2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu
A) Cực đại c ực tiểu h à m s ố bậc 3:
3 2
axy bx cx d   
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là
1 2
,x x khi đó
1 2
,x x l à 2 n g h i ệm của phương trì n h
y ’ = 0
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại c ực tiểu tại
1 2
,x x thì
1 2
' ( ) ' ( ) 0f x f x 
+ Phân tích
' ( ) . ( ) ( )y f x p x h x 
. Từ đ ó ta suy ra tại
1 2
,x x thì
1 1 2 2
( ); ( ) ( )y h x y h x y h x   
l à đường thẳng đi q u a đi ểm c ực đại c ực tiểu
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi q u a điểm c ực đại cực tiểu
* ) Các câu hỏi t h ường gặp liên quan đến đi ểm c ực đại c ực tiểu hàm số bậc 3 là:

(x) ta có:
   
2
1 1 2 7
. 21 3
3 9 9 9
m
f x x m f x m x
 
  
     
  
 
. Với
21m 
thì f
’
(x)=0 có 2 nghiệm x
1,
x
2

phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị t ại x
1
,x
2
.
3
Do
1

   




   


.
Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT có phươn g t r ì n h
 
 
2
2 7
: 21 3
9 9
m
y m x    

Ta có
 
 
2 2 2
21
21 21
3 7
2 3 45
21 .3 1
21
9


Ví dụ 1) Cho hàm số 23
23
 mxxxy (1) với m là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải:
Hàm số có cực trị khi và chỉ k h i y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
' 9 3 0 3m m       

3 2
1 2
3 2 ( 1 ) . ' ( 2) 2
3 3 3
m m
y x x mx x y x          

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trì n h
3
2)2
3
2
(
m
x
m
y 
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai



9 3
6 ; ;
2 2
m m
m
m m m
 
 

     
Với m = 6 thì
OBA 
so với điều kiện ta nhận
2
3
m

Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là
9
( )
2
2
tan45 1 2 1
3
3
( )
2
m L
m

3 2 2
3 ( 1 ) (2 3 2) ( 1 )f x x m x m m x m m       
có đường thẳng đi qua
CĐ, CT tạo với
1
5
4
y x

 
một góc 45
0
.
Giải: G ọi h ệ số góc của đường thẳng đi q u a C Đ, CT là k, khi đó từ đi ê u k i ện b à i t o á n s u y r a :
0
1
1 5 3
1
1
4
4 4 4 4
45 1 1
1
1 3 5
4 4
1 .
1
4
4 4 4 4
k k

k










Hàm số có CĐ, CT
2 2
( ) 3 6( 1 ) (2 3 2) 0f x x m x m m

        có 2 nghiệm p h â n b i ệt
2
3 5 3 5
3 ( 3 1 ) 0
2 2
m m m m
   
 

        
   
   
   

(*)







nên
   
 
 
 
2
1 1
2
2 2
2
( 3 1 ) 1
3
2
3 1 1
3
f x m m x m
f x m m x m


 
    
 



 
góc 45
0


2
2
3 1 1
3
m

 m   

kết hợp với đi ều kiện ( * ) t a c ó
3 15
2
m



5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao
cho tam giác OAB có diện tích cho trước
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Tìm các giao đi ểm v ới c á c t r ục toạ đ ộ : Với t r ục Ox:Giải y = 0 t ì m x . V ới t r ục Oy giải x = 0 t ì m y .
+
/
1
.
2

0
ˆ
90AIB 
, lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng
1
2

Do vậy ta có pt:
 
2
2 1
1 1 3 3
, 1 ; 1
2 2
2 2
4 1
m
d I MN m m
m

       

Ví dụ 2 ) Cho hàm số
3
3 2y x mx  
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện
tích bằng 18 , trong đó
 
1 ; 1I





độ dài đoạn
3
4 16AB m m 

Mà diện tích tam giác IAB là
3
2
2 1
1
18 4 16 18
2
4 1
m
S m m
m

   

 
 
 
 
 
 
2 2
3 2
3 2 2

.
Giải: Hàm số có CĐ, CT
 
3 2
6 0f x x x m

    
có 2 nghiệm p h â n b i ệt
2 2
9 3 0 3 3m m m

        
.
thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o f ’ ( x ) t a c ó :
 
 
2
2
1 2
( ) 1 ( ) 3
3 3 3
m
f x x f x m x m

     

v ới
3m 
thì f’
(x)

 
 
 
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m

    




    


. Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT
có phươn g t r ì n h

3
0
( 1 ) 0
2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
I
m x
m
m
m m
m
m m

   




   
 
 


    


Ví dụ 2 ) Cho hàm số
 
3 2

'. 2 1 2
3 3 3 3
x m m
y y x
   
     
   
   
và
   
1 2
' ' 0y x y x 
nên phương trì n h đường thẳng đi
qua A,B là
 
2 1 2 '
3 3
m m
y x d
 
   
 
 
. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2
trường hợp sau:
TH1: (d’) cùng phương với (d)
9
2 1 1
3 2
m

(thỏa mãn).
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max,
min
+ Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính
giá trị
1 2
;y y )
+ Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại c ực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phươn g p h á p
đạo hàm để tìm max, min
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2
1
( ) 1
3
f x x mx x m    
có khoảng cách giữa các điểm CĐ,
CT là nhỏ nhất.
Giải: D o
 
2
2 1 0f x x mx

   
có
2
1 0m

   

     
 
 

Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x







nên
 
 
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2
( ) 1 1
3 3
2 2
( ) 1 1
 
 
 
2
2
2
2 1 1 2
2
2 2
4
4 1 1
9
4 4 2 13
4 4 1 1 4 1
9 9 3
x x x x m
m m AB
 
 
    
 
 
 
   
 
       
 
   


     có 2 nghiệm p h â n b i ệt
   
2
0 0 1m m m m

       

v ới đi ều kiện n à y t h ì f ’ ( x ) = 0 c ó 2 n g h i ệm p h â n b i ệt x
1,
x
2
và hàm số đạt cực trị t ại x
1
, x
2
với
x
1
+x
2
=2m và x
1
x
2
=m.
Ta có BPT:
2
1 2 1 2
8 64x x x x    

2
1
(I
đến đường thẳng nối
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Giải: Ta có mxxy  63'
2
. Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
30'  m
(0,25 điểm)
- Chia đa thức y cho y’ ta có
1
3
)2
3
2
()
3
1
3
(' 
m
x
mx
yy
. Lập luận suy ra đường thẳng đi
qua cực đại cực tiểu là


1


Đẳng thức xảy ra khi
IA
(0,25 điểm)
- Suy ra
3
41
2
3
2

k
m
1 m
(0,25 điểm)
Ví dụ 3 ) C h o h à m s ố
3 2 2 3
3 3 ( 1 ) 4 1y x mx m x m m       (C)
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:
2 2
1
' 3 6 3 ( 1 ) ' 9 0
1
x m
y x mx m
x m
 

        

Ví dụ 4 ) T ì m c á c g i á t r ị của m để hàm số
 
3 2 2
1 1
. 3
3
y x m x m x
2
   
có cự c đ ạ i
1
x , cực
tiểu
2
x đồng thời
1 2
;x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng
5
2
.
Giải:
Cách 1: Miền xác định:
D R
có
2 2 2 2
' 3 ; ' 0 3 0y x mx m y x mx m         

Hàm số có cực đại
1

 



(*)
Theo Viet ta có:
1 2
2
1 2
3
x x m
x x m
 



 


. Mà
 
 
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 14
2 4 5 2 4 3 5
2 2
x x x x x x m m m            


+ Tam giác ABC vuông cân
. 0 AB AC 
       

+ Tam giác ABC đều
AB BC

2) Tìm đi ều kiện để hàm số có 3 đi ểm c ực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện t í c h c h o t r ước
+ Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt
+ Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ r a t a m g i á c A B C l u ô n c â n t ại A .
Tính các véc tơ:
, ,AB AC BC
          

10
+ Kẻ đường cao AH.
+
1
.
2
AB C
S AH BC


+ Giải đi ều kiện
Ví dụ 1) Tìm m để f(x)=
4 2 4
2 2x mx m m  
có CĐ, CT lập thành tam giác đều
Giải: f ’ ( x ) =



   


Suy ra BBT của hàm số y=f(x)

A B C đều
2 2
2 2
0
0
m
m
AB AC AB AC
AB BC
AB BC






   
 
 





Ví dụ 2) Cho hàm số
4 2 2
2 2 4y x mx m   
, m là tham số thực. Xác định m để hàm số có
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
Giải: Mxđ:
D R
. Có
3
' 4 4y x mx 

3 2
' 0 4 4 0 0y x mx x x m       
. Hàm số có 3 cực trị
0m 
(*)
Gọi
    
2 2 2
0 ; 2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m   
là 3 điểm cực trị
Nhận x é t t h ấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A
K ẻ
AH BC
có
2
1
. 2 2 2 2 . 1
2
A B C B A B

1 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m    

diện tích tam giác ABC là
 
 
2
2
1
; . 1 1
2
ABC
S d A BC BC m   
. Dấu “=” xày ra khi
0m 

ĐS:
0m 

11
Ví dụ 4) Cho hàm số
4 2
2 2y x mx  
có đồ thị (C
m
). Tìm tấ t c ả c á c g i á t r ị c ủ a t h a m s ố m
để đồ thị (C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua
5 5
3 9

2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
3 1 0
2 2 0 ; 1 ; 0( ), 1
2 2
x y
IA ID
IB IC x y x m x y m L m
IB IA
x m y m x y


  




         
 
 



      


2 1
( ; )
1
x
M x
x



*) Ta gọi h ệ số góc của tiếp tuyến t ại t i ếp đi ểm M l à
0
' ( )k f x
*) Đường thẳng

bất kỳ c ó h ệ số góc k đi q u a
0 0
( ; )M x y có dạ n g
0 0
( )y k x x y   . Đi ều kiện
để

là tiếp tuyến c ủa hàm số y=f(x) là hệ phương trì n h s a u c ó n g h i ệm
0 0
( ) ( )
' ( )
k x x y f x
k f x
  







Ví dụ 1) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến
cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2)
Giải : G ọi
0
x là hoành độ tiếp điểm
0
( 1 )x   , PTTT là
   
0
2
0
0 0
2 1
1
1
1
x

Suy ra phương trì n h t i ếp tuyến là
1
4
5
y
4
x 

Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì t i ếp tuyến có hệ số góc là
 
0
2
0
0
0
2 ( 4) 1
1 1
2
4 ( 2)
1
x
k
x
x


  
    

 

Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B s a o c h o 8AB  , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B
song song với nhau.
Giải : Giả sử điểm cần tì m l à
1 1
; , ;
2 2
a b
A a B b
a b
   
   
   
 
   
theo giả thiết ta có hệ:
   
 
 
 
2
2
' '
4
1 1
8
1
1 8
1 1
2 4
a b

 
  
 

13
 
4
4
1
16 4 1 8 1
4
a b
a b
ab ab
ab
  

  



 
 
   

 


 


( ;0)
3 1
m m
A
m


. Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với
2
2
1
3 1
1 ' 1 1
1
3 1 2
5
m
m m m
y x y
m m
m
 

 
 
 

      
 
 

góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B v u ô n g g ó c v ới đường thẳng d:
5 0x y  

Giải :
Giả sử các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc k. Để tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân
biệt thì p h ương trì n h
2
' 3 3y x k  
phải có hai nghiệm phân biệt
3k  

Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ:
 
2
3
2
2
3 3 2 2
3 2
3
3 3
3 3
x
y x x
y x x
x k
x k


   

3
k
y x
 
  
 
 
. Để
2 1 9
3
k
AB dk     
(t hỏa mãn)
14
Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn:
   
3
3
2
3 2
3 2
2;4 , 2;0
2
3 3 9
y x x
y x x
A B
x
x






   

. Gọi ,
B C
x x là nghiệm đó
B C
x x  và
B C
x x m  .
Yêu cầu bài toán
   
' '
B C
y x y x 

         
 
2 2
3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0
2 1
2
3
B B C C B C B C
B C
x m x m x m x m x x x x m
m



 
. Giả sử
     
1 1 2 2 1 2
; , ;
m
M x y N x y C x x 
. Tiếp tuyến tại M và N song
song
   
1 2 1 2
2 2
1 2
3 3
1 1 2 2
1 1
x m x m x x m
x m x m
 
            
   
(1)
Ta thu được
     
1 1 2 2
1 1 1 1x x m x x m      

và chú ý





Ví dụ 1) Cho C(m):
3 2
( ) 3 1y f x x x mx    
a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.
15
Giải: a) Xét
   
1Cm y
với p h ươn g t r ì n h t ì m h o à n h độ giao đi ểm
 
3 2 2
2
0
3 1 1 3 0 (0;1)
( ) 3 0
x
x x mx x x x m C
g x x x m


         

   

Yêu cầu bài toán ,


   .
Với đi ều kiện
9
0
4
m 
thì các tiếp tuyến t ại D v à E v u ô n g g ó c v ới n h a u .
  
2 2
1 ( ). ( ) 3 6 3 6
D E D D E E
y x y x x x m x x m
 
                 
   
2 2 2
3 3 2 3 3 2 3 2 3 2
9 6 4 9 6 . 3 4 4 9
D D E D D E
D E D E
g x x m g x x m x m x m
x x m x x m m m m m
          
   
         


: 3 1 0d x y  

Giải: Ta có hệ số góc của
: 3 1 0d x y  
là
1
3
d
k 
. Do đó
1 2
,x x là nghiệm của phương trì n h
y ’ = - 3 H a y
   
2 2
2 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1x m x m x m x m           
(1)
Yêu cầu bài toán

phương trì n h ( 1 ) c ó h a i n g h i ệm
1 2
,x x thỏa mãn
1 2
.x x >0
   
2
3
' 1 2 3 1 0
1
3 1

2
2 3
3
x
y x  
(C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3)
Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3
giao điểm đó cắt nhau tạo thà n h m ột tam giác vuông.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là
 
3
2 2
2 3 3 6 3 0
3 3
x x
x kx x x k       
2
0
( ) 6 3 0
x
g x x x k




   

. Điều kiện là phương
16

1 2
6
. 3
x x
x x k
  


 

Thay vào ta có:
2 2
4 15
9 72 48 1 0 9 24 1 0
3
k k k k k k
 
         

K ết hợp điều kiện suy ra
4 15
3
k
 


3) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến đi qua ( ; )
M M
M x y
+ Gọi k l à h ệ số góc của đường thẳng

 
3 2
: ( ) 2 3 5C y f x x x   

Giải: Đường thẳng đi q u a
19
;4
12
A
 
 
 
với h ệ số góc k có phươn g t r ì n h
19
4
12
y k x
 
  
 
 
tiếp xúc
v ới
 
: ( )C y f x 
19
( ) 4
12
( )
f x k x

 
2
1 1
1
2 2
2
3 3
3
19 17
1 2 1 6 1 1 4 1 0
12 2
19
1 : 4 4
12
19
2 : 4 12 15
12
1 19 21 19
: 4 4
8 12 32 12
x x x x x x x x
x t y y x y
x t y y x y x
x t y y x y x
   
          
   
   

 

( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến tạo với t r ục Ox một góc


0
0
0
' ( ) tan
' ( ) tan
' ( ) tan
f x
f x
f x





  

 

Giải t ì m
0
x sau
đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1).

nên k=-1. hoành độ tiếp đi ểm l à n g h i ệm
của phương trì n h
 
1 1
2
2 2
0 2
1
( ) 1 1
2 4
1
x y
y x
x y
x
  



     

  


Phương trì n h t i ếp tuyến t ại x
1
=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2
Phương trì n h t i ếp tuyến t ại x
2
=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6.

2
y x  
và
5
2
y x  

5) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến tạo v ới đường thẳng y=ax+b một góc


+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến t ạ o với đường thẳng y=ax+b một góc


tan
1
tan
1
tan
1
k a
k a
ka
k a

x



. Viết phương trình tiếp tuyến tạo với
 
:
y=3x góc 45
0
.
Giải: Giả sử tiếp tuyến c ó h ệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến t ạ o với
 

:y=3x góc 45
0
nên
18
0
2
3 1 3
3
45 1
1
3 1 3
1 .3
2
k
k k
k
tg

2
2
2 2 3 0 2 8 3 0
12 28 0 6 2 2
x m x mm m
m m m
            
        
* Với k =
1
2

xét đường thẳng
1
2
y x m

 
tiếp xúc (C)
4 3 1
1 2
x
x m
x
 
  

hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm k é p
     
2

giao đi ểm A , B s a u đó ta tính diện t í c h t a m g i á c v u ô n g O A B t h e o c ô n g t h ức
1
.
2
OAB
S O A O B


Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
x
y
x


biết tiếp tuyến cắt
,Ox Oy
lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn:
2AB OA
.
Giải:
Cách 1: G ọi
   
0 0 0
; ,M x y x 
thuộc đồ thị hàm số. PTTTd tại M có dạng:
 
 
0

có:
 
0 0
2
0
4
1 0 4
2
x x
x

     

19
Với
0
0 :x d y x    (loại)
Với
0
4 : 8x d y x    
+TH2: : d vuông góc với đường phân giác
y x 
có:
 
2
0
4
1
2x


2
4
2
2
x
y x x
x
x
   


. Dễ dàng tính được
2
0
;0
2
x
A
 

 
 
 
và
 
2
0
2
0
2

x
x x
x
   

Với
0
0x  ta có PTTT là:
0y x 

Với
0
4x  thì PTTT là:
4y x  

Ví dụ 2) Cho hàm số
3 2
4 1
(2 1 ) ( 2)
3 3
y x m x m x     
(Cm)
Tìm m để tiếp tuy ến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
18

Ta có
1
(0; )


 


7) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến b i ế t tiếp tuyến cắt 2 đường t i ệ m cận t ạo thành
một t a m g i á c c ó d i ện t í c h c h o t r ước hoặc tạo thà n h m ột góc cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng
0 0 0
' ( )( ) ( )y f x x x f x   .
+ Tìm các giao đi ểm c ủa tiếp tuyến v ới c á c đường tiệm c ận s a u đó căn c ứ vào đi ều kiện để giải
quyết
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm c ận n g a n g v à t i ệm c ận đứng tại A , B m à t a m g i á c I A B
v u ô n g c â n ( V ới I l à g i a o đi ểm 2 t i ệm c ận) thì ta quy về việc viết phương trì n h t i ếp tuyến biết
tiếp tuyến tạo với t i ệm c ận n g a n g m ột góc
0
45
) Chú ý rằng tiếp tuyến k h ô n g được đi q u a g i a o
đi ểm 2 đươn g t i ệm c ận v ì k h i đó sẽ không hình thành một tam giác)
20
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm c ận đứng và tiệm c ận n g a n g t ại A , B t ạo thành tam giác IAB
có diện t í c h c h o t r ước thì ta tìm các giao đi ểm A , B s a u đó dùng công thức
1
.
2
OAB
S IA IB



x m
 

 

 
(với
0
x m
) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.
PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là
 
 
2
0
0
2
0
0
2 3
2 3
mx
m
y x x
x m
x m


   


x m x m
  
       
 
Nên diện tích tam giác IAB là
2
1
. 4 6
2
S IAIB m  

Bởi vậy yêu cầu bài toán tương đương:
2
58
4 6 64
2
m m    

Ví dụ 2 ) Cho hàm số
.
1
x
y
x


Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã c h o b i ết tiếp tuyến
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng

2 2 2

0 0
0 0
1 1
1 1 ;
1 1
x x
x y A
x x
 
 
   
 
 
 
. Khi
 
 
0 0
1 2 1 2 1 ; 1 ; 1 ; 1y x x B x I     

21
 
 
 
   
 
 
 
 
 

 
 
 
        

 



        


Cách 2: Phương trì n h t i ệm cận đứng
1x 
, phương trì n h t i ệm cận ngang
1y 

Gọi
;
1
a
M a
a
 
 

 
, PTTT tại
 
 

Chu vi tam giác IAB là
 
 
2
2
2 1
2 1 2 1 4 2 2
1
1
C IA IB AB a a
a
a
         



Dấu “=” xảy ra khi
1 1a  
tức
0 ; 2a a 
.
Với
0a y x   

Với
2 4a y x    

KL:
; 4y x y x    
là 2 tiếp tuyến cần tì m .

2
0
0
3 2
5
1
1
x
y x x
x
x

  



Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và
IAB
có
5
ˆ
cos
26
BA I 
nên
2
2
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ

0
5
5 1 1 0 2
1
x x x
x
        

Với
0
0x  có PTTT d:
5 2y x 

22
Với
0
2x   có PTTT d:
5 2y x 

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên.
Ví dụ 4 ) Cho hàm số :
2x 1
y
x 1



có đồ thị là
 
C

d
:
1x  
,TCN
 
2
: 2d y 

 
1 ; 2I 
.Gọi
0
0
0
2 1
;
1
x
M x
x
 

 

 
   
0
, 0C x 

Phương trì n h t i ếp tuyến với

1 ; , 2 1 ; 2
1
x
d A d B x
x
 
 

 
       
 
 

 
 
 
 
 
   
2
4 2
0
2
2 2
0 0
0
0
0
36
4 1 40


 
2 ; 1M
.
8) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến cắt t i ệ m cận đứng, tiệ m cận ngang tại A , B m à
chu vi tam giác IAB nhỏ n h ất
*) Để giải q u y ết dạng bài tập này học sinh cần n ắm được một kế t quả quan trọng sau: (Trong
h à m s ố phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ c ắt 2 tiệm c ận t ại A , B t h ì d i ện t í c h t a m
giác IAB không đổi). Vận d ụng kết quả này ta có
2 2
2 . 2 . (2 2).
IAB
C IA IA AB IA IB IA IB IA IB IA IB IAIB

          
. Vì diện t í c h
tam giác IAB không đổi s u y r a I A . I B k h ô n g đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi
IA=IB. Giải đi ều kiện t ì m M s a u đó viết phương trì n h t i ếp tuyến
Ví dụ 1 ) Cho hàm số
2
1
x
y
x



. Viế t P T T T c ủ a đ ồ t h ị b i ế t t i ế p t u y ế n c ắ t 2 t i ệ m c ậ n t ạ i A , B
sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.
Giải: Đ ồ t h ị h àm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng
1x  
tại điểm
0
0
5
1 ;
1
x
A
x
 


 

 
và cắt tiệm cận đứng tại điểm
23
 
0
2 1 ; 1B x 
. Ta có:
 
0
0 0
0 0
5
6
1 ; 2 1 1 2 1

2 2
2 2 2 . 4 3 2 6p I A IB AB IA IB IA IB IA IB I A IB           

Dấu “=” xảy ra khi
 
2
0
1 3 1 3IA IB x x       

Với 1 3x    ta có tiếp tuyến
 
1
: 2 1 3d y x  

Với 1 3x    ta có tiếp tuy ến
 
2
: 2 1 3d y x  

Ví dụ 2 ) Cho Hypebol (C):
2 1
1
x
y
x



và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

 
 

 
(c).
Tiếp tuyến t ại M l à ( t ) : y =
,
y (m) (x-m) + y(m)
2
1 1
( ): ( ) 2
( 1 ) 1
t y x m
m m

    
 
* (t)

(TCĐ: x =1) = A
2
1 , 2
1m
 

 

 
; ( t )



IAB) = IA + IB + AB=
2 2
2 . 2 . 2(2 2)IA IB IA IB IA IB IAIB      

24
Dấu bằng xảy r a

IA = IB = 2
1 1m   
1
2
0 (0, 1 )
2 (2,3)
m M
m M
  


 

9) Tìm điều k i ện để q u a điể m
 
;
M M
M x y
cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ t h ị y = f ( x )
+ Xét đường thẳng

có hệ số góc k đi q u a đi ểm M

. Tìm các điểm A

Oy kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải: Lấy b ất kỳ A ( 0 ; a )

(C). Đường thẳng đi q u a A ( 0 ; a ) v ới h ệ số góc k có phương trì n h
y = k x + a t i ếp xúc với đồ thị ( C )
( )
( )
f x kx a
f x k
 






có nghiệm ( * )
 Đi ều kiện c ần: Để ý rằng
( ) ( ) ( )f x f x x R f x    
là hàm chẵn

đồ thị ( C )
nhận O y l à m t r ục đ ố i x ứng. Do A(0;a)

trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêu
tiếp tuyến đến n h á n h b ê n t r á i c ủa (C) thì cũng kẻ được bấy n h i ê u t i ếp tuyến d ến n h á n h b ê n p h ải
của (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến c ó h ệ số góc k

Nếu a=1 thì (*)
 
 
 
4 2 3
4 2
3
3
2 2
2
2
4 2
1 1
4 2
4 2
0 ; 0
0 ; 0
3 1 0
1 2
;
1 2
;
3 3 3
2 1
3 3
1 2
;
3 3 3
x x x x x
x x kx





    



 
 






 


Vậy t ừ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( C )
25
Nếu
3
4
a 
thì (*)
 
   
4 2 4 2 3
3 3

   

  
  
  
  
   


 
Vậy t ừ
3
0 ;
4
A
 
 
 
chỉ k ẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến ( C ) .
K ết luận: Từ các đi ều kiện c ần v à đủ

Đáp số: A ( 0 ; 1 )
Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến
(C):
3
1
x
y
x


   
có nghiệm k é p
0k 
v à
   
2
1 2 4 2 4 0a k a k ak a
   
       
   

0k 
v à
 
 
2
2 2 2
( ) 1 . 4 4 . 4 0g k a k a a k a      

Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
( ) 0 g k 
có đúng 1 nghiệm k é p k
0

 
 
2 2
2 2
0
32 2 0 ; (0) 4 0

3 2
2 ( 1 ) 2y x x m x m     (Cm)
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)
Giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trì n h t i ếp tuyến là(d) :
( 1 ) 2y k x  
. Vì (d) là
tiếp tuyến nên hệ phương trì n h s a u c ó n g h i ệm
3 2
2
( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2
3 4 ( 1 )
y k x x x m x m
k x x m

       



   


3 2
2 5 4 3 ( 1 ) 0x x x m    
Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì p h ương trì n h
3 2
( ) 2 5 4 3 ( 1 ) 0f x x x x m      (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. Ta có
26
2
1

81
m 

Ví dụ 4 ) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) .
3
3 2y x x   

Giải: Lấy bất kỳ A(a;0)

Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trì n h
y = a ( x - a ) t i ếp xúc với (C):y=f(x)

Hệ phương trì n h
 
( )
( )
f x k x a
f x k
  






có nghiệm
 
 
     
3 2



    
 
 
 
  
   




Phần ba: Các bài toán về sự tư ơ ng giao của 2 đ ồ thị
1) Các bài tập liên quan đến phép biến đổi đồ thị
+ Từ đ ồ thị y = f ( x ) s u y r a đồ thị y = | f ( x ) | b ằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị c ủa y=f(x) nằm t r ê n
trục O x ; L ấy đối x ứng của phần đồ thị y = f ( x ) n ằm d ưới t r ục Ox qua trục Ox.
+ Từ đ ồ thị y = f ( x ) s u y r a đồ thị y = f ( | x | ) b ằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị y = f ( x ) n ằm b ê n p h ải
trục O y , L ấy đối x ứng của phần đồ thị b ê n p h ải O y q u a t r ục O y ( C h ú ý y = f ( | x | ) l à h à m c h ẵn n ê n
nhận t r ục Oy làm trục đ ố i x ứng)
+ Từ đ ồ thị y = f ( x ) s u y r a đồ thị y = | h ( x ) | . g ( x ) v ới h ( x ) . g ( x ) = f ( x ) b ằng cách.
+ Ta thấy
( ) ( ) 0
| ( ) |. ( )
( ) ( ) 0
f x khih x
y h x g x
f x khi x


 


