Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 32 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Chương 3
BIẾN ĐỔI Z
1. Biến đổi z
1.1. Biến đổi z trực tiếp
Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau:
X(z) =
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(x (3.1)
Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau:
X(z) = Z[x(n)] (3.2)
Hay:
)z(X)n(x
z
⎯→← (3.3)
Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ.
Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region
Of Convergence).
VD
: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau:
c
x(n) = {1,2,5,7,0,1}


0 và z
≠

∞Æ
ROC =
C
\{0,
∞
}
e
x(n) =
δ
(n)
X(z) = 1
Æ
ROC =
C

f
x(n) =
δ
(n - k), k > 0
X(z) = z
-k
, k > 0
Æ
ROC =
C
\{0}
g

x(n) = {1,
2
1
,
2
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, …}
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 33 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

X(z) =
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(x
=
∑
∞
−∞=


X(z) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
∞→
1
1N
1
N
z
2
1
1
z
2


Æ
ROC: |z| > ½
Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau:
z = re
jθ
(3.4)
X(z) =
∑
∞
−∞=
θ−−
n
njn
er)n(x
|X(z)| =
∑
∞
−∞=
θ−−
n
njn
er)n(x
≤
∑
∞
−∞=
θ−−
n
njn

+−
0n
n
1n
n
r
)n(x
r)n(x
(3.6)
ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng
đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r
1
) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r
1
).

Im(z)

ROC với r
1
> r
2r
1
Không tồn tại ROC với r
1
< r
2r
2
r
2
r
1
Re(z)

Im(z)

Re(z)

Im(z)


−
−
nếu |az
-1
| < 1 hay |z| > |a|

Hình 3.2 – ROC của Z{a
n
u(n)}
x(n) = a
n
u(n)
⎯→←
z
X(z) =
1
az1
1
−
−
, ROC: |z| > |a| (3.7)
Nếu a = 1, ta được biến đổi z của hàm bước đơn vị:
x(n) = u(n)
⎯→←

=
∑
∞
=
−
−
1n
n1
)za(

X(z) =
( )
N12111
N
)za(...)za()za(1)za(lim
−−−−
∞→
++++−

X(z) =
)za(1
)za(1
)za(lim
1
1N1
1
N
−
+−
−

X(z) =
1
az1
1
−
−
, ROC: |z| < |a| (3.9)

Hình 3.3 – ROC của Z{-a
n
u(-n-1)}
|a|

Re(z)

Im(z)

ROC
|a|

Re(z)

Im(z)


n1
)zb(

Chuỗi thứ nhất hội tụ khi |z| > |a|, chuỗi thứ hai hội tụ khi |z| < |b|
Æ
nếu |b| ≤ |a|
thì X(z) không tồn tại. Ngược lại:
X(z) =
1
az1
1
−
−
-
1
bz1
1
−
−
=
1
abzzba
ab
−
−−+
−

Như vậy:
x(n) = a
n

−−
k
k1n
z)k(x∫
∑
∫
∞
−∞=
−−−
=
ROC
k
k1n
ROC
1n
dzz)k(xdzz)z(X
=
∑
∫
∞
−∞=
−−
k
ROC
k1n
dzz)k(x
(3.12)

Ký hiệu: x(n) = Z
-1
{X(z)}
2. Tính chất của biến đổi z
 Tuyến tính
Nếu:
x
1
(n)
⎯→←
z
X
1
(z)
và: x
2
(n)
⎯→←
z
X
2
(z)
thì: a
1
x
1
(n) + a
2
x
2

n
u(n) và x
2
(n) = 3
n
u(n).
Theo (3.7):
x
1
(n)
⎯→←
z
X
1
(z) =
1
z21
1
−
−
, ROC: |z| > 2
x
2
(n)
⎯→←
z
X
2
(z) =
1

ROC: |z| > 3
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = (cosω
0
n)u(n)
Ta có:
x(n) =
)n(ue
2
1
)n(ue
2
1
njnj
00
ω−ω
+
=
() ()
)n(ue
2
1
)n(ue
2
1
n
j
n
j

ω
= 1
(cosω
0
n)u(n)
⎯→←
z

2
0
1
0
1
zcosz21
cosz1
−−
−
+ω−
ω−
, ROC: |z| > 1 (3.16)
Tương tự:
(sinω
0
n)u(n)
⎯→←
z

2
0
1


Ta có: x(n) = u(n) – u(n – N)
Theo (3.8):
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

u(n)
⎯→←
z
X(z) =
1
z1
1
−
−
, ROC: |z| > 1
Theo (3.18):
u(n – N)
⎯→←
z
X(z) = z
-N
1
z1
1
−
−
, ROC: |z| > 1
Æ


thì: a
n
x(n)
⎯→←
z
X(a
-1
z), ROC: |a|r
1
< |z| < |a|r
2
(3.20)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = a
n
(cosω
0
n)u(n)
Theo (3.16) và (3.20):
a
n
(cosω
0
n)u(n)
⎯→←
z

22

1
zacosaz21
cosaz
−−
−
+ω−
ω
, ROC: |z| > |a| (3.22)
 Đảo thời gian
Nếu:
x(n)
⎯→←
z
X(z), ROC: r
1
< |z| < r
2

thì: x(-n)
⎯→←
z
X(z
-1
), ROC:
1
r
1
< |z| <
2
r

Nếu:
x(n)
⎯→←
z
X(z)
thì: nx(n)
⎯→←
z

dz
)z(dX
z
−
(3.25)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = na
n
u(n)
Theo (3.7):
a
n
u(n)
⎯→←
z

1
az1
1
−
−

⎯→←
z

()
2
1
1
az1
az
−
−
−
, ROC: |z| > |a| (3.26)
Cho a = 1:
nu(n)
⎯→←
z

()
2
1
1
z1
z
−
−
−
, ROC: |z| > 1 (3.27)
 Tích chập
Nếu:

x
1
(n) = {1,-2,1}

↑

x
2
(n) =
⎩
⎨
⎧
≤≤
khác0
5n01

Ta có: X
1
(z) = 1 -2z
-1
+ z
-2
= (1 – z
-1
)
2

Theo (3.19): X
2
(z) =


Mà X(z) = X
1
(z)X
2
(z) nên x(n) = x
1
(n) * x
2
(n)
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 39 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Từ ví dụ này, ta có thế thực hiện tích chập của hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n) như
sau:
c
Tính biến đổi z của x
1
(n) và x
2
(n) (tương ứng là X
1
(z) và X
2
(z))

X
2
(z)
thì:
∑
∞
−∞=
−=
l
21xx
)ln(x)n(x)l(r
21
⎯→←
z

)z(X)z(X)z(R
1
21xx
21
−
=
(3.29)
VD
: Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = a
n
u(n), -1 < a < 1
Theo (3.7):
X(z) =
1
az1

Theo (3.10):
a
n
u(n) + b
n
u(-n-1)
⎯→←
z

1
abzzba
ab
−
−−+
−
, ROC: |a| < |z| < |b|
Thay thế b = 1/a:
a
n
u(n) +
n
a
1
u(-n-1)
⎯→←
z

1
z
a

2
)R
xx
(z)
ROC: |a| < |z| < 1/|a|
Hay:

2
a1
1
−
a
n
u(n) +
2
a1
1
−
n
a
1
u(-n-1)
⎯→←
z
R
xx
(z)