TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG


yxD
0,
¢
³"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û
yxD
0,
¢
£"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu yaxbxca
2
'(0)
=++¹
thì:
+
a

+ Nếu D < 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a
2
=- )
+ Nếu D > 0 thì
gx
()
có hai nghiệm
x x
12
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
gx
()
khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
gx
()
cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm
x x

ì
³
ï
<£Û>
í
ï
>
î
+ xxP
12
00
<<Û<

·
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)max()
£"ÎÛ£
;
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)min()
³"ÎÛ³

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số
yfx
()

=++¹
thì:
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
>
³"ÎÛ
í
£
î
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
<
£"ÎÛ
í
£
î

2. Tìm điều kiện để hàm số

hạn điểm thuộc
(;)
ab
.
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û³ (*)
thì f đồng biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()max()
³
ab

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 2

· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û£ (**)

(;)
-¥
Û
gtt
()0,0
³"<
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
>
ï
ï
ì
>>
Ú
íí
£>
î
ï
³
ï

î
ï
³
ï
î

b) Hàm số f nghịch biến trên
(;)
ab
Û
yx
0,(;)
¢
³"Î
ab
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
(;)
ab
.
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢

£
không đưa được về dạng (*) thì đặt
tx
=-
a
.
Khi đó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
aaa
¢
==+++++
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
-¥
Û
gtt
()0,0
£"<
Û
a
a
S
P
0
00
00

P
0
00
00
0
D
D
ì
<
ï
ï
ì
<>
Ú
íí
£<
î
ï
³
ï
î

3. Tìm điều kiện để hàm số
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trước.
· f đơn điệu trên khoảng

1212
()4
+-=
(2)
· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số
axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=¹
+

a) Đồng biến trên
(;)
a
-¥
.
b) Đồng biến trên
(;)
a
+¥
.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 3

axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=ạ
+

a) Nghch bin trờn
(;)
a
-Ơ
.
b) Nghch bin trờn
(;)
a
+Ơ
.
c) Nghch bin trờn
(;)
ab
.
Tp xỏc nh:
e
DR
d
\
ỡỹ
-

.
Khi ú bpt:
fx
()0

tr thnh:
gt
()0

, vi:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
aaa
=+++++-
a) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
-Ơe
d
gxhmx()(),
a
a
ỡ
-
ù



e
d
gttii
()0,0()
a
ỡ
-
ù


ớ
ù
"<
ợa
a
ii
S
P
0
00
()
00
0
ỡ
>
ù

">
ợe
d
hmgx
[;)
()min()
a
a
+Ơ
ỡ
-
Ê
ù

ớ
Ê
ù
ợ

b) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
+Ơe
d


ớớ
DÊ<
ợ
ù

ù
ợ

c) (2) ng bin trờn khong
(;)
ab( )
e
d
gxhmx
;
()(),(;)
ab
ab
ỡ
-
ù
ẽ

ớ
ù
"ẻ

Trường hợp 1 Trường hợp 2
Nếu
fxgxhmi
()0()()()
£Û³
Nếu bpt:
fx
()0
³
không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt:
tx
a
=-
.

í
ï
³"<
îe
d
hmgx
(;]
()min()
a
a
-¥
ì
-
³
ï
Û
í
£
ï
î

a) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
-¥
ì
<D>
ÛÚ
íí
D£>
î
ï
³
ï
î

b) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
a
+¥e
d
gxhmx()(),
a
a
ì
-
ï
£
Û
í
ï
³">

()0,0()
a
ì
-
ï
£
Û
í
ï
£">
îa
a
iii
S
P
0
00
()
00
0
ì
<
ï
ï
ì
<D>
ÛÚ
( )
e
d
hmgx
[;]
;
()min()
ab
ab
ì
-
Ï
ï
Û
í
£
ï
î
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 5

Cõu 1. Cho hm s
ymxmxmx

2
Cõu 2. Cho hm s yxxmx
32
34
=+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
0
=
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong
(;0)
-Ơ
.

ã
Tp xỏc nh: D = R.
yxxm
2
36
Â
=+-
. y
Â
cú
m

+ Nu
m
3
>-
thỡ
0
D
Â
>

ị
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xxxx
1212
,()
< . Khi ú hm s
ng bin trờn cỏc khong xx
12
(;),(;)
-Ơ+Ơ
.
Do ú hm s ng bin trờn khong
(;0)
-Ơ


20
ỡ
>-
ù
-
ớ
ù
->
ợ
(VN)
Vy:
m
3
Ê-
.

Cõu 3. Cho hm s
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=-++++
cú th (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong
(2;)
+Ơ
+Ơ

m
12
+Ê

m
1
ÊCõu 4. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm ng bin trờn khong
K
(0;)
=+Ơ
.

ã
Hm ng bin trờn
(0;)
+Ơ
yxmxm
2
3(12)(22

"ẻ
+Ơ

Ta cú:
xx
xx xxfx
x
2
2
2
6(
1)1
1
2
()02
()
01;
2
41
Â
=
+-
+-==-=
=
+

Lp BBT ca hm
fx
()
trờn



b)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+

m
(1)
ạ-
,
K
(1;)
=+Ơ
. S:
0
m


c)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+


2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong
K
(;2)
=-Ơ
.

ã
Tp xỏc nh: D = R; ymxmx
22
(1)2(1)2
Â
=-+
.
t
tx
2
=
ta c: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
Â
==-++-++-
Hm s (1) nghch bin trong khong
(;2)
-Ơ
gtt
()0,0
Ê"<

TH1:

0
0
ỡ
<
ù
ù
D>
ớ
>
ù

ù
ợ



m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1

1
(1)(1)21
3
=-+ +
(1)
m
(1)
ạ
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong
K
(2;)
=+Ơ
.

ã
Tp xỏc nh: D = R; ymxmx
22
(1)2(1)2
Â
=-+
.
t
tx
2
=
ta c: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410

ớ
Ê
ù
ợ
TH2:
a
S
P
0
0
0
0
ỡ
<
ù
ù
D>
ớ
<
ù

ù
ợ



m
mm
mm
m

thỡ hm s (1) nghch bin trong khong
(2;)
+ƠCõu 7. Cho hm s
yxxmxm
32
3
=+++
(1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3.
2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1.

ã
Ta cú
yxxm
2
'36
=++
cú
m
93
D
Â
=- .
+ Nu m 3 thỡ
yxR
0,
Â

+=-=
.
YCBT


l
1
=


xx
12
1
-=


xxxx
2
1212
()41
+-=


m
9
4
=
.

Cõu 8. Cho hm s yxmx

Ă
ị
hm s nghch bin trờn
Ă

ị
m = 0 khụng tho YCBT.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 7

+ Nu
m
0
ạ
,
yxmkhim
0,(0;)0
Â
"ẻ>
hoc
yxmkhim
0,(;0)0
Â
"ẻ<
.
Vy hm s ng bin trong khong
xx
12

01
1
01
ộ
-=
=
ờ
-=
ở
.

Cõu 9. Cho hm s yxmxm
42
231
= +
(1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2).

ã
Ta cú
yxmxxxm
32
'444()
=-=-

+
m
0
Ê

;1
ự
ẻ-Ơ
ỷ
.
Cõu hi tng t:
a) Vi yxmxm
42
2(1)2
= +-
; y ng bin trờn khong
(1;3)
. S:
m
2
Ê
.

Cõu 10. Cho hm s
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1

-Ơ
thỡ ta phi cú
mm
11
-Ê-
(2)
Kt hp (1) v (2) ta c:
m
21
-<Ê-
.

Cõu 11. Cho hm s
xxm
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(;1)
-Ơ-
.

ã

Hm s (2) ng bin trờn
(;1)
-Ơ-
yxmgx
(;1]
'0,(;1)min()
-Ơ-
"ẻ-Ơ-Ê
Da vo BBT ca hm s
gxx
(),(;1]
"ẻ-Ơ-
ta suy ra
m
9
Ê
.
Vy
m
9
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(;1)
-Ơ-Cõu 12. Cho hm s
xxm
y
x


Ta cú: fxmxx
2
()0243
Ê-+
. t gxxx
2
()243
=-+

gxx
'()44
ị=-

Hm s (2) ng bin trờn
(2;)
+Ơ

yxmgx
[2;)
'0,(2;)min()
+Ơ
"ẻ+ƠÊ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 8

Da vo BBT ca hm s
gxx

.

ã
Tp xỏc nh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
== Ta cú: fxmxx
2
()0243
Ê-+
. t gxxx
2
()243
=-+

gxx

mx
22
23
(2).
2
-+
=
-

Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong
(;1)
-Ơ
.

ã
Tp xỏc nh:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
-+-
==

i
S
P
'0
'0
()
0
0
ộ
D=
ờ
ỡ
D>
ờ

ù
>
ớ
ờ
ù

ờ
ợ
ở

m
m
m
mm
2


Vy: Vi m
23
+ thỡ hm s (2) nghch bin trờn
(;1)
-Ơ
.

Cõu 15. Cho hm s
xmxm
y
mx
22
23
(2).
2
-+
=
-

Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong
(1;)
+Ơ
.

ã
Tp xỏc nh:
DR{m}
\2
=

yx
gttii
21
'0,(1;)
()0,0()
ỡ
<
Ê"ẻ+Ơ
ớ
Ê">
ợ

ii
S
P
'0
'0
()
0
0
ộ
D=
ờ
ỡ
D>
ờ

ù
<
ớ

ợ
ở
m
23
Ê-
Vy: Vi m
23
Ê- thỡ hm s (2) nghch bin trờn
(1;)
+Ơwww.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 9

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3:
yfxaxbxcxd
32
()
==+++

A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình
y
0
¢

dykxbdykxb
111222
:,:
=+=+
thì
kk
kk
12
12
tan
1
-
=
+
a

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đường thẳng
dypxq
:
=+
.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
=
(hoặc k

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện
IAB
SS
D
=
.
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S
cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện
IAB
SS
D
=
.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
– Giải điều kiện:
d
Id
D
ì
^

a
=-¥ hoặc K
2
(;)
a
=+¥
.

yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=-
a
. Khi đó:
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
aaa
==+++++ 9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả:

==+++++

Hàm số có cực trị thuộc K
1
(;)
a
=-¥ Hàm số có cực trị thuộc K
2
(;)
a
=+¥

Hàm số có cực trị trên khoảng
(;)
a
-¥

fx
()0
Û=
có nghiệm trên
(;)
a
-¥

(;)
a
+¥

fx
()0
Û=
có nghiệm trên
(;)
a
+¥
.
gt
()0
Û=
có nghiệm t > 0
P
S
P
0
'0
0
0
é
<
ê
ì
D³
ê
Û

12
0
<<

P
0
Û<

b) Hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả xx
12
a
<<

gt
()0
Û=
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả tt
12
0
<<
S
P

thoả
tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0
ì
D>
ï
Û>
í
ï
>
îwww.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 11

Cõu 1. Cho hm s
yxmxmxmm
32232
33(1)=-++-+- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi

m
yxyxmm
2
1
2
33
ổử
Â
=-+-+
ỗữ
ốứ

Khi ú:
yxmm
2
11
2
=-+
;
yxmm
2
22
2
=-+

PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l
yxmm
2
2
=-+

=++-=
ở

(C
m
) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc Ox

PT (1) cú 3 nghim phõn bit


(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1


m
gm
30
(1)30
D
ỡ
Â
=->
ớ
-=-ạ
ợ



m
3
<

du

mm
2
3(32)0
-+<



m
12
<<
.

Cõu 4. Cho hm s yxmxmx
32
1
(21)3
3
=-+
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.

ã
TX: D = R ; yxmxm

m
m
1
1
2
ỡ
ạ
ù

ớ
>
ù
ợ
.

Cõu 5. Cho hm s yxxmx
32
32
= +
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng
yx
1
=-
.

)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;

Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
'22
3333
ổửổửổử
=-+-++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứị

mmmm
xxyyxyyx
121122
22
22;22

yx
1
=-

xy ra 1 trong 2 trng hp:
TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng
yx
1
=-m
m
29
21
32
-==
(khụng tha (*))
TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng
yx
1
=-( ) ( )
II
x
mm
xxxx
m

ỗữỗữ
ốứố
+
=-=-
ứ

Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l:
m
0
=
.

Cõu 6. Cho hm s
yxmxm
323
34
=-+ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.

ã
Ta cú:
yxmx
2
36
Â

)
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x


ABd
Id
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ



mm
mm
3
3
240
2
ỡ
ù
-=
ớ
=
ù
ợ


m


PT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit


m
0
ạ
.
Khi ú 2 im cc tr l: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)ị

ABmm
3
(2;4)
uuur

Trung im I ca AB cú to : Immm
3
(;231) ng thng d:

=
ù
ợ
uuurr



m
2
=

Cõu hi tng t:
a) yxxmxmdyx
322
15
3,:
22
=-++=-
. S:
m
0
=
.

Cõu 8. Cho hm s
yxxmx
32
3=-+ (1).
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com

Ta cú:
yxymxm
1121
2
3333
ổửổử
Â
=-+-+
ỗữỗữ
ốứốứị
ng thng
D
i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh
ymxm
21
2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ

nờn
D
cú h s gúc km
1
2

12
1210
23
ổử
=--=-=
ỗữ
ốứ

Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I
ẻ
d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0

Cõu 9. Cho hm s yxmxxm
32
3(1)92
=-+++-
(1) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
yx
1
2
= .

ã

Gi s cỏc im cc i v cc tiu l
AxyBxy
1122
(;),(;)
, I l trung im ca AB.
ymmxm
2
11
2(22)41
ị=-+-++
; ymmxm
2
22
2(22)41
=-+-++

v:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3
ỡ
+=+
ớ
=
ợ

Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l ymmxm

=-++-
, vi
m
l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi
m
1
=
.
2) Xỏc nh
m
hm s ó cho t cc tr ti
xx
12
,
sao cho xx
12
2
-Ê
.

ã
Ta cú yxmx
2
'36(1)9.
=-++

+ Hm s t cc i, cc tiu ti
xx
12

m
m
2
13
'(1)30
13
D
é
>-+
Û=+->Û
ê
<
ë

(1)

+ Theo định lý Viet ta có xxmxx
1212
2(1);3.
+=+=
Khi đó:

( ) ( )
xxxxxxm
22
121212
24441124
-£Û+-£Û+-£
mm
2

1
3
->
.

·
Ta có:
yxmxm
2
'3(1222
)()
=-+-
+
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
Û=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<
)

m
mmmm
m

( ) ( )
xxxx xxxx
2
12 122 21
2
1
1
3
1
4
9
Û=+
>
->

mmmmmm
22
329329
4(12)4(2)1161250
88
+-
Û >Û >Û>Ú<

Kết hợp (*), ta suy ra
mm
329
1
8
+
>Ú<-

Ta có:
yxmxm
2
'2
=-+
.
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
Û=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<
)

Û
mm
2
0
D
¢
=->

Û


³

Û

m
m
165
2
165
2
é
-
£
ê
ê
+
ê
³
ê
ë
(thoả (*))

Câu 13. Cho hàm số yxmxmx
32
11
(1)3(2)
33
= +-+
, với
m

=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,Û

2
m5m 7
00
D
¢
>Û-+>
(luôn đúng với
"
m)
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 15

Khi ú ta cú:
xxm
xxm
12
12
2(1)
3(2)

+-==
.

Cõu 14. Cho hm s
yxmxx
32
43
=+-
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai im cc tr
xx
12
,
tha
xx
12
4
=- .

ã
yxmx
2
1223
Â
=+-
. Ta cú:
mm
2
360,

31
=+++
;
12
x 2x3
+=
S:
m15
0
=-
.

Cõu 15. Cho hm s yxaxax
32
1
34
3
= +
(1) (a l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi a = 1.
2) Tỡm a hm s (1) t cc tr ti
x
1
,
x
2
phõn bit v tho món iu kin:

xaxa
a

12
,

aa
2
4120
D
=+>



a
a
3
0
ộ
<-
ờ
>
ở
(*). Khi ú
xxa
12
2
+=,
xxa
12
3
=-
.

a
2
2
412
1
+
=

(
)
aa
340
+=

a
4
=-Cõu 16. Cho hm s
yxmxmx
322
29121
=+++
(m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i ti x
C
, cc tiu ti x
CT



m
0
ạ

Khi ú:
( ) ( )
xmmxmm
12
11
3,3
22
= =-+ .
Da vo bng xột du y
Â
, suy ra
CẹCT
xxxx
12
,
==

Do ú:
CẹCT
xx
2
=



l cỏc s dng.

ã
Cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh l cỏc s dng


PT
ymxxm =
2
'3(2)60
=+++ cú 2 nghim dng phõn bit

am
mm
mmm
m
mmm
P
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031
0032
0
3(2)
202

Cõu 18. Cho hm s
yxmxmx
322
11
(3)
32
=-+- (1), m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú cỏc im cc tr
xx
12
,
vi xx
12
0,0
>>
v
xx
22
12
5
2
+=
.

ã
yxmxm
22
3
Â

ù
ợ



m
m
m
32
14
14
2
2
ỡ
<<
ù
=
ớ
=
ù
ợ
.

Cõu 19. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
(m l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) cú im cc i, im cc tiu, ng thi

2
450
(1)570
21
1
23
D
ỡ
Â
= >
ù
ù
=-+>
ớ
-
ù
=<
ù
ợ


m
57
45
<<
.

Cõu 20. Cho hm s
m
yxmxmx

Hm s cú C ,CT tha món xx
12
1
<<
khi m > 0 v (1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1
t
tx
1
=-

ị

xt
1
=+
, thay vo (1) ta c:
mtmtm
2
(1)2(2)(1)10
++-++-=
mtmtm
2
4(1)450
+-+-=

(1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1

(2) cú 2 nghim õm phõn bit
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com

Cõu 21. Cho hm s
32
(12)(2)2
yxmxmxm
=+-+-++
(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú ớt nht 1 im cc tr cú honh thuc khong
(2;0)
-
.

ã
Ta cú:
yxmxm
2
32(12)2
Â
=+-+-
;
y
0
Â
=
xmxm
2
32(12)20
+-+-=
(*)
Hm s cú ớt nht 1 cc tr thuc

Ta cú:

( )( )
mm
mm
m
xx
m
mm
xx
m
xx
2
2
12
12
12
450
'450
21
20
3
10
20
(1)1
(21)2
2
7
40
220

ợ
>
ù
ợ()
( ) ( )
( )( )
( )
mm
mm
m
fm
m
m
xx
m
m
xx
2
2
12
12
450
'450
2
020
21
(2)2

++>
ù
ợ( )
mm
mm
m
fm
m
m
xx
m
xx
2
2
12
12
450
'450
350
5
21060
21
(3)1
0
3
0
3

)
m
5
;12;
3
ộử
ộ
ẻ ẩ+Ơ
ữ
ờ
ở
ởứCõu 22. Cho hm s yxx
32
32
=-+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2) Tỡm im M thuc ng thng d:
yx
32
=-
sao tng khong cỏch t M ti hai im cc
tr nh nht.

ã
Cỏc im cc tr l: A(0; 2), B(2; 2).
Xột biu thc

yx
42
32
;
22
55
ỡ
ỡ
=-
==
ớớ
=-+
ợ
ợ
ị

M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 18

Cõu 23. Cho hm s

m
10,
D
=>"

Khi ú: im cc i
Amm
(1;22)

v im cc tiu
Bmm
(1;22)
+

Ta cú
m
OAOBmm
m
2
322
2610
322
ộ
=-+
=++=
ờ
=
ở
.



mm
'9303
D
=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;

Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
'22
3333
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ



D
// d:
yx
43
=-+

m
m
m
2
24
3
3
23
3
ỡ
ổử
-+=-
ù
ỗữ
ù
ốứ
=
ớ
ổử
ù
-ạ
ỗữ
ù

) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr
vuụng gúc vi ng thng d:
yx
37
=-
.
ã Ta cú: yxmx
2
'37
2+
=+
. Hm s cú C, CT


y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
.
mm
2
'21021
D
=->> (*)
Gi hai im cc tr l
(

27
()(21)3
99
ổử
==-+-
ỗữ
ốứ
;
m
yyxmx
2
222
27
()(21)3
99
ổử
==-+-
ỗữ
ốứ

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 19 ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:

ợ



m
310
2
=
.

Cõu 26. Cho hm s yxxmx
32
32
= +
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d:
xy
450
+-=
mt gúc
0
45
=
a

;;;

Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
'22
3333
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứị

( ) ( )
mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++==== -
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ


1
4
-
.
Ta cú:
k
k
mkk
kkk
m
k
1
3
39
11
1
4
5
10
44
tan45
115
1
1
1
1
443
2
4
ộ

a) yxmxmmxmm
322
3(1)(232)(1)
= +-+
, dyx
1
:5
4
-
=+
,
0
45
=
a
. S:
m
315
2

=Cõu 27. Cho hm s yxx
32
32
=-+
(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s .
2) Tỡm m ng thng i qua hai im cc tr ca (C) tip xỳc vi ng trũn (S) cú

= m
315
-=
mm
4
2;
3
-
==.

Cõu 28. Cho hm s
m
yxmxC
3
32()
=-+ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi
m
1
=
.
2) Tỡm m ng thng i qua im cc i, cc tiu ca
(
)
m
C
ct ng trũn tõm
I
(1;1)
,

D
i qua cỏc im C, CT ca th hm s cú
phng trỡnh l:
ymx
22
=-+

Ta cú
( )
m
dIR
m
2
21
,1
41
D
-
=<=
+
(vỡ m > 0)
ị

D
luụn ct ng trũn tõm I(1; 1), bỏn kớnh R
= 1 ti 2 im A, B phõn bit.
Vi m
1
2
ạ

22
==
m
m
m
2
21
123
2
2
41
-

==
+
(H l trung im ca AB)

Cõu 29. Cho hm s
yxmxxm
32
692
=+++ (1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t gc to O n
ng thng i qua hai im cc tr bng
4
5
.

ã

xm
yymxm
2
2
.(68)4
33
ổử
Â
=++
ỗữ
ốứị
ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s (1) cú PT l:
ymxm
2
:(68)4
D
=

m
dOmm
m
42
22
44
(,)64101370
5
(68)1

(1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im
A
(1;4)
-
n
ng thng i qua hai im cc tr bng
12
265
.

ã
Ta cú: yxxm
2
366
Â
=-+-
. Hm s cú 2 im cc tr

PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit


mm
2


m
dA
mm
2
61812
(,)
265
472333
D
-
==
-+



m
m
1
1053
249
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
(tho (*))

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit



m
03
D
Â
><
.
Ta cú:
xmm
yyx
12
21
3333
ổửổử
Â
=-+-++
ỗữỗữ
ốứốứị
PT ng thng qua hai im cc tr l:

.
Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn
D
.
Ta cú
dIIHIA
(,)
D
=Ê
. Du "=" xy ra


IA
D
^



m
m
23
12.01
34
ổử
+-==
ỗữ
ốứ
.
Vy dI
5

2
0
ộ
=
Â
=
ờ
=-
ở
.
th (Cm) cú im cc i
Am
(2;4)

v im cc tiu
Bm
(;0)
-

ị
AB
25
= .

Cõu 33. Cho hm s
yxmxmxm
223
23(1)6=-+++.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s cú hai im cc tr A, B sao cho AB

=

mmmm
223
(1)(331)2
-+ +=


mm
0;2
==
(tho iu kin).

Cõu 34. Cho hm s yxmxmxmm
3223
33(1)41
=-+ +-
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=-
.
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho DOAB vuụng ti O.

ã
Ta cú: yxmxm
22
363(1)
Â

=+-
uuur
, OBmm
(1;1)
=-+
uuur
.

D
OAB vuụng ti O

OAOB
.0
=
uuuruuur



m
mm
m
2
1
2240
2
ộ
=-
=
ờ
=

. Hm s cú C, CT


y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit


m
1
ạ
.
Khi ú cỏc im cc tr l
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+- .

D
ABC vuụng ti C

ACBC
.0
=
uuuruuur


mmmmmm

= .

ã
Ta cú:
yxx
2
36
Â
=+;
xym
y
x ym
24
0
0
ộ
=-ị=+
Â
=
ờ
=ị=
ở

Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(
-
2 ; m + 4)
OAm OBm
(0;),(2;4)
==-+
uuuruuur

+
=-++=-+
ớ
++=
ợ
++m
m
m
40
1223
1223
3
3
ỡ
-<<
-+
ù
=
ớ
-
=
ù
ợCõu 37. Cho hm s yxxmm
322

2(4)25
=+-=
Phng trỡnh ng thng AB:
xymm
2
01
24
+-
=
-


xymm
2
210
+-+-=ABC
mm
SdCABABmm
2
2
111
(,) 2517
22
5
D
-+
===-+=

9
1;
2
ổử

ỗữ
ốứ
lp thnh tam giỏc nhn gc ta O lm trng tõm.
ã Ta cú
yxmxm
2
'33(1)12
=-++ . Hm s cú hai cc tr


y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit

mm
2
(1)01
D=->ạ
(*). Khi ú hai cc tr l AmBmmmm
32
(2;9),(2;41234)
-+-+
.

yfxxmxm
32
()23(3)113
==+-+- (
m
C
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m
m
C
()
cú hai im cc tr
MM
12
,
sao cho cỏc im
MM
12
,
v B(0; 1) thng
hng.
ã yxm
2
66(3)
Â
=+-
.
y
0

fxfxxmxm
13
2
()()(3)113
36
ổử
-
Â
=+ +-
ỗữ
ốứị
phng trỡnh ng thng M
1
M
2
l:
ymxm
2
(3)113
= +-

MMB
12
,,
thng hng



ã
Ta cú: yxmxm
22
21
Â
=-+-
.
xm
y
xm
1
0
1
ộ
=+
Â
=
ờ
=-
ở
.

CẹCT
yy
2
+>



m


yxmx
2
2(1)
Â
=-+.
x
y
xm
0
0
2(1)
ộ
=
Â
=
ờ
=+
ở
. Hm s cú cc tr


m
1
ạ-
(1)
Gi hai im cc tr ca th l: Am
3
4
0;(1)

410
22
-<-<<
(2)
Kt hp (1), (2), ta suy ra: m
11
22
-<<
.

Cõu 42. Cho hm s
yxmxmxm
3223
33(1)
=-+
(C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
2
=-
.
2) Chng minh rng (C
m
) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.

ã
yxmxm

yt
1
23
ỡ
=-+
ớ
=-
ợ

im cc tiu
Nmm
(1;2)
+
chy trờn ng thng c nh:
xt
yt
1
23
ỡ
=+
ớ
=
ợCõu 43. Cho hm s
m
yxmxxmC
32
1

,
. Gi s cỏc im cc tr ca (Cm) l
AxyBxy
1122
(;),(;)
.
Ta cú: yxmymxm
2
122
().(1)1
333
Â
= +++ị
ymxm
2
11
22
(1)1
33
=-+++
; ymxm
2
22
22
(1)1
33
=-+++

3
=
khi
m
0
=
.

Cõu 44. Cho hm s yxxmx
32
32(1)
= + .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2) Tỡm m hm s (1) cú 2 cc tr v ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s
to vi hai trc to mt tam giỏc cõn.

ã

yxxm
2
36
Â
=
. Hm s cú 2 cc tr


y
0
Â
=

= +-
ỗữ
ốứ
.

D
ct Ox, Oy ti
m
A
m
6
;0
2(3)
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
,
m
B
6
0;
3
ổử
-
ỗữ
ốứ
(m
ạ

1
(1)1
3
-+-++
(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong
(;1)
-Ơ
.

ã
Tp xỏc nh D = R. yxmxmm
22
21
Â
=-+-+
.
t
txxt
11
=-ị=+
ta c :
(
)
ygttmtmm
22
'()2132
==+-+-+