Chương mở đầu
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHIỆM VỤ
Đề tài “Điều hành dự án bằng phương pháp PERT-PCM và ứng dụng giải
bài toán lập lòch thi công công trình”, bao gồm
- Tìm hiểu phương pháp PERT-PCM (phương pháp sơ đồ mạng lưới).
- Ứng dụng giải bài toán lập lòch thi công công trình.
+ Lưu trữ lòch thi công các dự án
+ Cho biết thới gian bắt đầu một dự án và thời gian kết thúc dự án
+ Thêm một số hạng mục khi dự án đang được thi công
+ Bỏ một số hạng mục khi dự án đang thi công
+ Đưa ra lòch thi công các hạng mục tối ưu nhất
Trang:1
Chương I
ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PERT-CMP
(Phương pháp sơ đồ mạng lưới)
Dự án (Project) là một tập hợp các hoạt động (Activity) liên quan với
nhau và phải được thực hiện theo một thứ tự nào đó cho đến khi hoàn thành
toàn bộ các hoạt động. Hoạt động được hiểu như là một việc đòi hỏi thời gian,
và nguyên liệu (Resource) để hoàn thành. Trước kia để điều hành dự án người
ta thường dùng biểu đồ Gantt (Gantt bar chart), là một đồ thò gồm các đường kẻ
ngang, biểu thò điểm khởi công và kết thúc hoạt động. Nhược điểm của biểu đồ
là không xác đònh được quan hệ giữa các hoạt động, nên không áp dụng được
cho các dự án lớn (large-scale project), đòi hỏi đặt kế hoạch (planning), điều
hành thực hiện (scheduling) va kiểm tra (controlling) một cách hệ thống và hiệu
quả, thậm chí phải tối ưu hoá hiệu quả (về thời gian và tiết kiệm nguyên liệu).
Vì vậy, gần như đồng thời vào năm 1956-1958, hai phương pháp kế hoạch, điều
hành và kiểm tra dự án đã ra đời. Phương pháp đường găng hoặc phương pháp
đường tới hạn (Critical path method, viết rắt là CPM) được E.I.du Pont de
Nemous và công ty xây dựng của ông đưa ra. Phương pháp thứ hai có tên là Kỹ
thuật xem xét và đánh giá dự án (Project evaluation and review technique, viết

I. Lập sơ đồ mạng lưới
Như trên đã nói, pha đầu của phương pháp PERT-CPM là lập kế hoạch thể
hiện ở một sơ đồ mạng lưới, biểu diễn như một đồ thò có hướng. Hãy xét một dự
án xây dựng một toà nhà. Việc tách dự án thành các hoạt động như đào đất,
xây móng, xây tường thô, lợp mái, đặt đường dây điện … là do kiến trúc sư hoặc
kỹ sư xây dựng làm. Dựa vào đó, người quản lý dự án lập được sơ đồ mạng lưới
như H.1.1. Các số bên cạnh cung là thời gian thực hiện hoạt động đó.
Qua sơ đồ mạng lưới H.1.1 ta thấy rõ mối quan hệ giữa các hoạt động về
thời gian. Chẳng hạn hoạt động (6, 8) là trát ngoài-phải sau (4, 6) là lợp mái,
nhưng độc lập với (5, 7) là chỉnh tường trong. Cũng vậy (4, 7) độc lập với (4, 5)
và (5, 7). Ở đây có hai hoạt động giả (dummmy activity) với thời gian để thực
hiện bằng 0 được đưa vào để đảm bảo qui tắc sơ đồ.
Cung giả (11, 12), ký hiệu bởi đường đứt đoạn, đưa vào để đảm bảo qui tắc
không có hai hoạt động cùng biến cố bắt đầu và kết thúc, tức là không có 2
cung có cùng gốc và ngọn (tức là đồ thò đơn). Việc sơn tường trong và làm sàn
có cùng biến cố dầu là nút 9, tức là biến cố lát ván tường xong, và biến cố cuối
là nút 12 (làm sàn và sơn tường xong, bắt đầu hoàn thiện trong). Do đó ta phải
thêm nút 11 là biến cố giả và cung giả (11, 12).
Cung giả (5, 8) để chỉ rằng hoạt động (4, 5) phải hoàn thành trước khi bắt
đầu hoạt động (8, 10) (nếu bỏ cung giả này thì thời điểm làm hai việc là độc
lập).
Cung giả này là phục vụ cho qui tắc sơ đồ mạng lưới phải thể hiện đủ quan
hệ thứ tự cần có.
Nếu quan hệ thời gian có dạng: việc x
2
bắt đầu khi xong 1/3 việc x
1
, việc x
3
bắt đầu khi xong một nửa x

1
3
1
x
1
2
1
x
1
Trang:4
1
2
3
4
5
7
9
1
1
1
2
6
8
1
0
1
3
X
2
X

, E
4
, E
5
, E
6
, E
9
, E
10
và E
11
cũng
tương tự vì các nút tương ứng chỉ có một cung vào, khi đó:
E
i
= E
j
+ t
ji
Ở đây j là nút ngay trước i. Chẳng hạn E
6
+ t
46
= 16 + 6 = 22. Nếu có nhiều
cung vào nút, tức là nhiều hoạt động kết thúc tại biến cố, thì từ đònh nghóa E
i
rõ
ràng đây là thời điểm mọi hoạt động đó vừa xong cả, tức là phải lấy maximum
của các tổng. Chẳng hạn

ji
},
j
ở đây j là các nút ngay trước i, tức là có cung nối tới i. Các E
i
được ghi ở H.1.3
là số đầu trong ngoặc ở mỗi nút.
Thời điểm muộn (latest time) của biến cố j là thời điểm muộn nhất mọi
cung đi vào biến cố j đều hoàn thành mà không làm thay đổi thời điểm kết thúc
dự án sớm nhất có thể, ký hiệu là L
j
. Đối lại với E
j
, các L
j
được tính theo hướng
lùi (backward pass), tức là đi từ nút kết thúc. Theo đònh nghóa, ở nút kết thúc
thì E
n
= L
n
, ở thí dụ H.1.1 là E
13
= L
13
= 44. nếu ở biến cố chỉ có một cung ra, tức
là một hoạt động được bắt đầu thì, thời điểm muộn là :
L
j
=L

i
và L
j
. Các L
j
được ghi ở số thứ
2 trong ngoặc ở mỗi nút trong H.1.3.
II.2. Tính thời gian dự trữ.
Trong thời gian dự trữ (slack hoặc float) của một biến có là hiệu thời điểm
muộn và thời điểm
sớm của nó : d
i
= L
i
– E
i
. Thời gian dự
trữ (slack hoặc float)
của hoạt động được
chia làm hai loại.
Thời gian dự trữ
chung (total slack
hoặc total float) của
hoạt động (i, j) là :
TF
ij
= L
j
– E
i

hiện là t
ij
, nhưng với
giả thiết là mọi hoạt
động đều bắt đầu sớm có thể, vậy :
FF
ij
= E
j
– E
i
– t
ij
.
Trên sơ đồ mạng lưới thì d
i
là hiệu hai số trong ngoặc ở nút i, thường được ghi
bằng số trong ô vuông cạnh nút. Thời gian dự trữ chung của hoạt động TF
ij
được
Trang:6
1
2
3
4
5
7
9
1
1

(33, 33)
1
4
5
(38, 38)
2
4
10
4
5
8
Hình 1.3
ghi trong ô vuông cạnh ở mỗi cung. Còn thời gian dự trữ độc lập của hoạt động
FF
ij
ít quan trọng hơn, thường không ghi, xem H.1.3.
II.3. Đường găng. (đường tới hạn)
Các hoạt động có thời gian dự trữ chung bằng 0 cần được chú ý đặc biệt
vì trì hoãn nó sẽ ảnh hưởng đến thời gian kết thúc dự án. Từ đó có :
Đònh nghóa II.3.1. Đường găng hoặc đường tới hạn (critical path) là một
đường đi từ nút khởi công đến nút kết thúc mà mọi hoạt động trên đường đều
có thời gian dự trữ chung bằng 0. (Chẳng hạn trên H.1.3 có một đường găng là
1 –> 2 –> 3 –> 4 –>5 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 ) hoạt động (i, j có TF
ij
= 0 được
gọi là hoạt động găng (critital activity). Biến cố i có d
i
=0 được gọi là biến cố
găng (critical event).
Một số tính chất quan trọng của đường găng là như sau.

Biến cố Thời điểm
sớm
Thời điểm
muộn
Thời gian
dự trữ
Hoạt
động
Thời gian dự
trữ chung
1 0 0 0 (1, 2) 0
2 2 2 0 (2, 3) 0
3 6 6 0 (3, 4) 0
Trang:7
4 16 16 0 (4, 5) 0
5 20 20 0 (4, 6) 4
6 22 26 4 (4, 7) 2
7 25 25 0 (5, 7) 0
8 29 33 4 (6, 8) 4
9 33 33 0 (7, 9) 0
10 38 42 4 (8, 10) 4
11 37 38 1 (9, 11) 1
12 38 38 0 (9, 12) 0
13 44 44 0 (10, 13) 4
(12, 13) 0
Bảng1.1. Chỉ tiêu thời gian xây nhà
Ngoài các chỉ tiêu chính nói trên, khi cần các thông tin chi tiết hơn để điều
hành dự án, người ta cũng đưa ra một số khái niệm về thời gian khác nữa như
sau.
Thời điểm khởi công sớm (earliest start) của hoạt động (i, j) là thời sớm của

≥ L
i
. Thật vậy, ta có
E
j
=
k
max
{E
k
+ t
kj
} ≥ E
i
+t
ij
= EC
ij
,
Vì i cũng là một trong các nút k ngay trước j. Bất đẳng thức thứ hai tương
tự.
Thời gian dự trữ của một đường đi (total float of a path) P từ nút khởi công
đến nút kết thúc, ký hiệu TF
p
, là thời gian có thể kéo dài thêm các hoạt động
trên đường này mà không ảnh hưởng đến thời điểm hoàn thành công trình, tức
là
TP =
∑ ∑
−=−

=:
,
Trang:8
ở đây T
PG
là độ dài quãng đường (tức là một phần của đường) mà P trùng với G.
Rõ ràng O < K
P
< 1 và K
P
càng gần 1 thì thời hạn thực hiện các hoạt động
không găng trong P càng chặt chẽ.
Hai đònh nghóa trên đây của đường đi có thể mở rộng cho đường P có nút
đầu và cuối trùng với nút trong đường găng, không cần là nút khởi công và kết
thúc của cả dự án.
Thí dụ II.1. Ở dự án trên H.1.3, đường găng dược tô đậm. Thời điểm hoàn
thành sớm EC
68
= E
6
+ t
68
= 22 + 7 = 29 = E
8
, EC
10, 13
= 40 < E
13
= 44. Thời điểm
khởi công muộn LS

> 3 –> 4 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 thì T
Q
= 42, K
Q
=
11
10
9
7
3544
3542
<=
−
−
. Ta thấy mặc
dù T
Q
> T
P
nhưng thời hạn thực hiện các hoạt động không găng trong P lại chặt
chẽ hơn hoạt động không găng (4, 7) duy nhất của Q. Nguyên nhân là (4, 7) là
không găng duy nhất, nên mọi sự nới lỏng của Q đều dồn cho hoạt động này.
Chú ý rằng các dữ liệu thời gian quan trọng nhất là các chỉ tiêu có trong
bảng 1.1. Ở bảng này cũng cho thấy đường găng (đường gồm các hoạt động
găng, tức là có thời gian dự trữ chung bằng 0).
II.4. Biểu đồ thời gian
Một cách truyền thống, bên cạnh sơ dồ lưới bảng, để theo dõi điều hành
thời gian cho dự án là dùng biểu đồ thời gian (time chart). Ta hãy xét cách vẽ
và sử dụng biểu đồ thời gian qua một thí dụ.
Thí dụ II.2. Xét dự án ở H.1.4, và bảng 1.2 tương ứng. (chú ý là hoạt động

6
7
3
4
5
6
7
3
6
6
13
19
3
6
6
13
19
0
0
0
0
0
(2, 4)
(3, 4)
(3, 5)
(4, 5)
(4, 6)
(4, 7)
(5, 6)
(5, 7)

ij
bằng 0 hay khác 0). Các số không có vòng chỉ thời gian thực hiện
của hoạt động. Chẳng hạn hoạt động (1, 2) thực hiện trong 2 đơn vò thời gian,
được phép xê dòch trong khoảng thời gian 4 đơn vò (từ 0 đến 4). Xét sâu hơn thì
sự xê dòch có tự do trong khoảng thời gian này không là phụ thuộc vào FF
ij
=
TF
ij
. Nếu FF
ij
= TF
ij
thì hoạt động (i, j) có thể cơ động tuỳ ý trong khoảng thời
gian vẽ biểu đồ. Nếu FF
ij
< TF
ij
thì hoạt động (i, j) chỉ được bắt đầu muộn hơn
Trang:10
1
1
3
5
4
2
2
3
4
5

chẳng hạn nhân lực, nguyên liệu, chi phí …Về mặt toán học xử lý yêu cầu loại
nào cũng vậy. Ở đây ta nói theo ngôn ngữ nhân lực chẳng hạn.
Thí Dụ III.1. Giả sử nhân lực cho các hoạt động của dự án ở Thí Dụ II.2 đòi
hỏi như sau:
Hoạt động Số nhân
công
Hoạt động số nhân công
(1, 2) 0 (4, 6) 2
(1, 3) 5 (4, 7) 1
(2, 4) 0 (5, 6) 2
(3, 4) 7 (5, 7) 5
(3, 5) 3 (6, 7) 6
Chú ý rằng tại thời điểm hai hoạt động cùng tiến hành thì số nhân lực cần
là tổng hai số công nhân. Vì vậy cần phải sắp xếp khéo các hoạt động không
găng để đòi hỏi tổng nhân công của cả dự án ít (tạm coi là mỗi người biết làm
mọi việc). Việc sắp xếp tối ưu là phức tạp, đến nay ta sử dụng biểu đồ thời gian
biểu diễn thêm nhân lực để sắp xếp theo trực quan. H.1.6 (a) biểu diễn tổng
công nhân cần ở mỗi thời điểm nếu tất cả các hoạt động không găng xếp vào
lúc sớm nhất có thể, còn H.1.6 (b) là tương ứng khi xếp vào lúc muộn nhất có
thể. Hai biểu đồ này nên vẽ thẳng dưới H.1.5 nữa. Sắp đặt sớm nhất ở hình (a)
cho thấy ở mỗi thời điểm dự án cần nhiều nhất là 10 công nhân còn ở sắp đặt
muộn nhất (b) là 12 công nhân. Ở hai phương án này, số công nhân cần ở các
thời điểm không đều. Theo trực quan ta chỉnh lại từ (a) như sau: chuyển hoạt
động (4, 6) đếân thời điểm muộn nhất có thể, chuyển (4, 7) đến ngay sau khi (5,
7) kết thúc. Kết quả được vẽ lại ở biểu đồ H.1.7. (chú ý là hoạt động (1, 2) và
(2, 4) không cần công nhân nên không cần vẽ.).
Trang:11

(3, 5) (4, 7)
(4, 6)

Hình 1.7
IV. Hoàn thành sớm dự án.
Trang:13
1
1
3 4
5
6
7
4
6
7
75
5
3
4
2
2
4
Thời gian
Số công nhân
5 6 7 9 10
3 4 6 10 11 13 14 17 19
3 4 6 10 11 13 14 17 19

∆
∆
. Khi đó độ dài đường găng
mới, tức là thời gian hoàn thành dự án mới, là
∑
∆−= ,
0
~
ij
GG
tTT
ở đây tổng lấy trên mọi hoạt động găng.
V. Dự án có tính ngẫu nhiên.
Trong các mục trên ta đã coi thời gian thực hiện các hoạt động t
ij
là xác
đònh hoàn toàn từ đầu, khi lập sơ đô mạng lưới. Do đó ta có mô hình tất đònh
(detreministic model). Trong thực tế, nhiều yếu tố bất đònh phải được tính đến,
do đó thời gian thực hiện hoạt động (i, j) là một biến ngẫu nhiên (random
variable), mà ta chỉ xác đònh được phân bố xác suất (probability distributtion)
qua kinh nghiệm và sôù liệu thống kê. Từ đó dẫn đêùn phải sử dụng mô hình
ngẫu nhiên hoặc gọi khác là mô hình xác suất (probabilistic model). Việc tính
toán các chỉ tiêu để điều hành dự án có hai nhiệm vụ chính. Một là tính kỳ
vọng (mean hoặc expected value) của các đại lượng cần tính, chẳng hạn thời
gian thực hiện hoạt động (activity time), thời gian hoàn thành dự án (project
time), và phương sai (variance) của các đại lượng này. Hai là tính xác suất của
biến cố nào đó, chẳng hạn biến cố là dự án hoàn thành trước thời điểm T.
Thời gian thực hiện mỗi hoạt động, thường gọi tắt là thời gian hoạt động,
trong mô hình ngẫu nhiên thường được giả thiết là xác đònh được ba yêùu tố sau.
Thời gian lạc quan (optimistic time) ký hiệu là a, là thời gian cần để làm xong

−= ab
σ
. (1.1)
Điều này đúng cho nhiều biến ngẫu nhiên hay gặp.
Giả thiết 2. Phân bố xác suất của mỗi thời gian hoạt động đêøu là phân bố
beta (beta distribution).
Ta hãy nhắc lại vài kiến thức xác suất. Mỗi đại lương ngẫu nhiên x có hai
hàm quan trọng nhất. Hàm mật độ xác suất (probability density fuction) f(x), a ≤
x ≤ b, và hàm phân bố tích luỹ (cumulative distribution function) F(X), gọi là
hàm phân bố. Ở đây giả thiết là x chỉ lấy giá trò trong [a, b] . Ta có các quan hệ
sau
∫
∫
=≤=
=
X
a
b
a
dxxfXxPXF
dxxf
,)(}{)(
,1)(
∫
∫
−=
=
b
a
e

+Γ
=
βαβα
βαβα
βα
xx
B
xxxf
, (1.2)
ở đây α, β là tham số, Γ(.) là hàm đặc biệt gamma và B(., .) là hàm đặc biệt
beta, được đònh nghóa bằng tích phân phụ thuộc tham số
f(x) α < β α >β
∫
∫
−−
+∞
−−
−=
=Γ
1
0
11
0
1
)1(:),(
:)(
dtttB
et
t
βα

πσ

ở đây tham số µ chính là kỳ vọng
và σ
2
chính là phương sai của biến
ngẫu nhiên x có phân bố chuẩn.
Khi đó biến
σ
µ
−
=
x
z
có phân bó
là phân bôù chuẩn với kỳ vọng 0,
phương sai là 1. Hàm mật độ của
phân bố chuẩn có dạng ở H.1.9
Các biến ngẫu nhiên x
1
, …, x
n
được gọi là độc lập (independent) nếu.
P{x
1
≤ X
1
, …, x
n
≤ X

e
(II.3)
Thí dụ V.1. Giả sử dự án xây nhà ở H.1.1 bây giờ có các thời gian hoạt
động là ngẫu nhiên có phân bố beta thoả hai giả thiết trên và xác đònh được ba
mốc thời gian lạc quan, bi quan và hợp lý nhất theo bảng1.3. Khi đó phương sai
và kỳ vọng của các thời gian hoạt động, tình theo công thức (4, 1) và (4, 3)
được ghi ở hai cột cuối.
Trang:16
f(x)
µ
x
Hình 1.9
Hoạt
động
Thời gian
lạc quan a
Thời gian
hợp lý nhất
m
Thời gian
bi quan b
Kỳ vọng t
e
Phương
sai σ
2
(1, 2)
(2, 3)
(3, 4)
(4, 5)

1
4
2
1
5
2
1
7
4
2
1
6
9
8
4
2
1
5
2
2
1
5
3
8
18
5
10
9
10
11

1
4
0
4
9
1
9
4
Bảng 1.3
Nhận xét rằng cột kỳ vọng ở Bảng1.3, do thí dụ được xây dựng đặc biệt,
trùng hoàn toàn với các thời gian hoạt động trong mô hình tất đònh đã xét ở H.1.
Do đó đường găng xây dựng trên các thời gian hoạt động kỳ vọng trùng với
đường găng của mô hình tất đònh ở H.1.2 và thời gian của đường găng này là
44.
Tuy nhiên để xác đònh kỳ vọng và phương sai của thời gian dự án, ta cần
thêm hai giả thiết sau.
Giả thiết 3. Các thời gian hoạt động là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Giả thiết 4. Đường găng xây dựng trên các thời gian hoạt động kỳ vọng,
luôn đòi hỏi thời gian (hoàn thành mọi hoạt động trên nó) lớn hơn các đường
khác.
Trang:17
Tính thật chi ly trong các thí dụ cụ thể thì hai giả thiết 3 và 4 có thể không
đúng. Chẳng hạn, ở Thí dụ V.1, nếu sảy ra thời gian bi quan ở mọi hoạt động
thì đường găng đã tính là 69 (ngày). Còn đường 1 –> 2 –> 3 –> 4 –> 5 –> 7 –>
9 –> 12 –> 13 có thời gian bi quan là 70. Tuy vậy người ta vẫn chấp nhận các
giả thuyết xấp xỉ này. Khi đó, vì kỳ vọng và phương sai của tổng các biến ngẫu
nhiên là tổng của các kỳ vọng và phương sai nên ta có: Kỳ vọng và phương sai
của thời gian dự án là tổng các kỳ vọng và phương sai của các thời gian hoạt
động trên đường găng (xây dựng theo các kỳ vọng). Đến đây ta nhận xét rằng
một trong các cách áp dụng thực tế là dùng các kỳ vọng của các biến, rồi áp

kỳ vọng và phương sai của thời điểm sớm µ
i
của biến cố i. Nếu chỉ có một
đường từ khởi công đến i thì, do các hoạt động là độc lập kỳ vọng của µ
i
ký
hiệu là E(µ
i
), bằng tổng các kỳ vọng t
e
của thời gian các hoạt động dẫn đến i.
Khi có nhiều đường dẫn đến i thì người ta coi xấp xỉ (để đơn giản) E(µ
i
) và
Var(µ
i
) là tổng các t
e
và σ
2
của các hoạt động theo đường đến i có tổng E(µ
i
) dài
nhất. Nếu có nhiều đường với cùng E(µ
i
) thì Var(µ
i
) quy ước lấy lượng của
đường có tổng các σ
2

E
PTP ≤=










−
≤
−
=≤
µ
µ
µ
µµ
µ
,
ở đây
)(
)(
i
ii
i
Var
ET

là thời gian chuẩn và thời
gian cực điểm. C
Dij
và C
dij
là cước phí chuẩn (normal cost) và cước phí cực điểm
(crash cost), đều của hoạt động (i, j). Gọi x
ij
(thời gian thực hiện hoạt động (i, j))
là biến quyết đònh (decision variable) của bài toán mà ta cần tính. Gọi S
ij
là độ
xiên, tức là hệ số góc đường thẳng biểu thò đường cong thời gian – cước phí ,
tức là:
ijij
dD
ij
dD
CC
S
ijij
−
−
=
.
Trang:19
Cước phí trực tiếp
K
ij
C

của biến cố k. Khi đó
quan hệ giữa các biến theo Mục 4.2 là
{ }
jkjk
tEE +=
j
max
, (1, 4)
ở đây max lấy theo các biến cố j ngay trước k, tức là có hoạt động nối (j, k). Ký
hiệu y
k
= E
k
, t
jk
= x
jk
và viết lại (4, 4) ta được
y
i
+ x
jk
– y
k
≤ 0
(số ràng buộc là số các biến cố ngay trước k). Gọi 1 là nút xuất phát và n là nút
kết thúc dự án thì
y
1
= 0, y

’
ij
thì ràng buộc x
ij
≥ d
ij
trở thành ràng buộc dấu x
’
ij
≥ 0. Thêm ràng buộc
hình thức y
i
≥ 0, ∀i. Ràng buộc này tự nhiên thoả do y
1
= 0 và y
j
≥ y
i
+ d
ij
+ X
’
ij
.
Trường hợp không có thời hạn bắt buộc T cho trước, tức là cần tìm thoả
hiệp tốt nhất giữa tổng cước phí và tổng thời gian dự án, người ta coi T là tham
số và giải quy hoạch tuyến tính tham số để được nghiệm tối ưu như hàm của T.
VII. Kiểm tra hiệu chỉnh dự án.
Sau khi dùng phương pháp điều hành dự án PERT – CPM xác đònh được sơ
đồ mạng lưới, các biểu đồ và bảng tính các chỉ tiêu và dự án đang được tiến

Đònh nghóa 1: Đơn đồ thò vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập hợp các
đỉnh và E là tập hợp các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V
gọi là các cạnh.
Trong trường hợp giữa hai máy tính nào đó thường xuyên phải truyền tải
nhiều thông tin người ta phải nối hai máy tính này bởi nhiều kênh thoại.
Đònh nghóa 2: Đa đồ thò vô hướng G = (V,E) bao gồm là tập các đỉnh, và E
là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các
cạnh. Hai cạnh e
1
và e
2
được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một
cặp đỉnh.
Rõ ràng mỗi đơn đồ thò đều là đa đồ thò, nhưng không phải đa đồ thò nào
cũng là đơn đồ thò, vì đa đồ thò có thể có 2 (hoặc nhiều hơn) cạnh nối một cặp
đỉnh nào đó.
Trang:21
Trong mạng máy tính có thể có những kênh thoại nối một máy nào đó với
chính nó (chẳng hạn với mục đích thông báo). Mạng như vậy được cho trong
hình 3. Khi đó đa đồ thò không thể mô tả được mạng như vậy, bởi vì có những
khuyên (cạnh nối một đỉnh với chính nó ). Trong trường hợp này chúng ta cần
sử dụng đến các khái niệm giả đồ thò vô hướng, được đònh nghóa như sau:
Đònh nghóa 3: Giả đồ thò vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và
E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phải khác
nhau) của V gọi là các cạnh. Cạnh e được gọi là khuyên nếu có dạng e = (u,u).
Đònh nghóa 4: Đơn đồ thò có hướng G =(V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và
E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
Nếu trong mạng có thể có đa kênh thoại một chiều, ta phải sử dụng đến khái
niệm đa đồ thò có hướng:
Đònh nghóa 5: Đa đồ thò có hướng G= (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E

Vv
vm )deg(2
Đònh lý 1: Giả sử G = (V,E) là đồ thò vô hướng với m cạnh. Khi đó.
Chứng minh. Rõ ràng mỗi cạnh e = (u,v) được tính một lần trong deg(u) và
một lần trong deg(v). Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc của các đỉnh bằng hai lần
số cạnh.
Thí dụ 2: Đồ thò với n đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là 6 có bao nhiêu cạnh?.
Giải: Theo đònh lý 1, ta có 2m = 6n. Từ đó suy ra số cạnh của đồ thò là 3n.
Hệ quả: Trong đồ thò vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghóa là có bậc là số lẻ) là
một số chẵn.

∑ ∑ ∑
+=
Vv Ov Uv
vvvm
ε ε ε
)deg()deg()deg(2
Chứng minh: Thực vậy gọi O và U tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập
đỉnh bậc chẵn của đồ thò. Ta có:
Do deg(v) là chẵn với v là đỉnh trong U nên tổng thứ hai trong vế phải ở
trên là số chẵn. Từ đó suy ra tổng thứ nhất (chính là tổng bậc của các đỉnh bậc
lẻ) cũng phải là số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này
phải gồm một số chẵn các số hạng. Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn. Ta
xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thò có hướng.
Đònh nghiã 3: Nếu e = (u, v) là cung của đồ thò có hướng G thì ta nối hai
đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u,v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói
cung này là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v. Đỉnh u(v) sẽ được gọi là đỉnh đầu
(cuối) của cung (u, v).
Tương tự như khái niệm bậc, đối với đồ thò có hướng ta có khái niệm bán
bậc ra (vào) của một đỉnh.

,x
n
trong đó u
=x
0
, v=x
n
, (x
i
, x
i+1
) ∈ E, i= 0, 1, 2… , n-1. Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn
dưới dạng dãy các cạnh: (x
0
, x
1
), (x
1
, x
2
), …, (x
n-1
, x
n
).
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi
có đỉnh đầøu trùng với đỉnh cuối (tức là u= v) được gọi là chu trình. Đường đi hay
chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bò lặp lại.
Đònh nghóa 2: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v trong đó n là số
nguyên dương, trên đồ thò vô hướng G =(V, A) là dãy x

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi
có đỉnh đầøu trùng với đỉnh cuối (tức là u= v) được gọi là chu trình. Đường đi hay
chu trình được gọi là đơn nếu như không có cung nào bò lặp lại.
Đònh nghóa 3: Đồ thò vô hướng G= (V,E) được gọi là liên thông nếu luôn
tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Như vậy hai máy tính bấy kỳ trong mạng có thể trao đổi thông tin được với
nhau khi và chỉ khi đồ thò tương ứng vơi mạng này là đồ thò liên thông.
Đònh nghóa 4: Ta gọi đồ thò con của đồ thò G= (V,E) là đồ thò H = (W,F)
trong đó W ⊆ V và F⊆E.
Trong trường hợp đồ thò là liên thông, nó sẽ rã ra thành một số đồ thò con
liên thông đôi một không có đỉnh chung. Những đồ thò con liên thông như vậy ta
sẽ gọi là các thành phần liên thông của đồ thò.
Đònh nghóa 5: Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng với
các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thò làm tăng số thành phần liên thông của đồ
thò. Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thò làm tăng số thành
phần liên thông của đồ thò.
Đònh nghóa 6: Đồ thò có hướng G= (V,A) được gọi là liên thông mạnh nếu
luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Đònh nghóa 7: Đồ thò có hướng G =(V,A) được gọi là liên thông yếu nếu đồ
thò vô hướng tương ứng với nó là đồ thò vô hướng liên thông.
Rõ ràng nếu đồ thò là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhưng
điều ngược lại là không luôn đúng.
Đònh lý1: Đồ thò vô hướng liên thông là đònh hướng được khi và chỉ khi mỗi
cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình.
Chứng minh: Điều kiện cần, giả sử (u, v) là một cạnh của đồ thò. Sự tồn
tại đường đi có hướng từ u đến v và ngược lại suy ra (u, v) phải nằm trên ít nhất
một chu trình.
Trang:24
Điều kiện đủ, thủ tục sau đây cho phép đònh hướng các cạnh của đồ thi để
thu được đồ thò có hướng liên thông mạnh. Giả sử C là chu trình nào đó trong

2,… ,n}với các phần tử được xác đònh theo quy tắc sau đây:
a
ij
=0 nếu (i,j) ∉ E và a
ij
=1 nếu (i,j)∈ E, i,j =1, 2,…,n
Thí dụ1: Ma trận kề củae đồ thò vô hướng cho trong hình 1 là:
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
3 4 2 5
1 6 1 4
Trang:25
0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 0