Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
29
Bước 3 :
Xác đònh các hệ số bất đònh trong nghiệm tổng quát thông qua các điều kiện
đầu là các giá trò ban đầu của y(n - k).
Phương pháp này có tính chất lý thuyết hơn là thực tiễn, nhằm tìm nghiệm dưới
dạng giải tích. Chúng được trình bày ở đây như là một minh họa để thấy rõ những khó
khăn khi dùng phương pháp giải tích số và sau này ta sẽ thấy những ưu điểm của
phương pháp khác dùng trong thực tế.
Ví dụ 1.11 :
Cho phương trình sai phân sau :
n
nynyny
−
=−+−− 5)2(
6
1
)1(
6
5
)(
với điều kiện ban đầu : y(-2) = 25 và y(-1) = 6
Giải :
Bước 1 :
Giả thiết nghiệm thuần nhất có dạng (nhược điểm là ở chỗ phải mò dạng
nghiệm):
nn
c
bcacny )(
21

c
ccny
−−
+= 3.2.)(
21
Với c
1
và c
2
là hai hằng số tùy ý
Bước 2 :
Tìm nghiệm riêng tương ứng với phương trình có vế phải. Ta cũng lại giả thiết
nghiệm có dạng :
n
3p
5.c)n(y
−
=
Thay vào phương trình ta có
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
30
05
6
1
5
6
5
5[
)2()1(

1
+ 9c
2
= 0
2c
1
+ 3c
2
= 1
chọn c
1
= 3/2 và c
2
= - 2/3
cuối cùng nghiệm phương trình là :
nnn
ny
−−−
+−= 53
3
2
2
2
3
)( ,n ≥ 0
1.5 Các Hệ Thống Đệ Qui Và Không Đệ Qui
1.5.1 Hệ Thống Không Đệ Qui
Một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi PT-SP-HSH bậc N như sau :

∑∑

0r
r
)rn(x.b)n(y ; a
0
= 1 (1.61)
Đònh nghóa :
Hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính bậc không (N = 0)
được gọi là hệ thống không đệ qui.
Nhận xét :
Từ quan hệ (1.49) ta thấy rằng b
r
là hằng số. Hệ thống không đệ qui là hệ thống
có đáp ứng ra y(n) chỉ phụ thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ, ta
viết như sau :
y(n) = F[x(n), x(n - 1), … , x(n - M)] (1.62)
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
31
)n(h
Hình 1.28
-1 0 1 2 3 4 5
1
n
ở đây F[.] ký hiệu là hàm, nếu đặt h(k) = b
r
, ta có :
∑
=
−=
M

r
)kn(y.
a
b
)rn(x.
a
b
)n(y ; a
0
≠ 0

∑∑
==
−−−=
N
1k
k
M
0r
r
)kn(y.a)rn(x.b)n(y ; a
0
= 0 (1.64)
Đònh nghóa :
Hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân bậc N > 0 được gọi là hệ
thống đệ qui.
Nhận xét :
Từ hệ phương trình (1.52), ta thấy rằng b
r
và a

=
−−=
N
k
k
knyanxbny
1
0
)()()( ; a
0
= 1 (1.66)
vậy phương trình sai phân (1.51) là phương trình đặc trưng cho hệ thống đệ qui thuần
tuý.
Nhận xét :
Từ phương trình (1.54), ta thấy rằng b
0
và a
0
là các hằng số, vậy thì hệ thống đệ
qui thuần tuý là hệ thống mà đáp ứng ra y(n) của nó phụ thuộc vào kích thích ngõ vào
chỉ ở thời điểm hiện tại và đáp vào đáp ứng ngõ ra chỉ ở thời điểm quá khứ.
y(n) = F[x(n), y(n - 1), y(n - 2) , … , y(n - N) ] (1.67)
ở đây f[.] ký hiệu là hàm.
Tất nhiên hệ thống đệ qui thuần tuý (1.54) cũng là hệ thống IIR, tức là đáp ứng
xung h(n) của nó có chiều dài vô hạn.
Ví dụ1.14 :
Cho hệ thống đệ qui thuần tuý mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng sau :
y(n) – 3.y(n - 1) +2.y(n - 2) = x(n)
)n(u

αα
ta có: α
1
= 1; α
2
= 2
vậy y
0
(n) = A
1
1
n
≠ A
2
2
n
= h(n)
Xác đònh A
1
và A
2
theo điều kiện đầu và đặt x(n) = δ(n).
n = 0 : y(0) – 3y(-1) +2y(-2) = δ(0) = 1.
ta có : y(0) = 1
n = 1 : y(1) – 3y(0) +2y(-1) = δ(1) = 0.
ta có : y(1) = 3
thay vào y
0
(n) ta có :
y(0) = A

Hệ thống đệ qui thuần tuý trong ví dụ này có cùng vế phải của phương trình sai
phân với hệ thống đệ qui trong ví dụ trên, vậy chúng có chung phương trình đặc trưng,
vì vậy độ ổn đònh của chúng giống nhau mặc dù đáp ứng xung của chúng khác nhau.
Sau này khi xét trong miền z, ta thấy chúng có cùng các cực, vì vậy tính ổn đònh của
chúng là như nhau.
1.6 Thực Hiện Hệ Thống Số
Nhờ có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, chúng ta có thể thực hiện
trực tiếp các hệ thống số bằng các phần tử thực hiện.
1.6.1 Các Phần Tử
Các phần tử thực hiện được biểu diễn trên hình 1.30
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
34
Để biểu diễn sơ đồ khối thực hiện hệ thống, chúng ta viết lại phương trình sai
phân của các hệ thống như sau :
4434421
)](), ,([
1
0
1
)()()(
MnxlnxF
M
r
r
rnxbnxbny
−−
=
∑
−+=

0
2
)()()()(
NnylnyF
N
k
r
knyanxbny
−−
=
∑
−−+=
1.6.2 Thực Hiện Các Hệ Thống Rời Rạc
Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn đònh là hệ thống thực hiện được về
mặt vật lý, dù cho là hệ thống đó là không đệ qui, đệ qui hay đệ qui thuần tuý.
Dựa vào phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cho từng hệ thống này, chúng
ta có thể xây dựng sơ đồ khối tổng quát của chúng như trên hình 1.31 : (a) : hệ thống
không đệ qui, (b) : hệ thống đệ qui, (c) : hệ thống đệ qui thuần nhất.
D
x(n) x(n - 1)
; D : bộ trễ
x
1
(n)
x
2
(n)
x
L
(n

khối F
1
và F
2
, F
1
giống hệ thống
không đệ qui còn F
2
là nhánh phản
hồi. Do đó nhánh phản hồi nên ta
phải xét độ ổn đònh của hệ thống
IIR.
- Hệ thống đệ qui thuần tuý, sơ đồ
nó có b
0
ø F
2
, do F
2
là nhánh phản
hồi nên nó cũng là hệ thống IIR
và ta phải xét độ ổn đònh của nó.
- Ta có thể dùng các phần tử thực
hiện để tìm cấu trúc chi tiết của
hệ thống này.
Ví dụ 1.15 :
Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ
x(n)
b

y(n)
x(n)
b
0
Hình 1.32
b
1
D
b
5
b
2
D
D
D
D
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
36
số hằng :
y(n) = b
0
x(n) + b
1
x(n-1) + b
2
x(n-2) + b
5
x(n-5)
Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi phương trình này.

Giả sử ta có hai dãy x(n) và y(n), tối thiểu một trong hai dãy có năng lượng hữu hạn.
Tương quan chéo của x(n) và y(n) được đònh nghóa như sau :
∑
∞
−∞=
±±=−=
m
xy
,2,1,0n)nm(y)m(x)n(r (1.68)
tương đương với
∑
∞
−∞=
±±=+=
m
xy
,2,1,0n)m(y)nm(x)n(r (1.69)
Ví dụ 1.16 :
Cho hai tín hiệu x(n) và y(n) sau đây.
x(n) = rect
5
(n)
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
37






xy
(-2) = 0,75 ,r
xy
(-3) = 0,25
r
xy
(-4) = 0
b. Đònh Nghóa Tự Tương Quan
Trong đònh nghóa tương quan chéo, nếu ta có x(n) ≡ y(n) thì ta có đònh nghóa tự tương
quan.
Vậy hàm tự tương quan của x(n) được đònh nghóa như
sau :
∑
∞
−∞=
±±=−=
m
xx
,2,1,0n)nm(x)m(x)n(r
tương đương với
∑
∞
−∞=
±±=+=
m
xx
,2,1,0n)m(x)nm(x)n(r
)n(y
Hình 1.33b
-1 0 1 2 3

)n(h
Hình 1.33h
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
38
Ví dụ 1.17 :
Cho dãy : x(n) = rect
3
(n)
Hãy tìm hàm tự tương quan r
xx
(n) và cho nhận xét về kết quả thu được.
Giải :
Giải bằng đồ thò được minh hoạ trên hình 1.34
Nhận xét :
Hàm tự tương quan r
xx
(n) bao giờ cũng đạt được cực đại tại gốc toạ độ n = 0, bởi vì
rằng một dãy bất kỳ bao giờ cũng giống chính nó.
1
)n(r
xx
Hình 1.34c
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
n
)n(x
Hình 1.34a

b. x(n) = cos(30πn/105)
c. x(n) = cos(3πn)
d. x(n) = sin(3n)
e. x(n) = sin(62πn/10)
Bài tập 1.3
Hãy tìm quan hệ giữa dãy xung đơn vò và dãy nhảy đơn vò.
Bài tập 1.4
Hãy biểu diễn toán học và đồ thò của các dãy sau :
)(
0
nrect
nN −
và )(
0
nnrect
nN
−
−
với N > n
0
Bài tập 1.4
Hãy tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vò và dãy chữ nhật.
Bài tập 1.5
Hãy tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vò và dãy dốc đơn vò.
Bài tập 1.6
Tìm chu kỳ N của tín hiệu sau :





cos
8
n
cos)n(x
ππππ
Bài tập 1.7
Ngõ vào của một hệ thống bất biến –dòch tuyến tính (linear shift-invariant) là
tuần hoàn với chu kỳ N.
a. Chứng minh ngõ ra của hệ thống cũng tuần hoàn với chu kỳ N.
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
40
b. Nếu hệ thống là tuyến tính nhưng biến đổi-dòch, thì ngõ ra có còn tuần hoàn
hay không ?
c. Nếu hệ thống là không tuyến tính nhưng bất biến - dòch, thì ngõ ra có còn
tuần hoàn hay không ?
Bài tập 1.8
Tìm phần chẵn và lẻ của những tín hiệu sau :
a. x(n) = u(n).
b. x(n) = α
n
u(n).
Bài tập 1.9
Nếu x
1
(n) là chẵn và x
2
(n) là lẻ , thì y(n) = x
1
(n) . x

a
a. Vẽ tín hiệu )t(x
a
với 0 ≤ t ≤ 30 ms.
b. Giả sử tín hiệu lấy mẫu tại F
s
= 300 mẫu/s. Xác đònh tần số lấy mẫu tối
thiểu tín hiệu rời rạc x(n) = x
a
(nT), T = 1/F
s
và chứng minh tín hiệu là tuần
hoàn. lấy mẫu.
Bài tập 1.13
Xét tín hiệu hình sin tương tự
t3t
π
+π= 720sin480sin)t(x
a
được lấy mẫu 600 lần trên một giây.
a. Xác đònh tỉ số lấy mẫu Nyquist của tín hiệu
)t(x
a
.
b. Xác đònh tần số chồng (folding).
c. Xác đònh những tần số của tín hiệu đã lấy mẫu x(n).
d. Nếu x(n) cho qua bộ chuyển đổi lý tưởng D/A, Xác đònh tín hiệu khôi
phục y
a
(t).

b.
∑
=
=
n
0k
)k(x)n(y
c.
∑
+
−=
=
0
0
nn
nnk
)k(x)n(y
d. y(n) = log{x(n)}
e. y(n) = median{x(n-1), x(n), x(n+1)}
Bài tập 1.17
Cho các đáp ứng xung của hệ thống dòch-bất biến tuyến tính bên dưới. Xác đònh
điều kiện của a để hệ thống ổn đònh.
a. h(n) = a
n
u(-n)
b. h(n) = a
n
{u(-n) – u(n - 100)}
c. h(n) = a
|n|

∑
∞
−∞=
−==
k
knukunununr )()()(*)()(
Hãy tìm dãy r(n).
Bài Tập 1.24
Cho tích chập của hàm xung đơn vò δ(n – n
0
) với tín hiệu x(n).
∑
∞
−∞=
−−=−=
k
nknkxnnnxny )()()(*)()(
00
δδ
Hãy tìm dãy y(n).
Bài Tập 1.25
Cho y(n) là tích chập của h(n) với tín hiệu x(n).
x(n) = u(n) – u(n – n
1
– 1 ) và
h(n) = u(n) – u(n – n
2
– 1 )
Hãy tìm dãy y(n).
Bài Tập 1.26

Hãy tìm dãy y(n).
Bài Tập 1.29
Cho y(n) là tích chập của h(n) với tín hiệu x(n).
x(n) = u(n) – u(n – n
1
– 1 ) và
h(n) = u(n) – u(n – n
2
– 1 )
Hãy tìm dãy y(n).
Bài Tập 1.30
Cho y(n) tích chập của h(n) với tín hiệu x(n).
nnx
0
cos)( Ω va ø h(n) = u(n) – u(n – N )
Hãy tìm dãy y(n).
Bài tập 1.31
Đáp ứng mẫu đơn vò của hệ thống dòch-bất biến tuyến tính là :
h(n) = 3δ(n - 3) + 0,5δ(n - 4) + 0,2δ(n - 5) + 0,7δ(n - 6) - 0,8δ(n - 7)
Tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào x(n) = u(n - 1).
Bài tập 1.32
Đáp ứng mẫu đơn vò của hệ thống dòch-bất biến tuyến tính là :
h(n) = u(-n)
Tìm ngõ ra nếu ngõ vào là x(n) = (1/3)
n
u(n).
Bài tập 1.33
Đáp ứng mẫu đơn vò của hệ thống dòch-bất biến tuyến tính theo hình bên dưới
a. Tìm đáp ứng của hệ thống ứng với ngõ vào u(n - 4).
b. Tìm đáp ứng của hệ thống ứng với ngõ vào là x(n) = (-1)

x
1
(n) = rect
4
(n)
x
2
(n) = u(n)
và hai hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung là g(n) và h(n) :
g(n) = rect
4
(n)
h(n) = rect
4
(n + 1)
a. Hãy tìm đáp ứng ra của từng hệ thống với từng dãy vào x
1
(n) và x
2
(n).
b. Hãy nhận xét tính nhân quả của chúng.
Bài tập 1.38
Hãy tìm đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng ra là :
)(
2
1
)1(
2
1
)()( +−

Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống tổng quát.
Hãy nhận xét tính nhân quả của hệ thống h
1
(n), h
2
(n) và hệ thống tổng quát h(n)
h
1
(n) h
2
(n)
x(n) y(n)
Hình BT 1.40