ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC
TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2010
M¤N: §¹I Sè
(Thời gian làm bài: 120 phút)Câu 1.
Tính định thức của ma trận:
1
2
3
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x
x
x
x
+
 
 
+
 
 
+
 
+
 

 
.
Hãy tìm x,y và A,B.
Câu 3.
Cho ma trận
3 2 0
2 4 2
0 2 5
A
 
 
= −
 
 
−
 

Tim giá trị riêng của ma trận
5
A
.
Câu 4.
Cho
a, b R
∈
.Tìm các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
xP(x a) (x b)P(x) x R
− = − ∀ ∈

Câu 5.
Cõu 1
. Cho {
n
a
} l dóy s xỏc nh bi
0
1
a
>
v
1
1
n n
n
n
a a ,n
a
+
= +
.
Chng minh rng dóy
n
a
n
hi t v tỡm gii hn ca nú.

f(0) = f(1) = a .Chng minh rng
x [0,1]
max{f''(x)} 8(a-b)



vi b =
x [0,1]
min {f(x)}


Cõu 5
. Cho f :
R R

l hm liờn tc v
1
0
0
tf(t)dt
=

.Chng minh rng tn ti
0 1
c ( , )

sao cho
1
0
2010

Trờng ĐH Kinh tế quốc dânĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc
========= ==========

Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010 Môn : Giải tích
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Cõu 1
. Tớnh gii hn
3 2
1
6 11 5
3
n
n
k
k k k
lim
(k )!
+
=
+ + +


Cõu 4. Xột phng trỡnh
2 2
1 1 1 1 1
0
2 1 4

x x x x k x n
+ + + + + + =


n nguyờn dng.Chng minh rng vi mi n thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht trong (0,1) ;kớ
hiu nghim ú l
n
x
.Chng minh dóy s (
n
x
) cú gii hn hu hn .

Cõu 5. Cho a,b l cỏc s thc 0 <a < b ;
f :[a,b] R

l hm liờn tc trờn [a,b] ,kh vi trờn
(a,b).Chng minh rng tn ti
c (a, b)

sao cho
1
b

x, y R
Thớ sinh khụng

c s

d

ng ti li

u
Bộ Giáo dục và Đào tạoCộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Trờng ĐH Kinh tế quốc dân

Tính ma trận:
2 2009
E A A A
+ + + +
⋯Câu2.
Cho A là ma trận vuông cấp n thoả mãn
A A
′
= −
. Chứng minh rằng
(
)
2
det E xA
+

là một số không âm với mọi số thực x.

Câu 3.
Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn:
Vết
(
)
AA BB
′ ′
+

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯Câu 5.
Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tất cả các phần tử đều dương và tổng của tất
cả các phần tử trên mỗi dòng đều không vượt quá số k dương cho trước. Chứng minh rằng
tất cả các giá trị riêng thực của ma trận A (nếu có) đều nhỏ hơn k.

Câu 6.
Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho
B A 0
′
=
, chứng minh rằng:
(
)
(
)
(
)
r A B r A r B
+ = +________________________________________
Chú ý:

Sinh viên không được dùng tài liệu