Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn H Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
§Ị thi chÝnh thøc
Môn : TOÁN ( Vòng 1)
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề
BÀI 1:
Gọi (C) là đồ thò hàm số :y = x
3
– 2005x. M
1
là điểm trên (C) có hoành độ x
1
=1.
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
1
cắt (C) thêm một điểm M
2
khác M
1
.
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
2
cắt (C) thêm một điểm M
3
khác M
2,

Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
n-1
cắt (C) thêm một điểm M
n

3
2
R
thì : sinA + sinB + sinC
≤

2
33
+
.

Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
Thõa Thiªn H Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
§Ị thi chÝnh thøc Môn : TOÁN ( Vòng 2)
BÀI 1:
Với mỗi số thực a, kí hiệu [a] chỉ số nguyên k lớn nhất mà k
≤
a .
Giải phương trình : [lg
x
] +
x
+ [
6
x
] = [
2
x
] + [
3

k
(x
k
;y
k
): y - y
k
= y’(x
k
)(x- x
k
)
y = (3x
2
k
-2005)(x- x
k
)+ x
3
k
-2005x
k
1,0
+ Xét phương trình : x
3
– 2005x = (3x
2
k
-2005)(x- x
k

1,0
+ x
1
=1 , x
2
= -2 , x
3
= 4 , x
n
= (-2)
n-1
n= 1,2,
+ y
n
= x
3
n
-2005x
n
, 2005x
n
+ y
n
+ 2
2007
= 0
⇔

x
3

OFj =
.
Ta có E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) .
Phương trình của EF : x –y + 1 = 0 ; FG : x + y -1 = 0 ,đường tròn(EFG): x
2
+y
2
=1
Gọi N(X;Y). Toạ độ các hình chiếu của N lên EG, EF, FG lần lượt là:
N
1
(
X;0) ,

N
2
(
2
1
(X+Y-1);
2
1
(X+Y+1)) ,

N
3
(
2
1
(X-Y+1);

=1(1)
2,0
2
+ Tìm thêm điều kiện để N thoả tính chất b/. Chỉ cần xét N(X;Y) khác F(0;1).
Với điều kiện (1) ,dường thẳng d có phương trình : X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0
Tâm của (T) là I(0;
2
1
) . Bán kính của (T) :
2
1
+ d tiếp xúc (T) khi và chỉ khi :
2
1
)1(
)
2
1
)(1()0(
22
=
−+
−+−
YX
YXX

⇔

12)12(
2222

⇔
Y= -1 ; Y=
2
1
.
1,0
+ Với Y=-1 ta có điểm N(0;-1), đó là H .
Với Y=
2
1
, ta có thêm hai điểm N : (
2
3
;
2
1
) và (-
2
3
;
2
1
) .
Tập hợp phải tìm là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (EFGH) mà một
đỉnh là H
1,0
3
7,0
+ Tam giác có : A = 90
0

2
3
2
R
⇔
sinAsinBsinC
≤
4
3
⇒
sinAsinBsinC
≤
uvw .(1)
1,0
1,0
+
sinC=
R
R
R
c
22
≥
=
2
1
và sinAsinB
≤
4
3

+
C
w
sin
)+(sinB-sinC)(
A
u
sin
+
B
v
sin
)+(sinA-sinB)
A
u
sin
Suy ra:
u+v+w
≥
sinC(3
3
sinsinsin CBA
uvw
) +(sinB-sinC)(2
BA
uv
sinsin
) + (sinA-sinB)
A
u

1,0
+ Đặt x = 6q + r ,với q và r là các số tự nhiên , 0
≤
r
≤
5 .
[
2
x
] + [
3
2x
] - [
6
x
] = [ 3q +
2
r
]+ [4q+
3
2r
] – [q+
6
r
]= 6q + [
2
r
]+ [
3
2r

∈
{0;1;2;3;4;5}
2,0
+ Ta có : [
2
r
]+[
3
2r
]-[
6
r
]-r =



=
=−
5;4;3;2;00
11
rkhi
rkhi

+Do x
≥
1 nên [lgx]
≥
0 .Không xét trường hợp r=1
Với r
≠

+
Q =
MG
NG
NG
MG
+
≥
2 .Dấu bằng khi và chỉ khi :
NG
MG
=
MG
NG
= 1 .
+ SG cắt mp(ABCD) tại tâm O của hình bình hành ABCD. Gọi K là trung điểm của SG .
Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại
A
1
,B
1
,C
1
,D
1
.Từ N dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SG tại N’.
Ta có:
MG
NG
=

Từ đó : Q=2 khi và chỉ khi M thuộc cạnh hình bình hành
'
1
'
1
'
1
'
1
DCBA
'
1
'
1
'
1
'
1
DCBA
là hình chiếu song song củahình bình hành A
1
B
1
C
1
D
1
lên mp(ABCD)
theo phương SG .
1,0

.
Do đó : HG
≤
N’G
≤
SG. Vì vậy :

OG
HG
≤
OG
GN'
≤
OG
SG

hay

2
1
≤
MG
NG
≤
2.
2,0
4
+ Đặt
x
=

);Q(2);Q(1)}=
2
5
.
+
Giá trò lớn nhất của Q là
:
2
5
. Đạt khi M trùng với O hoặc các đỉnh A,B,C,D.
1,0
1,0
3
7,0
+
Điều kiện a/ cho thấy bậc của P(x)
≤
n ,điều kiện b/ cho thấy bậc của P(x)
≥
n.
Vậy bậc của P(x) là n. P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1

x
2
+a
1
x + a
0
thoả bài toán thì theo đònh lí Víet :
x
1
+ x
2
= -
2
1
a
a
; x
1
.x
2

=
2
0
a
a
trong đó :
{

a

+ 2.x + 0 , P(x) =

2.x
2
+ 1.x + 0 thoả bài toán .
+ Với n=3 ,nếu P(x) = a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x + a
0
thoả bài toán thì theo đònh lí Víet :
x
1
+ x
2
+ x
3
= -
3
2
a
a
; x

0
, a
1
, a
2
,a
3
}={0,1,2, 3}, a
3
≠
0
Do x
1
≤
0 , x
2
≤
0 ,x
3
≤
0, x
1
≠
x
2
x
1
≠
x
3

x +a
1
) ;
{ a
1
, a
2
,a
3
}={1,2, 3},
04
13
2
2
>− aaa
Các đa thức : P(x)=1.x
3
+3.x
2
+2.x+0 , P(x)=2x
3
+3x
2
+1.x+0 thoả bài toán .
1,0
1,0
5
+
Với n>3,nếu


−−
−
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
a
a
xxx
a
a
xxxxxxxxx
a
a
xxx
0
21
1
1
2132121
1
21
)1(
)1(


a
n
x
n-1
+ a
n-1
x
n-2
+ + a
2
x +a
1
với (a
1,
a
2, ,
a
n
) là một hoán vò của{1,2, ,n},a
n
≠
0
Đặt u
i
= - x
i
(i=1,2, ,n-1) .Ta có u
i

> 0 và :

=
n
a
a
2
(2)
u
1
u
2
u
n-1
=
n
a
a
1
(3) . Từ (2) và (3) cho :
1
1
u
+
2
1
u
+ +
1
1
−n
u

Dùng (1) và (4) suy ra :
n
n
a
a
1−
.
1
2
a
a
≥
(n-1)
2
.Nhưng
n
n
a
a
1−
.
1
2
a
a

≤

2.1
)1( −nn

2
+x .
2,0
D'
C'
H
G
N'
N
M
O
D
C
B
A
s
Hình vẽ bài 2
6