Chương 4:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ RỜI RẠC
4.1 KHÁI NiỆM DFT
4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT
4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

1
4.1 KHÁI NiỆM DFT
X(
X(
ω
ω
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
Tần số
Tần số
ω
ω
liên tục
liên tục

Độ dài x(n) là vô hạn:
Độ dài x(n) là vô hạn:
n
n

K
Độ dài x(n) hữu hạn là N:
Độ dài x(n) hữu hạn là N:
n
n
= 0
= 0÷
÷
N -1
N -1
⇒
⇒B
B
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là
số rời rạc, gọi tắt là
biến đổi Fourier rời rạc – DFT
biến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)
(Discrete Fourier Transform)

kX
N
n
kn
N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW
===
−+−
+
ππ
2
)(
2
)(





N
Ntuần hoàn với độ dài
tuần hoàn với độ dài
N:
N:

3

X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()(
kj
ekXkX
ϕ
=
Trong đó:
Trong đó:
)(kX
- phổ rời rạc biên độ
- phổ rời rạc biên độ
)](arg[)( kXk
=
ϕ
- phổ rời rạc pha
- phổ rời rạc pha

IDFT:






−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
10:)(
1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N

4
4
2
1
4
;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4
=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3
0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n

4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=

5
Ví dụ: 4.2.2:
a) Tìm FT của dãy x(n)=a
n
u(n), với /a/<1
b) Tìm DFT của dãy x(n)=a
n
rect
N
(n)
c) Vẽ phổ biên độ & pha của FT và DFT với a=3/4, N=16

Biến đổi FT của x(n):
ω
ω
j
j
ae
eX
−
−
=

Biến đổi DFT của x(n):
( )
k
N
N
N
n
n
k
N
N
n
kn
N
n
aW
a
aWWakX
−
−
===
∑∑
−
=
−
=
1
1
)(
1

k
N
a
arctgkX
π
π

7
8
0 8 16 k
4
/X(k)/
a=3/4
N=16
8
0 π 2π ω
4
/X(e
jω
)/
a=3/4

8
8
0 8 16 k
arg[X(k)]
a=3/4
N=16
8
0 π 2π

N
)k(X)n(x
22
 →←
b) Dịch vòng:

N
DFT
N
)k(X)n(x
 →←

Nếu:
Nếu:

0
0 N
kn
N
DFT
N
)k(XW)nn(x
 →←−

Thì:
Thì:
Với:
Với:
(n)rect
N00 NN

4,3,2,1 )(
↑
=nx
x(n)
x(n)
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
a)
n
n
x(n-2)
x(n-2)
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
4
4
3
3
2
2

1
1
N
x(n-1)
4
n
n
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x(n+1)
x(n+1)
4
4
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2

−
=
−=⊗
1
0
2121
N
m
NNNN
)mn(x)m(x)n(x)n(x
Với:
Với:
Chập vòng 2 dãy
x
1
(n) & x
2
(n)
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu:
Nếu:
Chọn:
Chọn:
}N,Nmax{N
21
=
Chập vòng có tính giao hoán:

2121
==⇒==
}N,Nmax{NN,N

Đổi biến n->m:

Xác định x
2
(-m)
4
:

Chọn độ dài N:
∑
−
=
−=⊗=
1
0
21213
N
m
NNNNN
)mn(x)m(x)n(x)n(x)n(x
với N-1≥n ≥0

14
m
m


3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(-m)
(-m)
m
m-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
4
4
3
3
2
2
1
1
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3


15

Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
với 3 ≥ n ≥ 0
x
x
2
2
(1-m)
(1-m)
4
4
m
m0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1

4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(3-m)
(3-m)
4
4
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
2
(-m)

)m(x)m(x)(x

n=1:
2311
3
0
424143
=−=
∑
=
m
)m(x)m(x)(x

n=2:
1622
3
0
424143
=−=
∑
=
m
)m(x)m(x)(x

n=3:
2533
3
0
424143
=−=

N
n
kn
WWnxkXkX

Biến đổi DFT 2 dãy:
NWXk
N
n
===
∑
−
=
1
0
0
1
)0( :0
0
1
1
)( :0
1
0
1
=
−
−
==≠
∑

=
=
k
kN
kXkXkX
:0
0 :
)()()(
2
213



≠
=
==⊗=
∑
−
=
−
n :0
0n :
)(
1
)()()(
1
0
3213
N
WkX

)k(X)n(x
 →←
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
2
1
0
2
1
N
k
N
N
n
N
)k(X
N
)n(x

Nếu:
Nếu:

Thì:
Thì:

(n)
(n)
N2
N2sẽ giống với
sẽ giống với
chập vòng
chập vòng
nếu thêm các mẫu 0 vào sau các
nếu thêm các mẫu 0 vào sau các
dãy
dãy
x
x
1
1
(n)
(n)
và
và
x
x
2
2
(n)
(n) để có chiều dài tối thiểu là N
1
+N

DFT
DFT
x
IDFT
x
1
(n)
N
1+
N
2 -
1
x
2
(n)
N
1+
N
2 -
1
x
3
(n)
N
1+
N
2 -
1
X
1

⊗ x
2
(n)
5
Chập tuyến tính của 2 dãy:
Chập tuyến tính của 2 dãy:
nxnxnx }1,2,3,2,1{)()()(
213
↑
=∗=
Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm
Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm
vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x
vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x
1
1
(n) và x
(n) và x
2
2
(n) để có độ dài tối
(n) để có độ dài tối
thiểu là 5:
thiểu là 5:

−
=
−
=
1
0
)(
1
)(
N
k
kn
N
WkX
N
nx
∑
−
=
−
=
1
0
)()(
N
n
n
znxzX
n
N

1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
)(
1
)(
1
)(
−−
−−
−
=
−
=
−
=
−−
−
−
==
∑∑ ∑
zW
zW

1
)1(
)()1(
)(
N
k
k
N
N
N
zW
kX
N
z
zX

22
4.4.2 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI FOURIER
4.4.2 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI FOURIER

Mối quan hệ giữa biến đổi Z & FT:
ω
ω
j
ez
j
zXeX
=
= )()(


−
−
=
1
0
)
2
(
)1(
)()1(
)(
N
k
k
N
j
N
Nj
j
e
kX
N
e
eX
ω
π
ω
ω

Do:

=
k
N
N
j
N
k
N
j
e
k
N
N
kX
N
eX
π
ω
ω
πω
ω
2
1
1
0
)
2
sin(
2
sin

phép
nhân và N(N-1) phép cộng.

Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,
nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên
DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform).

24
a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN

Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
N
n
kn
N
W)n(x)k(X
∑∑
−
=
−
=

N
)/N(
kr
N
W)r(xW)r(x)k(X

Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:

Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2
M
, nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).

25