10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

[email protected] Page 1

Hệ phương trình giải được bằng 10 cách
Bài toán. Giải hệ phương trình .
Giải
Điều kiện : .
Cách 1:
Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra

(*)
Xét hàm số ;
.
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Từ (*) ta có . Thế vào (1) ta thu được phương trình

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .

9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
xy
yx

   


   



9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

[email protected] Page 2


   


   



   


   

9 7 2 9. 7 16
9 7 2 9. 7 16
x y x y
x y y x

      



      


2 9. 7 0
2 9. 7 0
x y x y
x y y x

    


  

xy
99xy  
77yx  
9 7 9 7x y y x      
9 7 4
9 7 4
xy
yx

   


   


44
xy
99xy  
77yx  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

[email protected] Page 3

mà nên (vô lí).
TH3: Nếu , thế vào (1) ta thu được phương trình

99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  





9 7 7 9 8x x y y       


2
9 7 16 2. 9. 7 16x x x x       
9 7 4xx   


  

  
  


  


  
  
  







www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

[email protected] Page 4

Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có
nghiệm của hệ phương trình là .
Cách 5:
Đặt . Ta thu được hệ

16 (3)
16 (4)
uv
zt
ut
zv











(5)u v z t   
2 2 2 2 2 2 2 2
u t z v u v z t       
     
(6)u v u v z t z t     
     
     
u v z t
u v u v z t u v
u v u v z t z t

  


;

.
Ta có .
. Do đó, (*) xảy ra khi
ta có .
Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có
99
77
xy
xy
xy

  

  

  


xy
2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy

2
2 9 2 7 9. 7
tt
f t t
t t t t
  
    
   
   
' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t             
     
9 4; 7 4; 1 4 2f f f    
     
9;7
in 9 7 4M f t f f



    
   
4 4 8f x f y    
 
 
         
4
; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9
4
fx
xy
fy


Từ bảng biến thiên ta suy ra .
. Do đó, (*) xảy ra khi ta có
.
Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có
97
;
97
xx
yy

  

  





9 7 7 9 8x x y y       
 
97f t t t   
9;7t



   
1 1 1 7 9
' . , 9;7
2

2. in 2.4 8f x f y M f t



    
 
 
         
4
9 7 4
; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9
4
7 9 4
fx
xx
xy
fy
yy



   

      


   




  

  

9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
xy
yx

   


   


x m y
7 0; 9 0x m x m     
m
x
9 7 4 9 7 2 9. 7 16
9 7 4 9 7 2 9. 7 16
x x m x x m x x m
x m x x m x x m x

             



             



  
  



x m y
0m 
xy
97
;
97
xx
yy

  

  

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh

[email protected] Page 8

Ta có
Đặt . Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là :
.
Do nên , suy ra .
Ta lại đặt với . Ta thu được hệ phương trình

u
v
8 8 4
8 8 4
uv
vu

   


   


97
97
x
y

  

  

8 1 8
8 1 8
x
y

   

   

ba

   

   



   
   



   
   
22
22
8 2 cos 8 2sin 4
4 cos 4 sin 4
4 cos 4 sin 4
8 2 cos 8 2 sin 4
ab
ab
ba
ba







( lưu ý )
.
Lại do nên ta chỉ cần xét với
.
TH1:
.(thỏa mãn bài toán)
TH2:
.( không thỏa mãn bài toán)
2
22
2
22
22
2
22
2
cos cos
cos cos cos cos 0
sin sin
sin sin sin sin 0
cos cos cos cos 0
cos cos
sin sin sin sin 0
sin sin
aa
a a a a
bb
b b b b
b b b b



cos 0
cos 1
sin 0
cos 0 cos 0 cos 1 cos 1
sin 1
sin 1 sin 1 sin 0 sin 0
;;;
cos 0 cos 1 cos 0 cos 1
cos 1
sin 1 sin 0 sin 1 sin 0
cos 0
sin 1
sin 0
a
a
b
aaaa
b
aaaa
bbbb
b
bbbb
b
a
a















2 2 2 2
cos sin 1;cos sin 1a a b b   
cos 0 cos 0 cos 1 cos 1
; ; ;
cos 0 cos 1 cos 0 cos 1
a a a a
b b b b
   
   
   
   
   
1 cos2
0
cos 0 cos2 1
2
cos 0 1 cos2 cos2 1
0
2

cos 0 cos2 1
2
cos 1 1 cos2 cos 2 1
1
2
a
aa
b b b





  


  
  





8 1 8 9
8 1 8 7
u x x
v y y
  
      
  

b b b








  
   





8 1 8 7
8 1 8 9
u x x
v y y
  
   
  
  
      
  
1 cos2
1
cos 1 cos2 1
2

  
97
;
97
xx
yy

  

  

9 7 4 (1)
9 7 4 (2)
xy
yx

   


   


x m y
7 0 7 0 7y x m x m        
9 0 9 0 9y x m x m         
97x  
77
99
m
m

Bài viết của: Trần Tuấn Anh – [email protected]

2
9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                
2
77
2 63 0
99
xy
xx
xy

  
     

    

97
;
97
xx
yy

  

  

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com