x 





  

 

 

co ù
nghiệm

(2)
2
4 0 0 4x x x x   
  
Thay
vào (1):
9 5
0 ; 4
2 2
x b x b   
 

Vậy :
9 5
(0; )
, (0; )
1 2

' 6 18 12 ; ' 0
2 5
3 11 3 11
'' 12 18 ; '' 0 ,
2 2 2 2
x y
y x x y
x y
y x y x y
  

    

  

 
       
 
 
điểm uốn I

BBT:

Đồ thò:



(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.

Hàm số luôn đạt cực trò tại
1 2
,x x
.
Ta có:
2 1 1 2
; 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
x m m x
m m x x m m              
(hằng
số)

Vậy:
2 1
x x
không
phụ thuộc m.

Bµi 9: (2 điểm)

a) Khảo sa
ùt hàm số:


18
- Gọi
 

: y= ax +
b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2).
-
 

tiếp xúc
với (P1) và (P2).
2
5 6
2
5 11
x x ax b
x x ax b

   




    

co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

2

   
    
 
 
   


co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

Vậy phương tr
ình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5

C©u 10: (2 điểm)

a) Khảo sát v
à vẽ đồ thò hàm số:
3 2
3 (
)
y x x C 

TXĐ: D = R
2
' 3 6 3
( 2)
y x x x
x
   

b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi
M(a,0)
Ox
, đường th
ẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:
y = k( x - a)
(d) tiếp xúc (C)
2
3 ( ) (1)
2
3 6 (2)
x x k x a
x x k

  




 

3
co ùnghiệm

Thay (2) vào (1):
2 2

Cï §øc Hoµ
Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

19
+) Từ M
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

(3) có 2 ngh
iệm phân biệt
, 0
1 2
x x 
và
1
1 2
k k  
.
0
0
2
0 9( 1
) 48 0
2 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
3
1
3


     

 
 

 

    
 

 

 

và a 0
và a 0
-27a
1
27
a


 



+ 1 =
0



0
' 0
1
x
y
x


 

 


1 1 1 1
2
'' 36 12 '' 0 , ,
3 3 3
3
y x y x y
   
         
   
   
1 1
điểm uốn -
3 3

BBT:


có ba gia
o điểm phân biệt.
Ta có:
 
4 3 2
3 4 1 6 1 ;y x m x mx m     

   
0 1
3 3 2
' 12 12 1 12 12 1 ' 0 1
4 3
2 1
x y m
y x m x mx x x m x m y x y m
x m y m m m

   

 
             

 
 

      


4 3
2
2 1 1
1 1 0
m m
m m
m m m
m
m m m


  



   




    

   



loại
l
oại


loại
loại
nhận
vì m < 0

ĐS:
1 5
2
m



C©u 12: (2
điểm)
Cho

 
3 2
3 2 2 (
)
y x x m
x m C
m
   


1) Khảo
sát và vẽ đồ thò
( )
1

Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0
' 0y
I
 
tiếp tuyến tại I
song song Ox.
2) Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 đie
åm phân biệt
có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
m
C
và Ox.   
 
3 2 2
3 2 2 0 2 0
2
(1)
2
0 (2)
x x m x m x x x m
x

m
m m
P m
m
S
   
 
 

 

   
  
      
  
 
  

  
  

 
ĐS:
1
0
4
m 

C©u 13: (2 ®iĨm)