ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
  
BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

SỐ ĐẾM GVBM: CAO THANH TÌNH
BÀI TẬP THUYẾT TRÌNH NHÓM I
DANH SÁCH NHÓM I

1. NGÔ VĂN HÀO – 11520549
2. PHẠM MINH ĐỨC – 11520070
3. VĂN TẤN QUỐC – 11520312
4. TRẦN ANH KHOA – 11520178
5. LÊ ĐÌNH PHI – 11520282
6. PHẠM ĐĂNG VINH – 11520480
7. TRẦN PHƯƠNG CHUNG – 11520034
8. NGUYỄN HOÀNG HUY – 11520576
9. PHAN HUY TÀI – 11520340
10.LÊ VĂN TOÀN – 11520423

d)
e) =
f)

Bài 5 : Xét 4 tập hợp con của tập hợp vũ trụ
A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,8}
C = {1,2,3,5,7}, D = {2,4,6,8}
Hãy xác định các tập hợp dưới đây
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Giải
a) Ta có :
-
-
b) Ta có :
-
-
c) Ta có :
-
-
-
d) Ta có :
-

minh các khẳng định dưới đây
a) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì và
b) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì và
c) A ⊂ B khi và chỉ khi
d) A ⊂ B khi và chỉ khi
Giải
a) Ta có
- A ⊂ B và C ⊂ D (1)
- (1)
- (2) Điều phải chứng minh
b)c)d) Tương tự
Bài 8 : Dùng các quy luật của Lý thuyết tập hợp để đơn giản các biểu
thức dưới đây
a)
b)
c)
Giải
a)
b)

c)

Bài 8: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành từ 1 trong ba danh sách
tương ứng có 29, 15, 31 bài. Vậy sinh viên đó có bao nhiêu cách chọn
bài thực hành
Giải
Theo quy tắc cộng ta có : 29 + 15 + 31 = 75 (cách chọn)
Bài 9 : Người ta ghi nhãn cho những chiếc ghế trong giảng đường bằng
chữ và 1 số nguyên dương không vượt quá 100. Vậy có nhiều nhất bao
nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau.

U là tập hợp các cách bỏ thư và A
m
là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa
chỉ. Khi đó theo công thức về nguyên lý bù trừ ta có:
N
= n!  N
1
+ N
2
 + (1)
n
N
n
,
trong đó N
m
(1  m  n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư
đúng địa chỉ. Nhận xét rằng, N
m
là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n
lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n-m)! cách bỏ để m lá thư này đúng
địa chỉ, ta nhận được:
N
m
=
m
n
C
(n - m)! =
n

Bài 13 : Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất là bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu
máy điện thoại khác nhau. Mỗi điện thoại có 9 chữ số dạng 0XX-
8XXXXX với X nhận giá trị từ 0-9
Giải
Vì số mã vùng có dạng 0XX-8XXXXX, với X nhận các giá trị từ 0-9, có
7 ký tự X do vậy những trường hợp. Do đó theo nguyên lý Dirichet
với 10 triệu máy điện thoại thì cần có số mã vùng là :
. Vậy số mã vùng cần thiết để thỏa yêu cầu là 3.
Bài 14 : Biển số xe gồm 8 ký tự dạng NN-NNNN-XN ví dụ
75_1576_F1. Hai số đầu là mã tỉnh.X là chữ cái ( 26 chữ cái). N gồm
các số từ 0-9. Hỏi 1 tỉnh cần đăng ký cho 1 triệu xe thì cần bao nhiêu
serial X.
Giải
Hai số NN đầu là mã tỉnh, do nhà nước quy định nên không ảnh hưởng
đến kết quả. Sáu số ký tự còn lại là N nhận giá trị từ 0-9 nên có
trường hợp. Theo nguyên lý Dirichlet, số serial X tối thiểu phải thỏa
mãn :
Bài 15 : Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu
mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận. Chứng minh rằng
tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao
cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận.
Giải
Gọi a
j
là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j. Khi đó
1  a
1
< a
2
< < a

là từ ngày j + 1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14 trận.
Bài 16 : Chứng tỏ rằng trong n + 1 số nguyên dương không vượt quá 2n,
tồn tại ít nhất một số chia hết cho số khác.
Giải
Ta viết mỗi số nguyên a
1
, a
2
, , a
n+1
dưới dạng a
j
=
j
k
2
q
j
trong đó k
j
là số
nguyên không âm còn q
j
là số dương lẻ nhỏ hơn 2n. Vì chỉ có n số
nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại i và j
sao cho q
i
= q
j
= q. Khi đó a

hợp đầu ta gọi B, C, D là bạn của A. nếu trong ba người này có hai
người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau,
ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C, D không có ai là bạn ai cả thì
chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau. Tương tự có thể chứng minh
trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A.
Bài 18 : Cần phải có bao nhiêu SV ghi tên vào lớp TRR để chắc chắn có
ít nhất 65 SV đạt cùng điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc.
Giải
Gọi n là số sinh viên tối thiểu thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet
thì = 65. Do vậy
n = 10 * 64 +1 = 641 SV.
Bài 19 : Chỉ ra rằng nếu chọn 5 số từ tập 8 số {1, 2, …, 7, 8} thì bao giờ
cũng có ít nhất 01 cặp số có tổng là 9.
Giải
Từ 8 số ở trên, ta chia thành 04 cặp: {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} và tổng
của mỗi cặp đều bằng 9.
Như vậy, đề bài sẽ trở thành chọn 5 số từ 4 cặp số trên. Theo nguyên lý
Dirichlet, phải có ít nhất 01 cặp số được chọn hết. Vậy bài toán đã được
chứng minh.

Bài 20 : Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm
những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ.
Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền
cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.
Giải
Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần
lấy một từ 1 trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính
là một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử. Do đó số cần tìm là
5
157 

chữ U và 1 chữ E. Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta
nhận thấy có C(7,3) cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ trống.
Có C(4,2) cách chọn 2 chỗ cho 2 chữ C, còn lại 2 chỗ trống. Có thể đặt
chữ U bằng C(2,1) cách và C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu. Theo nguyên
lý nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo được là:
3
7
C
.
2
4
C
.
1
2
C
.
1
1
C
=
7 4 2 1
3 4 2 2 1 1 1 0
! ! ! !
!. !. !. !. !. !. !. !
=
7
3 2 1 1
!
!. !. !. !

47
C
.
5
42
C
.
5
37
C
=
cách chia cho 4 người mỗi người một xấp 5 quân bài.
Bài 24 Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi,
40 SV học cả hai môn trên.
a. Tìm tất cả SV của khóa 29 biết rằng SV nào cũng phải học ít nhất 01
môn.
b. Biết tổng số SV là 285, hỏi có bao nhiêu SV không học Java hoặc
Delphi.
Giải
Gọi J: SV học Java
D: SV học Delphi
a. Số SV của khóa 29 là:
SV
b. Số SV không học Java hoặc Delphi là (áp dụng nguyên lý bù trừ)
ta tính được:
SV
Bài 25 : Mỗi người sử dụng máy tính dùng password có 6 -> 8 ký tự.
Các ký tự có thể là chữ số hoặc
chữ cái, mỗi password phải có ít nhất 01 chữ số. Tìm tổng số password
có thể có.

8
- 2
6
= 512 – 64 =448 xâu.
Bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11.
Xâu nhị phân thỏa mãn đề bài phải có dạng: 00.xxxx.xx11. Hai ký tự
đầu và 02 ký tự cuối là
không đổi, do vậy chỉ còn 06 ký tự ở giữa. Do đó số xâu nhị phân thỏa
mãn đề bài là: xâu.
Bài 27: Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại
một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao
nhiêu tiền trong tài khoản của mình?
Giải
Gọi P
n
là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong
tài khoản sau n năm bằng số có sau n  1 năm cộng lãi suất của năm thứ
n, nên ta thấy dãy {P
n
} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:
P
n
= P
n-1
+ 0,11P
n-1
= (1,11)P
n-1

với điều kiện đầu P

n-2
. Cuối cùng ta có được:
a
n
= a
n-1
+ a
n-2
với n  3.
Điều kiện đầu là a
1
= 2 và a
2
= 3. Khi đó a
5
= a
4
+ a
3
= a
3
+ a
2
+ a
3
= 2(a
2

+ a
1

1
1
n
+ 
2
2
n
+ 
3
3
n
.
Các điều kiện ban đầu a
0
= 2 = 
1
+ 
2
+ 
3

a
1
= 5 = 
1
+ 
2
2 + 
3
3

n
= f
n-1
+ f
n-2
và các điều kiện
đầu f
0
= 0 và f
1
= 1. Các nghiệm đặc trưng là r
1
=
1 5
2

và r
2
=
1 5
2

.
Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức f
n
= 
1
(
1 5
2

1 5
2

). Từ hai phương trình này cho ta 
1
=
1
5
, 
2
= -
1
5
. Do đó
các số Fibonacci được cho bởi công thức hiển sau:

Bài 31: Tìm hệ thức truy hồi và n r . Với n r là số miền của mặt phẳng bị
phân chia bởi n đường thẳng. Biết rằng không có 2 đường thẳng nào
song song và cũng không có 03 đường thẳng nào đi qua cùng 1 điểm.
Giải
Với n đường thẳng, theo đề bài thì đường thẳng thứ n sẽ cắt n – 1 đường
thẳng còn lại tại n – 1
điểm, tức là sẽ cắt n – 1 + 1 = n phần mặt phẳng. Do đó, số phần mặt
phẳng tăng lên là n. Từ đó, ta có
được hệ thức truy hồi: .
Các điều kiện đầu là:
n = 0:
n = 1:
Bài 32 : cho tập hợp A gồm n phần n phần tử ( n 4). Biết rằng số tập
hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử Khi =5, dễ dàng thấy M=

Bài 34: Một đội tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách phân công để giúp 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi
tỉnh có 4 nam va 1 nữ.:
Bài làm:
- Chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ nhất, theo quy tắc nhân ta có:

- Chọn 4 nam và 1 nữ trong số những người còn lại:

- Còn lại là ở tỉnh thứ 3.
- Vậy số cách phân công thỏa yêu cầu là:
N = 1485.140 = 207900

Bài 35 : Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam.
Cần lập đoàn 3 người có cả nam lẫn nữ vừa toán học vừa có vật lí. Hỏi
có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
Bài làm:
- Ta có 3 cách như sau:
1. 2 vật lí nam, 1 nữ toán:
2. 1 vật lí nam, 2 nữ toán:
3. 1 vật lí nam, 1 nữ toán và 1 nam toán:
Số cách lập đoàn công tác là: 18+12+60 = 90

Bài 36 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

Bài 38 : Cho tập hợp E = có thể lăp được bao nhiêu số
có 4 chữ số không yêu cầu đội 1 khác nhau. Sao cho mỗi số tạo thành
đều chia hết cho 4.
Bài làm:
Những số từ 2 chữ số trở lên muốn chia hết cho 4 thi phải có 2 chữ số
cuối chia hết cho 4.
Liệt kê số có 2 chữ số chia hết cho 4: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64.
- Chọn 2 số cuối như trên ta có 9 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng nghìn ta có 6 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng trăm ta có 6 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 9.6.6 = 324.
Vậy có 324 cách chon thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 39 : Biển số xe là 1 dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng
sau. Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái từ A đến Z. Các chữ số được lấy từ 10
số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu biển số xe có 2 chữ cái khác nhau, đồng thời
có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giồng nhau.
Bài làm:
- Chọn 2 chữ cái trong 26 chữ là:
- Chọn 2 số lẻ giống nhau:
- Chọn 2 vị trí trong số 4 vi trí để đặt 2 số lẻ giống nhau:

- Sắp xếp 2 số chẳn vào 2 vị trí còn lại:
( Vì đây là cách chọn 2 phần tử có thể lặp trong 5 phần tử).
Số biển số xe thỏa yêu cầu: N = 650.5.6.25 = 487500.
Bài 40 : Có thể lặp bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5
lần, các số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1 lần.( Viết từ các số 1, 2, 3, 4.)
Bài làm:
Có thể thấy số 1 sẽ có mặt tối thiểu 3 lần.
Gọi:
- là tập hợp các số có 6 chữ số, mà số 1 có mặt 3 lần và số 2,

Theo đó (4)
Từ (2)(3)(4) ta có
Vậy có 50 tam giác thỏa yêu cầu.
Bài 42 : Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi 1 khác nhau, gồm 5 cuốn
văn học, 4 âm nhạc, 3 hội họa. Ông lấy 6 cuốn sách ra tặng cho 6 học
sinh, mỗi hs 1 cuốn sau khi tặng xong mỗi loại còn lại ít nhất 1 cuốn.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài làm:
Gọi A là tập hợp tất cả các cách tặng sách
B là tập hợp cách tặng sách không thỏa yêu cầu.
C là tập hợp cách tạng sách đủ yêu cầu.
|C| = |A| - |B| (1)
Ta có |A| = (2)
Vì không thể xảy ra trường hợp còn lại 1 loại sách.
Nên gọi lần lượt là tập hợp tất cả các
cách sau khi tặng xong hết sách văn học, hội họa, âm nhạc.
|B|= 5040 + 20160 + 60480 = 85680
Từ (1)(2)(3) suy ra |C| = 665280 – 85680 = 579600
Bài 43 : Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu
mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận. Chứng minh rằng
tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao
cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận.
Bài làm:
Gọi a
j
là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j. Khi đó
1  a

Vì vậy tồn tại i và j sao cho ai

= aj

+ 14 (j < i).
Điều này có nghĩa là từ ngày j + 1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14
trận.
Bài 44 : Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là
thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba
người là kẻ thù lẫn nhau.
Bài làm:
Gọi A là một trong 6 người.
Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc
có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lý
Dirichlet tổng quát, vì ]5/2[ = 3. Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D là
bạn của A.
Nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành
một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C,
D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ
thù của A.
Bài 45 : Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm
những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ.
Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền
cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.
Bài làm:
Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần
lấy một từ 1 trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính
là một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử.
Do đó số cần tìm là

trong 4 người chơi từ một cỗ bài chuẩn 52 quân?
Bài làm
Người đầu tiên có thể nhận được 5 quân bài bằng
5
52
C
cách.
Người thứ hai có thể được chia 5 quân bài bằng
5
47
C
cách.
Vì chỉ còn 47 quân bài.
Người thứ ba có thể nhận được 5 quân bài bằng
5
42
C
cách.
Cuối cùng, người thứ tư nhận được 5 quân bài bằng
5
37
C
cách.
Vì vậy, theo nguyên lý nhân tổng cộng có
5
52
C
.
5
47

+ 0,11P
n-1
= (1,11)P
n-1

với điều kiện đầu P
0
= 10.000 đô la. Từ đó suy ra P
n
= (1,11)
n
.10.000.
Thay n = 30 cho ta P
30
= 228922,97 đô la.
Bài 49: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5
câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi có thể
lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không
ít hơn 2?.
Giải
Gọi x, y, z lần lượt là số câu hỏi khó, trung bình, dễ được chọn.
Theo đề bài ta có hệ





152,100,50
,,,5

cách.
Vậy có tất cả
2
15
1
10
2
5
CCC
+
2
15
2
10
1
5
CCC
+
3
15
1
10
1
5
CCC
cách.

Bài 50 : Trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2
người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.
Bài làm: