Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
88
Chương III
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 Mở Đầu
Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để
chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền
tần số liên tục ω. Chúng ta xem xét sự liên hệ biểu diễn ở hình 3.1.
3.2 Biến Đổi Fourier Của Tín Hiệu Rời Rạc
3.2.1 Đònh Nghóa Biến Đổi Fourier
a. Đònh Nghóa
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n)
∑
∞
−∞=
−
=
n
njj
enxeX
ωω
)()( (3.1)
Công thức trên cho thấy, ta biến đổi tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n
sang tín hiệu X(e
jω
) trong miền tần số ω (tần số f = (ω/2π)).
Ta ký hiệu sử dụng tóan tử sau :
FT[x(n)] = X(e
jω

89
)](Re[
ω
j
eX : Phần thực của X(e
jω
)
)](Im[
ω
j
eX : Phần ảo của X(e
jω
)
• Thể hiện dưới dạng Modun và argument
)](arg[
)()(
ω
ωω
j
exjjj
eeXeX = (3.3)
| | : là modun
arg : gọi là argument.
)(
ω
j
eX : gọi là phổ biên độ của x(n).
)(arg
ω
j

ωϕωω
jjj
eeXeX = (3.7)
• thể hiện dưới dạng độ lớn và pha
Giả sử ta thể hiện
)(
ω
j
eX ở dạng sau đây :
)(jjj
e)e(A)e(X
ωϕωω
=
(3.8)
)()(
ωω
jj
eXeA = (3.9)



<π+
±±=≥π
=
ω
ω
ω

,
0)e(A,)1k2(


≤=
nn
x
nxnxE (3.12)
nếu
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
90
∑
∞
−∞=
∞<
n
nx )(
thì
∞<






∑
∞
−∞=
2
)(
n
nx

Giải :
a.
∑∑∑
∞
=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞===
0
1
1)()(
nnn
nunx
∑
∞
=
∞==
0
2
1
1
n
x
E
Vậy X
1
(e
jω

(e
jω
) là không tồn tại.
c.
∞<==
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
1)()(
3
nn
nnx
δ
∑
∞
−∞=
==
n
x
nE 1)(
2
3
δ
vậy X
3
(e
jω
) là tồn tại.

91
Vậy X
4
(e
jω
) là tồn tại.
3.2.3 Biến Đổi Fourier Ngược (IFT)
Chúng ta biết rằng X(e
jω
) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có chu kỳ là
2π và X(e
jω
) tồn tại nếu điều kiện (3.11) được thoả mãn. Vậy chúng ta có thể khai triển
hàm X(e
jω
) thành chuổi Fourier trong khoảng (-π, π) vì thế, chúng ta có thể xem những
hệ số sau khi khai triển là x(n), có nghóa chúng ta có thể tìm thấy x(n) từ X(e
jω
).
Từ công thức (3.11) ta có :
∑
∞
−∞=
−
=
n
njj
enxeX
ωω
)()(

ta biết rằng :
∫
−
−



≠
=
=
π
π
ω
π
ω
nj,0
nl,2
de
)nl(j
nếu
nếu
(3.14)
vậy :
∫
∑
−
−
∞
−∞=


1
)(
(3.15)
Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây :
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deeXnx
njj
)(
2
1
)(
(3.16)
nj
n
j
enxeX
ωω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
Ta có thể dùng toán tử sau đây để biểu diễn biến đổi Fourier ngược :

ω
ω
0
e
)e(X
c
nj
j
0
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
92
với n
0
: số nguyên
Hãy tìm x(n), hãy vẽ X(e
jω
) và x(n) với ω
c
= π/2, n
0
= 4
Giải :
Từ biểu thức (3.15) ta có :
)]([sin
)(
)](sin[
)(
1
2

−=
−
−
=
−
−
=
==
−
−
−
−
∫∫
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
π

/
2 π 2π
|X(e
j
ω
)|
ω
Hình 3.2a
-5π/2 -2π -3π/2 -π -π
/
2 0 π
/
2 π 3π
/
2 2π 5π/2
arg[X(e
j
ω
)]=ϕ(ω)
ω
10π
Hình 3.2b
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
93
)4(
2
)4(
2
sin

1
(n) và x
2
(n) và biến đổi Fourier của chúng là :
FT[x
1
(n)]= X
1
(e
jω
)
FT[x
2
(n)]= X
2
(e
jω
)
Chúng ta coi x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x
1
(n) và x
2
(n) như sau :
x(n) = a
1
x
1
(n) + a
2
x

ωωω
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑
−=== )()()]([)(
0
Đổi biến số : l = n – n
0
, ta có :
)()()(
00
ω
ωω
ωω
j
njnj
lj
n
j
eXeeelxeY
−−
−
∞
−∞=
==
∑

tăng thêm một lượng -ωn
0
.
Ví dụ 3.3:
Cho x(n) = rect
N
(n – n
0
)
- Hãy tìm X(e
jω
)
- Hãy tìm phổ biên độ và phổ pha của x(n).
Giải :
áp dụng tính chất trễ ta có :
)]([)]([)()]([
0
0
nrectFTennrectFTeXnxFT
N
nj
N
j
ω
ω
−
=−==
lần lượt tính ta có :
2
sin

j
−
+−−−
−
==
Vậy phổ biên độ và phổ pha của x(n) như sau :
2
sin
2
sin
)(
ω
ω
ω
N
eX
j
=
[]












Bây giờ ta tìm quan hệ giữa FT[x
*
(n)] và FT[x(n)] :
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
95
∑
∞
−∞=
−
==
n
njj
enxeXnxFT
ωω
)()()]([
*
*
***
)()()]([











nj
eXeXenx
−−
∞
−∞=
==






=
∑
Vậy
)()]([
**
ω
j
eXnxFT
−
= (3.26)
Nếu x(n) là thực thì :
)()(
*
nxnx ≡ và )]([)]([
*
nxFTnxFT =
Vậy đối với tín hiệu x(n) thực, ta có quan hệ sau đây :
)()(

)](Re[
ω
j
eX : là hàm chẵn của ω
)](Im[
ω
j
eX : là hàm lẻ của ω
Tương tự đối với modun và argument ta cũng có :
)()(
ωω
jj
eXeX
−
= (3.31)
)](arg[)](arg[
ωω
jj
eXeX
−
−= (3.32)
Vậy ta nói rằng
)(
ω
j
eX là đối xứng (hoặc đối xứng chẵn), còn )](arg[
ω
j
eX là phản đối
xứng (hoặc đối xứng lẻ).

−∞=
−






=






===
00
4
3
4
3
)()()]([
n
n
j
n
nj
n
n
njj




−
−
=
−
=
−
−
4
3
cos
2
3
1
sin
4
3
cos
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4

+−
−
=
ω
ω
ω
j
eX
2
4
3
cos
2
3
1
sin
4
3
)](Im[






+−
=
ω
ω
ω

1
sin
4
3
arg)](arg[
−
−=
j
eX
3.3.4 Tính Chất Biến Số n Đảo
Giả sử có tín hiệu x(n) và biến đổi Fourier của nó là :
[
]
)(arg
)()()]([
ω
ωω
j
eXjjj
eeXeXnxFT ==
Bây giờ ta tính biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n) :
∑
∞
−∞=
−
−=
n
nj
enxnxFT
ω

===−
−
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
97
Vậy với tín hiệu x(n) thực, ta có thể nói rằng : nếu tín hiệu bò đảo biến số n
ngược lại quanh gốc toạ độ thì phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha
của nó bò đổi dấu.
3.3.5 Tích Chập Của Hai Tín Hiệu
Giả xử ta có hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n)
)()]([
11
ω
j
eXnxFT = ; )()]([
22
ω
j
eXnxFT =
Ta có dãy x
3
(n) như sau :
x
3
(n) = x
1

∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑∑∑
−=






−= )()()()(
2121
áp dụng tính chất trễ (3.3.2.2) ta có :
kj
k
jjkj
k
j
ekxeXeXekxeX
ωωωωω
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑

)())]([)]().([
''
ω
π
ω
π
π
ωωω
deXeXeXnxFTnxnxFT
jjj
∫
−
−
=≡≡
Chứng minh :
()
njjj
n
nj
n
j
edeeXnxenxnxeX
ωω
π
π
ωωω
ω
π
−
−

1
ω
π
π
π
ωωω
deXenx
jj
n
∫
∑
−
−−
∞
−∞=
=
Vậy ta có :
()
(
)
'
2
)(
13
''
)(
2
1
ω
π

j
eXnxFT =
Thì
ω
ω
d
edX
jnnxFT
j
)(
)]([ =
(3.35)
Chứng minh :
nj
n
j
enxeX
ωω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
nj
n
nj
n
nj
n
j

Vậy ta có :
)]([)(
)(
nnxFTennx
d
edX
j
nj
n
j
==
−
∞
−∞=
∑
ω
ω
ω
3.3.8 Trễ Tần Số
Nếu ta có :
)()]([
ω
j
eXnxFT =
thì :
)e(X)]n(xe[FT
)(jnj
00
ω−ωω
= (3.36)

chuyển tần số của phổ
)(
ω
j
eX đi một lượng ω
0
. Phổ )(
ω
j
eX được minh hoạ trong hình
3.3 dòch đi một lượng
3
2
π
.
-2π -π 0 π
/
3 2π
/
3 π 2π
ω
X(e
j
ω
)
Hình 3.3a
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
99
3.3.9 Quan Hệ Parseval

*
21
*
21
2
1
)()(
(3.37)
Quan hệ (3.37) gọi là quan hệ Parseval
Chứng minh :
() ()
ω
π
ω
π
π
π
ωω
π
π
ωω
deeXnxdeeXnxnxnx
njj
n
njj
nn
∫
∑
∫
∑∑

ωω
deXeXdenxeX
jj
n
njj
∫∫
∑
−−
∞
−∞=
−
=






=
1
*
21
*
2
2
1
)(
2
1
trong trường hợp x

theo hàm của tần số. Ta ký hiệu nó là S
XX
(e
jω
)
2
)()(
ωω
jj
XX
eXeS = (3.39)
Ta biết rằng năng lượng của tín hiệu x(n) là E
x
:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
-2π -π 0 π
/
3 2π
/
3 π 2π
ω
X(e

−
= (3.40)
3.3.10 Đònh Lý Tương Quan Và Đònh Lý Wiener Khintchine
Nếu ta có :
)()]([
11
ω
j
eXnxFT =
)()]([
22
ω
j
eXnxFT =
thì
[
]
(
)
(
)
ωωω
jjj
xxxx
eXeXeRnrFT
−
==
21
)()(
2121

∞
−∞=
∑∑
−= )()(
21
đổi biến m – n = l
mj
m
jlmj
mn
eeXmxelxmx
ωωω
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
∞
−∞=
∑∑∑
== )()()()(
21
)(
21
)()()()(
2112
ωωωω
jjjj
eXeXeXeX

(
)
(
)
ωωω
jjj
xx
eXeXeR
−
=)(
Nếu hàm tự tương quan của x(n) thực, ta có :
()
(
)
(
)
)()(
2
*
ωωωωω
j
xx
jjjj
xx
eSeXeXeXeR ===
−
Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu.
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số

)
(
)
ωωωω
jjj
xx
j
xx
eXeXeSeR
−
=≡
21
)()(
2121
(3.44)
3.3.11 Tổng Kết Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Đối Với Tín Hiệu Rời Rạc
Bảng 3.1.
Tính chất Miền biến số n Miền tần số liên tục ω
Ký hiệu
Cặp biến đổi Fourier
Tuyến tính
Trễ
Đối xứng
Liên hợp phức
Biến số đảo
Tích chập
Tích (đại số)
x(n)
x
1

x
1
(n) * x
2
(n)
x
1
(n) . x
2
(n)
)(
ω
j
eX
)(
1
ω
j
eX
)(
2
ω
j
eX
∑
∞
−∞=
−
=
n

jj
eXeX
−
=
)](Im[)](Im[
*
ωω
jj
eXeX
−
−=
)()(
ωω
jj
eXeX
−
=
)](arg[)](arg[
ωω
jj
eXeX
−
−=
)(
*
ω
j
eX
−
)(

Vi phân trong miềm ω
Trễ tần số
Điều chế
Quan hệ Parseval
Tương quan
Đònh lý Weiner –
Kintchine
nx(n)
)(
0
nxe
nj
ω
x(n) cosω
0
n
∑
∞
−∞=
n
nxnx )()(
*
21
∑
∞
−∞=
n
nx
2
)(

)(
2
1
)()(
00
ωωωω
++
+
jj
eXeX
∫
−
π
π
ωω
ω
π
deXeX
jj
)()(
2
1
*
21
∫
−
π
π
ω
ω

n
n
z)n(x)z(X)n(ZT (3.45)
Miền hội tụ là ROC:
21
rZr << , r
1
: bán kính vòng trong, r
2
: bán kính vòng
ngoài
Chúng ta có thể biểu diễn biến đổi Z dưới dạng toạ độ cực sau đây:
ω
j
rez = (3.46)
ở đây
rZ = và
ω
=]arg[Z
Tiếp tục chúng ta có :
[]
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
====
n