www.VNMATH.com

TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Tập xác định: D = R. ymxmxm
2
(1)232
¢
=-++-
.
(1) đồng biến trên R
Û

yx
0,
¢
³"

Û

m
2
³Câu 2. Cho hàm số
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)

(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
-¥
thì ta phải có
mm
11
-³Û£-
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m
21
-<£-
.

Câu 3. Cho hàm số yxxmx
32
34
=+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
0
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(;0)
-¥
.


=+-+=>xm
y
xm
'0
1
é
=
=Û
ê
=+
ë
. Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm
(;),(1;)
-¥++¥

Do đó: hàm số đồng biến trên
(2;)
+¥
Û
m
12
+£
Û
m
1
£

0
m
£
thoả mãn.
+
0
m
>
,
0
¢
=
y
có 3 nghiệm phân biệt:
, 0,
mm
-
.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi
1 01
£Û<£
mm. Vậy
(
]
;1
m
Î-¥
.

Câu 6. Cho hàm số

0)
(
;
"ẻ
+Ơx
fxm
x
x
2
23
()
41
2+
=
+
+
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơ

Ta cú:
x
fxx

128
ổử
-++

ỗữ
ỗữ
ốứ

KSHS 02: CC TR CA HM S

Cõu 7. Cho hm s yxxmxm
32
32
=+++ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.

ã
PT honh giao im ca (C) v trc honh:
xxmxm
32
320(1)
+++=

=->
ớ
-=-ạ
ợ



m
3
<Cõu 8. Cho hm s yxmxmmx
322
(21)(32)4
=-++ +-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.

ã
yxmxmm
22
32(21)(32)
Â
=-++ +

=-+
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.

ã
TX: D = R ; yxmxm
2
221
Â
=+.
th (C
m
) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung

y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn
bit cựng du


2
210
210

= +
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng
yx
1
=-
.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 3 ã
Ta cú:
2
'36
=
yxxm
.
Hm s cú C, CT
2
'360
yxxm
= =
cú 2 nghim phõn bit

ỗữỗữỗữ
ốứốứốứị

( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx

ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
2

=-
ữ
ốứ
(tha món)
TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng
yx
1
=-( ) ( )
2
121
121
2
2
2211
22
22
33
22
3.260
33
ổửổử
-+++-=+-
ỗữỗữ
ốứốứ
ổử
+=-
++

=-+ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.

ã
Ta cú:
yxmx
2
36
Â
=- ;
x
y
xm
0
0
2
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m
ạ

3
3
240
2
ỡ
ù
-=
ớ
=
ù
ợ

m
2
2
=

Cõu 12. Cho hm s yxmxm
32
331
=-+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
xy
8740
+-=
.



ABmm
3
(2;4)
uuur

Trung im I ca AB cú to : Immm
3
(;231) ng thng d:
xy
8740
+-=
cú mt VTCP
(8;1)
u
=-
r
.
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 4

A v B i xng vi nhau qua d


Id
ABd

yxxmx
32
3=-+ (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d:
xy
250
=
.

ã
Ta cú
yxxmxyxxm
322
3'36
=-+ị=-+

Hm s cú cc i, cc tiu

y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit
mm
9303
D
Â
=-><

ymxm
21
2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ

nờn
D
cú h s gúc km
1
2
2
3
=-
.
d:
xy
250
=
yx
15
22
=-

ị
d cú h s gúc k
2

3(1)92
=-+++-
(1) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
yx
1
2
= .

ã
yxmx
2
'36(1)9
=-++

Hm s cú C, CT

m
2
'9(1)3.90
D
=+->
m
(;13)(13;)
ẻ-Ơ ẩ-++Ơ


v:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3
ỡ
+=+
ớ
=
ợ

Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l ymmxm
2
2(22)41
=-+-++

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 5

A, B đối xứng qua (d):
yx
1
2
=
Û

ABd

£- xx .

·
Ta có .9)1(63'
2
++-= xmxy
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
Û
PT 0'
=
y có hai nghiệm phân biệt
21
, xx

Û
PT 03)1(2
2
=++- xmx có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx .

ê
ê
ë
é
<
+->
Û>-+=DÛ

(12)(2)2
=+-+-++
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
1
3
->
.

·
Ta có:
yxmxm
2
'3(1222
)()
=-+-

ë
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
m
xx
m
xx
12
12
(12)
3
2
2
3
ì
-
+=-
ï
í
-
ï
=
î( ) ( )

11
(1)3(2)
33
= +-+
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
2
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
21
+=
.

·
Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)
¢
= +-

xxm
12
12
2(1)
3(2)
ì
+=-
í
=-
î

Û

( )
xm
xxm
2
22
32
123(2)
ì
=-
ï
í
-=-
ï
î

mmm
2

360,
D
¢
=+>"

Þ
hàm số luôn có 2 cực trị
xx
12
,
.
Khi đó:
12
12
12
4
6
1
4
xx
m
xx
xx
ì
ï
=-
ï
ï
+=-
í

(2)35
=+++-
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.

·
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Û
PT
ymxxm =
2
'3(2)60
=+++ có 2 nghiệm dương phân biệt

am
mm
mmm
m
mmmP
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031

+
îCâu 20. Cho hàm số yxx
32
–32
=+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:
yx
32
=-
sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.

·
Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức
gxyxy
(,)32
=
ta có:

AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
= =-<= =>


y
ỡ
=
ù
=-
ỡ
ù

ớớ
=-+
ợ
ù
=
ù
ợ
ị

42
;
55
M
ổử
ỗữ
ốứCõu 21. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=++++

mm
gm
Sm
2
450
(1)570
21
1
23
D
ỡ
Â
= >
ù
ù
=-+>
ớ
-
ù
=<
ù
ợ


m
57
45
<<
.


cú 2 nhim phõn bit
10,
m
D=>"

Khi ú: im cc i
Amm
(1;22)

v im cc tiu
Bmm
(1;22)
+

Ta cú
2
322
2610
322
m
OAOBmm
m
ộ
=-+
=++=
ờ
=
ờ
ở
.

1122
(;),(;)
.
Chia y cho y
Â
ta c:
m
yxyxmm
2
1
2
33
ổử
Â
=-+-+
ỗữ
ốứ

Khi ú:
yxmm
2
11
2
=-+
;
yxmm
2
22
2
=-+

2
'36
=
yxxm
.
Hm s cú C, CT
2
'360
yxxm
= =
cú 2 nghim phõn bit
12
;
xx'9303
mm
D=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
12
12
;;;
ABx
yy

yyxyy
m
x
mmm
xx

ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l d:
2
22
33
mm
yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ

ng thng i qua cỏc im cc tr song song vi d:
yx
43
=-+2
24
3
3
23
3

m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d:
xy
450
+=
mt gúc
0
45
.
ã Ta cú:
2
'36
=
yxxm
.
Hm s cú C, CT
2
'360
yxxm
= =
cú 2 nghim phõn bit
12
;
xx'9303
mm
D=+>>-

22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx

ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
2
22
33
mm
yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ

tan45
1
115
1
1
1
4
443
2
k
mkk
k
k
kkk m
ộ ộộ
=
=-
+=-
+
ờ ờờ
=
ờ
ờờ
ờ
ờờ
-
+=-+=-
=-
ờ
ờờ

Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 9 ã
Ta cú:
yxx
2
36
Â
=+
;
xym
y
x ym
24
0
0
ộ
=-ị=+
Â
=
ờ
=ị=
ở

Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(
-
2 ; m + 4)
OAm OBm

ỡ
-<<+
=-++=-+
ớ
++=
ợ
++m
m
m
40
1223
1223
3
3
ỡ
-<<
-+
ù
=
ớ
-
=
ù
ợCõu 27. Cho hm s

=+
Â
=
ờ
=-
ở

im cc i
Mmm
(1;23)
chy trờn ng thng c nh:
1
23
xt
yt
=-+
ỡ
ớ
=-
ợ

im cc tiu
Nmm
(1;2)
+-
chy trờn ng thng c nh:
1
23
xt
yt

xm
2
0
0
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở

th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i

PT y
0
Â
=
cú 1 nghim


m
0
ÊCõu 29. Cho hm s
422
()2(2)55
==+-+-+

xm

Hm s cú C, CT

PT fx
()0
Â
=
cú 3 nghim phõn bit


m
2
<
(*)
Khi ú to cỏc im cc tr l:
(
)
(
)
(
)
AmmBmmCmm
2
0;55,2;1,2;1-+

ị

(
)

Cmmxmxy 55)2(2
224
+-+-+=
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú im cc i v im cc tiu, ng thi
cỏc im cc i v im cc tiu lp thnh mt tam giỏc u.
ã Ta cú
()
3
2
0
44(2)0
2
=
ộ
Â
=+-=
ờ
=-
ở
x
fxxmx
xm

Hm s cú C, CT

PT fx
()0

uuruuur

Do
D
ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi
à
A
0
60
=


A
1
cos
2
=

ABAC
ABAC
.1
2
.
=
uuuruuur
uuuruuur


3
44
Â
=+ ;
x
yxxm
xm
2
0
04()0
ộ
=
Â
=+=
ờ
=-
ờ
ở
(m < 0)
Khi ú cỏc im cc tr l:
(
)
(
)
AmmBmmCmm
2
(0;),;,;
+

ABmm

4
1.1.1
cos
222
.
+
=-=-=-
-
uuruuur
uuruuurm loaùi
mm
mmmmmm
m
mm
4
444
4
3
0()
1
1
2230
2
3
ộ
=
+


ã
Ta cú
x
yxmxxxm
xm
32
2
0
444()0
ộ
=
Â
=-=-=
ờ
=
ở

Hm s ó cho cú ba im cc tr

PT y
0
Â
=
cú ba nghim phõn bit v
y
Â
i du khi
x
i qua cỏc nghim ú

,2==+=

ABC
m
ABACBCmmm
Rmm
S
m
mm
4
3
2
1
()2
11210
51
4
4
2
é
=
+
ê
==Û=Û-+=Û
-
ê
=
ë
V


()0
x
yxmx
gxxm
=
é
=-=Û
ê
=-=
ë

Hàm số có 3 cực trị
'0
y
Û=
có 3 nghiệm phân biệt
00
g
mm
ÛD=>Û>
(*)
Với điều kiện (*), phương trình y
0
¢
=
có 3 nghiệm
123
;0;=-==
xmxxm
. Hàm số đạt


ABC
SAMBCmmmmm
5
255
2
11
4441616
22
D
===Û=Û=Û=
Vậy
m
5
16
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) yxmx
422
21
=-+
, S = 32 ĐS:
m
2
=±
KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

2
30
++=

Þ

BCBC
xxxxm
3;.
+=-=

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là
BB
kxxm
2
1
36
=++
và tại C là
CC
kxxm
2
2
36
=++

Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau
Û
kk
12

.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.

·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): xmxm
3
–(3)––20
+=Û
xxxm
2
(1)(–––2)0
+=

Û

xy
gxxxm
2
1(3)
()20
é
=-=
ê
= =
ë

1
33
=-
và tại P là
P
kx
2
2
33
=-

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau
Û
kk
12
.1
=-

Û

mm
2
91810
++=Û

322322
33

Û

A
xx
gxxxk
2
2
()20
é
==
ê
= =
ë

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N
Û
PT
gx
()0
=
có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

Û

0
9
0
(2)0
4
k

Û

22
(36)(36)1
=-
MMNN
xxxx
Û

kk
2
91810
++=
322
3
k
-±
Û= (thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số
yxx
3
3
=-
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d):
ymx
(1)2
=++

=
)
Þ
(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 13

(d) ct (C) ti 3 im phõn bit

(2) cú 2 nghim phõn bit, khỏc 1


9
4
0
m
m
ỡ
>-
ù
ớ
ù
ạ
ợ
(*)
Tip tuyn ti N, P vuụng gúc


'().'()1

CẹCT
coựcửùctrũ
yy
xx
ay
(1)2
.0
0,0
.(0)0
ỡ
ù
<
ù
ớ
>>
ù
<
ù
ợ
(*)
Trong ú: + yxmxmxm
3222
33(1)(1)
=-+

ị
yxmxm
22
363(1)
Â

m
m
mmmm
m
222
2
10
10
312
(1)(3)(21)0
(1)0
ỡ
->
ù
+>
ù
<<+
ớ
<
ù
ù
<
ợCõu 39. Cho hm s
32
12
33
yxmxxm

2
(1)((13)23)0
-+ =



x
gxxmxm
2
1
()(13)230
ộ
=
ờ
=+ =
ở

Do ú: YCBT


gx
()0
=
cú 2 nghim
xx
12
,
phõn bit khỏc 1 v tha xx
22
12

th hm s ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng


Phng trỡnh
32
390
+=
xxxm cú 3 nghim phõn bit lp thnh cp s cng
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14 Û
Phương trình
32
39
xxxm
=-
có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Û
Đường thẳng
ym
=-
đi qua điểm uốn của đồ thị (C)

.
1111
mm

(1)
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là
xxx
123
;;
ta có:
xxxm
123
3
++=
Để
xxx
123
;;
lập thành cấp số cộng thì
xm
2
=
là nghiệm của phương trình (1)

Þ

mm
3
2970
-+-=

Û

m

yxmxmx
= có đồ thị (C
m
), trong đó
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
m
1
=
.
2) Tìm
m
để (C
m
) cắt đường thẳng d:
yx
2
=+
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.

·
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:

(
)
(

xxxm
xxxxxxm
xxx
++=
ì
ï
++=
í
ï
=
î

Vì
23
3
13222
22
xxxxx=Þ=Þ= nên ta có:
3
3
5
142.3
321
mmm =+Û=-
+

Đk đủ: Với
3
5
321

.

·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d là:
xmxmxxxxmxm
322
2(3)44(22)0
++++=+Û+++=

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 15 xy
gxxmxm
2
0(4)
()220(1)
é
==
Û
ê
=+++=
ë

(d) cắt (C
m

.
Mặt khác: dKd
134
(,)2
2
-+
==. Do đó:

KBC
SBCdKdBCBC
2
1
82.(,)8216256
2
D
=Û=Û=Û=

BCBC
xxyy
22
()()256
Û-+-=
BCBC
xxxx
22
()((4)(4))256
Û-++-+=

BCBCBC
xxxxxx

k
k
()
Î
¡
. Tìm
k
để đường
thẳng
k
d
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ
O
tạo thành một tam giác có diện tích bằng
1
.

·
Ta có:
k
dykxk
:
=+

Û

kxyk
0
-+=


Khi đó các giao điểm là
(
)
(
)
ABkkkkCkkkk
(1;0),2;3,2;3 ++.

k
k
BCkkdOBCdOd
k
2
2
21,(,)(,)
1
=+==
+OBC
k
Skkkkkk
k
23
2
1
2.11111
2

=D
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Û
PT
xxk
2
220
=
có hai nghiệm phân biệt khác 1
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 16

k
3
>-OAB
SdOABkk
1
(,).3
2
D

cú th (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 3.
2) Tỡm m th (C
m
) ct trc honh ti mt im duy nht.

ã
Phng trỡnh honh giao im ca (C
m
) vi trc honh:

xmx
3
20
++=
mxx
x
2
2
(0)
= ạ

Xột hm s:
x
fxxfxx
x
xx
3

=-++-
cú th (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (C
m
) ct trc honh ti mt im duy nht.

ã

m
1313
-<<+Cõu 48. Cho hm s yxxx
32
696
=-+-
cú th l (C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) nh m ng thng
dymxm
():24
=
ct th (C) ti ba im phõn bit.

ã
PT honh giao im ca (C) v (d):

=
cú 2 nghim phõn bit khỏc 2


m
3
>-Cõu 49. Cho hm s yxx
32
31
=+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm m ng thng (D):
ymxm
(21)41
=-
ct th (C) ti ỳng hai im phõn
bit.

ã
Phng trỡnh honh giao ca (C) v (
D
): xxmxm
32
3(21)420
++=


12
12
2
2
ộ
ạ=
ờ
=ạ
ở

www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 17

b
a
f
0
2
2
0
(2)0
D
D
ộ
ỡ
=

ù
ờ
ớ
ờ
ạ
ù
ợ
ờ
ỡờ
+>
ớ
ờ
-+=
ợ
ở



m
m
5
8
1
2
ộ
=-
ờ
ờ
ờ
=


ị

0
Â
=
y cú 2 nghim phõn bit
22
330
xm
-=
cú 2 nghim phõn bit


0
m
ạ

Khi ú '0
yxm
==
.
(C
m
) ct Ox ti ỳng 2 im phõn bit

y
C
= 0 hoc y
CT

m
8
=
.
2) nh m th
(
)
m
C
ct trc trc honh ti bn im phõn bit.
ã
m
m
1
2
ỡ
>
ớ
ạ
ợCõu 52. Cho hm s
(
)
42
2121
yxmxm
=-+++
cú th l

2
,0
txt
=
thỡ (1) tr thnh:
(
)
2
()21210
fttmtm
=-+++=
.
(C
m
) ct Ox ti 4 im phõn bit thỡ
ft
()0
=
phi cú 2 nghim dng phõn bit

( )
2
'0
1
210
2
0
210
m
m

;;;
xtxtxtxt
=-=-==

xxxx
1234
,,,
lp thnh cp s cng
21324321
9
xxxxxxtt
-=-=-=( )
( )
4
544
191541
4
544
9
=
ộ
=+
ộ
ờ
++=+-=+
ờ
ờ

3,
9
==-
.

Cõu 53. Cho hm s
yxmxm
42
(32)3
=++ cú th l (C
m
), m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m ng thng
y
1
=-
ct th (C
m
) ti 4 im phõn bit u cú honh nh
hn 2.

ã
Phng trỡnh honh giao im ca (C
m
) v ng thng
y
1
=-
:

phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit khỏc

1 v nh hn 2



m
m
0314
311
ỡ
<+<
ù
ớ
+ạ
ù
ợ



m
m
1
1
3
0
ỡ
-<<
ù
ớ

2
,0
txt
=
thỡ (1) tr thnh:
(
)
2
()21210
fttmtm
=-+++=
.
(C
m
) ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh nh hn 3

(
)
ft
cú 2 nghim phõn bit
12
,
tt
sao cho:
12
12
03
03
tt
tt

ớớ
=+>
ùù
=+<
ợ
ù
=+>
ợ
m
m
fm
fmmm
Sm
Sm
Pm

Vy:
1
1
2
mm
=-
.

Cõu 55. Cho hm s
4224
22
yxmxmm
=-++ (1), vi m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi

(2)
Ta cú :
'20
m
D=->
v
2
20
Sm
=>
vi mi
0
m
>
. Nờn (2) cú nghim dng

ị
(1) cú ớt nht 2 nghim phõn bit
ị
th hm s (1) luụn ct trc Ox ti ớt nht hai
im phõn bit.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 19 Câu 56. Cho hàm số
x
y
x

2
()(4)120(1)
ì
¹-
í
=+-+-=
î

Do (1) có
m
2
10
D
=+>
và
fmmm
2
(2)(2)(4).(2)1230,
-=-+ +-=-¹"

nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có:
AABB
ymxymx
;
=-=-
nên
BABA
ABxxyym
2222

y
x
1
2
-
= ĐS: m
1
2
=Câu 57. Cho hàm số
3
1
x
y
x
-
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
(1;1)
-
I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

·
Phương trình đường thẳng


Û

0
400
(1)40
¹
ì
ï
D=->Û<
í
ï
-=¹
î
k
kk
f

Mặt khác: 22
MNI
xxx
+=-=Û
I là trung điểm MN với
0
k
"<
.
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là
1
ykxk

1122
(;),(;)
xyxy
phân biệt
sao cho
( ) ( )
22
2121
90
-+-=
xxyy (a)

24
(1)1
1
(1)1
+
ì
=-+
ï
-+
í
ï
=-+
î
x
kx
x
ykx
(I). Ta có:

0,.
8
kk
¹<

Ta biến đổi (a) trở thành:
( ) ( )
22
22
212121
(1)90(1)490
éù
+-=Û++-=
ëû
kxxkxxxx (c)
Theo định lí Viet cho (b) ta có:
1212
233
,,
kk
xxxx
kk
-+
+==thế vào (c) ta có phương
trình:
322
827830(3)(831)0
kkkkkk
++-=Û++-=


2
1
-
=+
+
x
xm
x

Û
xmxmx
2
2 20(1)
+++=¹-
(1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
Û
(1) có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
khác –1

Û

mm
2
8160
>
(2)

2
= 5
Û

22
1212
()4()5
xxxx
-+-=

Û

2
1212
()41
xxxx
+-=

Û

mm
2
8200
=Û

m
m

2
=+
cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho
AB
22
=
.

·
PT hoành độ giao điểm:
xmx
x
xm
xmxm
2
1
2
(1)210(*)
ì
¹
=+Û
í
+
++++=
î

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt
Û
(*) có hai nghiệm phân biệt khác

xxm
xxm
12
12
(1)
.21
ì
+=-+
í
=+
î

Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là Ax x Bx x
1122
(;2),(;2)
++
.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 21

Suy ra ABxxxxxxmm
2222
121212
2()2()42(63)
éù
=-=+-=
ëû

Theo giả thiết ta được

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d:
yxm
=+
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB
vuông tại O.

·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: xmxmx
2
(3)10,1
+-+-=¹
(*)
(*) có
mmmR
2
250,
D
=-+>"Î
và (*) không có nghiệm x = 1.

Þ
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là
AB
xx
,
. Theo định lí Viét:
AB
AB
xxm
(
)
202
2
-=Û=+++Û mmxxmxx
BABA

Vậy: m = –2.

Câu 62. Cho hàm số:
x
y
x
2
2
+
=
-
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
của (C) và thỏa
AA
BB
xym
xym
0
0

x
2
2
()(3)(22)0(2)
2
+
+=Û=+ +=¹
-
(*).
(*) có
mmm
2
2170,
D
=++>"

Þ
(d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Và
AB
fxx
1.(2)402
=-<Þ<<
hoặc
BA
xx
2
<<
(đpcm).


tiếp tuyến có VTPT nk
1
(;1)
=-
r

Đường thẳng d có VTPT n
2
(1;1)
=
r
.
Ta có
k
nn
k
kk
nn
k
k
12
2
2
12
3
.
11
2
cos1226120
2

=
ê
ê
¢
ê
=
ë

Û

ê
ê
ê
ê
ë
é
=-+-+
=-+-+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx

Û

Û

ê
ê
ê
ê
ë
é
³-£
³-£
1;
4
3
2
1
;
4
1
mm
mm

Û

4
1
-£m hoặc
2
1
³m


-=-Û =Û-+-=Û

abba
202
+-=Û=-
. Vì
ab
¹
nên
aaa
21
¹-Û¹

Ta có: ABbabbaabababa
232322233222
()(3131)()(3())
=-+-+-+-=-+
babaabbababa
2
23
()()3()3()()
éù
=-+-+ +
ëû

bababaab
2

éù
éùéù
=-+ = +
êú
ëûëû
ëû

aaa
642
4(1)24(1)40(1)
= +-

Mà AB
42
= nên aaa
642
4(1)24(1)40(1)32
+-=

aaa
642
(1)6(1)10(1)80
Û + =
(*)
Đặt
tat
2
(1),0
=->
. Khi đó (*) trở thành:


Cõu 65. Cho hm s
yxx
3
3
=-
(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn ng thng (d):
yx
=-
cỏc im m t ú k c ỳng 2 tip tuyn phõn bit
vi th (C).

ã
Cỏc im cn tỡm l: A(2; 2) v B(2; 2).

Cõu 66. Cho hm s yxx
32
32
=-+-
(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn ng thng (d): y = 2 cỏc im m t ú k c 3 tip tuyn phõn bit vi
th (C).

ã
Gi
ẻ
(;2)()

23(1)640(2)2(31)20
ộự
-++-= +=
ởỷ

=
ộ
ờ
= +=
ở
2
2
()2(31)20 (3)
x
fxxmx

T M k c 3 tip tuyn n th (C)

h (*) cú 3 nghim x phõn bit


(3) cú hai nghim phõn bit khỏc 2
ỡ
D>
<->
ỡ
ù

2
mhoặcm
m
cú th k c 3 tip tuyn
n (C).

Cõu 67. Cho hm s
yfxmxmxmx
32
1
()(1)(43)1
3
==+-+-+
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr m sao cho trờn th (C
m
) tn ti mt im duy nht cú honh õm m
tip tuyn ti ú vuụng gúc vi ng thng (d):
xy
230
+-=
.

ã
(d) cú h s gúc
1
2

m
xhayx=
m
23
1
-
=
Do ú (1) cú mt nghim õm thỡ
m
m
m
m
0
23
0
2
3
ộ
<
-
ờ
<
ờ
>
ờ
ở

Vy mhaym
2
0

và có hệ số góc k :
ykxa
()
=-

d là tiếp tuyến của (C)
Û
hệ phương trình sau có nghiệm:
xxkxa
I
xxk
42
3
21()
()
44
ì
-+=-
ï
í
-=
ï
î

Ta có:
k
IA
x
2
0

+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải
có 2 nghiệm phân biệt
xk
(;)
với
x
1
¹±
, tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân
biệt khác
1
±

Û

a
f
2
430
(1)0
D
ì
¢
=->
í
±¹
î

Û
a a

yfaxafayfaxfaafa
()()()()()()
¢¢¢
=-+Û=+-

yfbxbfbyfbxfbbfb
()()()()()()
¢¢¢
=-+Û=+-
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

33
AB
kkaa = 4bbabaabb
22
444()(1)0
=Û Û-++-=
(1)
Vì A và B phân biệt nên
ab
¹
, do đó (1)
Û

aabb
22
10
++-=
(2)
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

(;)(1;1)
=-
, hai nghiệm này tương
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là
(1;1)

và
(1;1)
-

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

aabb
aab
22
10
1;
ì
++-=
í
¹±¹
îCâu 70. Cho hàm số
2
2
x
y
x