BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Bình

LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ
LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHÔNG GIAN
BANACH TÙY Ý

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: GITI-08-002

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

Trang 3

1TChương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều1T 24
1T2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều1T 24
1T2.2 Bất đẳng thức trong không gian trơn đều1T 37
1TChương III. Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến1T 44
1T3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach.1T
44
1T3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh và hàm lipsit giả co mạnh1T 58
1TTÀI LIỆU THAM KHẢO1T 64
Trang 5
PHẦN MỞ ĐẦU
Cho E là không gian Banach thực. Ta xét phương trình
Ax f=
, với ánh xạ
: ()ADA E E⊂→
, trong đó
()DA
mở. Giả sử rằng phương trình đó có nghiệm
x
∗
, ta
sẽ tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm. Việc này cho phép tính xấp xỉ nghiệm.

Chương II: Chứng minh một số bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong
chương III.
Chương III: Trình bày cách lặp dãy hội tụ về nghiệm phương trình theo dãy lặp
Picard.
Trang 6
Chương I. Không gian lồi đều và trơn đều
1.1 Không gian lồi đều
Bài này giới thiệu về không gian lồi đều và p-lồi đều và đặc biệt chỉ ra một vài
tính chất của môđun lồi.
Cho X là không gian định chuẩn và cố định
0
xX∈
. Đặt
{ }
00
( ,) :Sx r x X x x r=∈ −=
.
Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu cho bất
kỳ
(0,2]
ε
∈
đều có một
0

>
đều có
0
δ
>
sao cho nếu
,xy X∈
mà
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥
, thì
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−
. Do đó cũng dúng với
(0,2]
ε
∈
. Ngược lại, nếu đúng
với
(0,2]
ε
∈
thì với

, mà , 1xy X x y∈≤
và
xy
ε
−≥

thì
(*)
(1 ( ))
22
pp
p
p
xy
xy
δε
+
+
≤−
.
Trang 7
Chứng minh. Ta chứng minh chiều ngược lại. Cho
0
ε
>
có số
() 0

pp
pp
xy
δε δε




+
≤− =−−−
,
bởi vậy chọn
( )
1
() 1 1 ()
p
p
δε δ ε




= −−
, ta được ngay X lồi đều.
Ta chứng minh chiều thuận. Giả sử X là không gian định chuẩn lồi đều. Nếu p >
1 thì hàm
1
()
(1 )
p

()t
ϕ
′
là
dấu của
1
1
p
t
−
−
và do đó
1
0
min ( ) (1) 2
p
t
t
ϕϕ
−
≥
= =
.
Bởi vậy

1
1
2
(1 )
p

sao
cho
1, 1xy= ≤
. Thật vậy giả sử (*) đúng cho
,xy X∈
sao cho
1, 1xy
= ≤
. Khi đó
Trang 8
với
1,xy≥
(xem
yx≤
) và
xy
xy x
xx
ε
≤−= −
, (nếu xem
xy≤
thì đổi
x
bởi
y
) đúng nếu và chỉ nếu

. Nếu (*) không
đúng thì có
0
ε
>
, các dãy
( ),( )
nn
xy
trong X sao cho
1
nn
yx≤=
và
nn
xy
ε
−≥
sao
cho

2
() 1
2
p
nn
pp
nn
xy
xy

q = −
, ta có dãy con
{ }
k
n
y
của
{ }
n
y
sao cho
1
11
2
k
n
k
k
qy−=< ≤
, suy ra
1
k
n
y →
. Ta sẽ chứng minh mọi dãy con hội tụ của
{ }
n
y
đều hội tụ về 1. Giả sử có
dãy con

{ }
n
y
đều hội tụ về cùng giới hạn 1 nên
1
n
y →
(mâu thuẫn)). Do
1
n
yq≤<
nên,
Trang 9

( )
1
1
(1 )
2
1
1
p
p
n
p
p
p




+
+
+
≤=
.
Mặt khác, chọn
1
ρ
<
sao cho

( )
1
22
p
p
n
p
nn
y
xy
ρ

+

≤+



11
1 1 (1 ) 1
22
() () 1 ()
p
pp
p
t
tq t q
ϕϕ ϕ
−−
+
≤<⇔ ≤<
+

điều này dẫn đến:

1 21
.
2 2 () 2
p
p
p
tt
q
ϕ
++

≤

Trang 10
Đặt
n
n
n
y
z
y
=
thì
0
n
nn n
n
y
zy y
y
−= −→
. Vì vậy,
/2
nn
zx
ε
−≥
khi n đủ lớn (
do
()

dim 2X ≥
. Môđun lồi
của X là hàm
:(0,2] [0,1]
X
δ
→
được định nghĩa bởi
( ) inf 1 : 1;
2
X
xy
x y xy
δε ε
+ 
= − = = −=


.
Trong trường hợp không gian Hilbert ta có
2
() 1 1
4
H
ε
δε
=−−
( do đẳng thức
hình bình hành
2 2 22

Chứng minh. Cố định
, (0;2],
ηλ η λ
∈≤
và
, :1xy X x y∈==
,
xy
λ
−=
.
Trang 11
Ta sẽ chứng minh
() ()
XX
δη δλ
ηλ
≤
. Đặt:

(1 ) và (1 )
xy xy
ux vy
xy xy
ηη ηη
λλ λλ
++

22 2 2
xy xy uv
xy uv
xy
ηη
ηη
λλ λλ

+ ++
++
− =− =−−+ =−

+

.
Đặc biệt:

11
1
2 22
xy
xy xy
xy
xy xy

+
++
− =+ −=−



()
2 22
X
xy uv xy xy
uv xy xy
xy xy
uv uv xy xy
δη
ηλ
++ ++
+ −−
−−
− −−
++
≤= = ==
−− −−
.
Suy ra
Trang 12

() ()
XX
δη δλ
ηλ
≤
.
Định nghĩa 1.1.8 Cho tập con lồi, mở không rỗng của không gian định chuẩn X .

có số
0
δ
>
sao cho với
,xy X∈

mà
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥

thì
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−
, do đó
() 0
X
δε
>
. Ngược lại, cho
( ) 0, (0,2]
X
δε ε

02st<<≤
ta có
() ()
XX
tsst
δδ
<
. Do X lồi đều
nên theo định lý 1.1.11 ta được
( ) 0, (0,2]
X
δε ε
> ∀∈
, bởi vậy
() () () () ()
X X X XX
tssttt s t
δ δ δ δδ
< <⇒<
.
Định lý 1.1.13 Nếu X là không gian lồi đều thì
2
() 1 1
4
X
ε
δε
≤− −
.
Trang 13

2
()
pp
k
δε ε
≥
.
(ii) Nếu
[2, )p∈∞
thì có số
0
p
k >
sao cho
()
p
pp
k
δε ε
≥
.
Chứng minh. [3], trang 66.
Từ định lý trên ta thấy không gian
(1 )
p
Lp< <∞
là không gian p-lồi đều.
1.2 Không gian trơn đều
Định nghĩa 1.2.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là trơn nếu cho mỗi
,1x Xx∈=

xy
ττ
ρτ
+ +− 
= −==


.
Mệnh đề 1.2.3 Môđun trơn của không gian định chuẩn X là hàm lồi.
Trang 14
Chứng minh. Cố định
1xy= =
và xét
,
( ): 1
2
xy
x ty x ty
ft
+ +−
= −
. Khi đó cho
[0,1]
λ
∈
, ta có:


xy xy
ft fs
λλ
= +−
.
Do đó
,xy
f
là một hàm lồi.
Bây giời cho
0
ε
>
có
,xy X∈
,
1xy= =
sao cho

,
,,
( (1 ) ) ( (1 ) )
( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )
X xy
xy xy X X
tsfts
ft fs t s
ρλλελλ
λ λ λρ λ ρ
+− −< +−

Định lý 1.2.5 Một không gian định chuẩn X là trơn đều nếu và chỉ nếu
0
()
lim 0
X
t
t
t
ρ
+
→
=
.
Chứng minh. Nếu X là trơn đều và
0
ε
>
thì, có
0
δ
>
sao cho:

1 ; , : 1,
22
xy xy
y xy X x y
ε
δ
++−

ε
ρδ
< ∀≤
. Với
1,xy
δ
= ≤
.
Đặt
y
τ
=
ta có
()
2
X
ε
ρτ τ
<
. Do đó ta được
2,xy xy y y
εδ
+ + − <+ ≤
.
Mệnh đề 1.2.6 Mỗi không gian trơn đều là trơn. (Mệnh đề này cho phép chỉ ra cụ
thể
,1
p
Lp< <∞
là trơn).

chúng ta có:

**
01 2
**
01 02
**
0 01 0 02
00 00
0,
(, ,)
,,
11
22
tyx x
tyx yx
x ty x x ty x
x ty x ty
<−
= −
+ +−
+ +−
= −≤ −

do đó,
**
01 2
()
0 , ,0
X

2
( ) sup ( ):0 2
2
X
X
X
X
τε
ρ τ δε ε
τε
ρτ δ ε ε
∗
∗

= − <≤



= − <≤



Chứng minh. Cho
0,0 2; ,xy X
τε
> <≤ ∈
với
1xy= =
. Bởi định lý Hanh-
Banach có

xy xy xyx xyy
xx y yx y
x y x y fx f x
xyxy x
ττ
ττ
ττ
ττ
+ + − −= + + − −
= ++ −−
≤+ +− − ≤
≤ + +− −
{ }
*
**
1 2 ()
X
y
ρτ
= = =

Suy ra

() 1
2
X
xy xy
τ
ρτ
∗

và từ
02
ε
<≤
tùy ý, chúng ta thu được
Trang 17

sup ( ) :0 2 ( )
2
X
X
τε
δε ε ρ τ
∗

− <≤ ≤


.
Bây giờ cho
,: 1xy X x y
∗∗ ∗ ∗ ∗
∈==
, và
0
δ
>

00 00
00 00
2 , , 22
,,22
2,2
xyxy xxy yxy
x yx x yy
x y x yy
ττ τ τδ
τδ
τδ
∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
∗∗
∗
+ + − −≤ + + − −+
= + + − −+
≤ + −+ − +

Vì vậy nếu chúng ta đặt
0 00
:,x yy
ε
∗
= −
, thì
0 00
02xy
ε
<≤ − ≤
và

∗

≤ − <≤


.
Vậy đẳng thức thứ nhất được chứng minh xong.
Ta chứng minh đẳng thức thứ hai, cho
0
τ
>
và
,: 1xy X x y
∗∗ ∗ ∗ ∗
∈==
. Cho
bất kỳ
0
η
>
, từ định nghĩa của trong
X
∗
có
00 0 0
,: 1xy X x y∈==
sao cho
00
, , ,x y xx y x y xx y
ηη

0000
0000
2 2 (1 )
sup 2 : 1 (1 )
2 () (1 )
X
xy xy x y x y
xy xy xy
τ τ τ ητ
τ τ ητ
ρτ η τ
∗∗ ∗∗
+ + − −≤ + + − −+ +
≤ + +− − ==++
= ++

Suy ra

(1 )
() 1
22
X
xy xy
τ
ητ
ρτ
∗∗ ∗∗
++ −
+
− − ≤−

−− ≤
.
Do
η
tùy ý nên chúng ta thu được

( ) ( ), (0,2]
2
X
X
τε
ρτ δ ε ε
∗
− ≤ ∀∈
.
Vì vậy

sup ( ): 0 2 ( )
2
X
X
τε
δ ε ε ρτ
∗

− <≤ ≤


.
Trang 19

2 , ,2
, ,2
,2
xyxy xyx xyy
xx y yx y
x y yx y
ττ τ τ
τ
τ
∗∗
∗∗ ∗∗
∗∗ ∗∗
+ + − −= + + − −
= ++ −−
≤++ − −

Vì vậy, nếu
0 00
,yx y
ε
∗∗
= −
thì
0 00
02xy
ε
<≤ − ≤
và

00 00


≤ − <≤



Do đó

( ) sup ( ):0 2
2
X
X
τε
ρτ δ ε ε
∗

≤ − <≤


.
Vậy hệ thức thứ hai đã được chứng minh.
Hệ quả 1.2.8 Cho không gian Banach thực X . Hàm
()
X
t
t
ρ
không giảm và
()
X
tt


= − <≤ ≤ − <≤ =


.
Vậy
()
X
t
t
ρ
không giảm.
Bây giờ với
0
τ
>
, ta có

() (), (0,2]
2
XX
τε
δετδε ε
∗∗
− ≤ − ∀∈
.
Do đó kết hợp với mệnh đề 1.2.7 ta thu được
()
X
tt
( ) sup ( ):0 2
2
( ) sup ( ):0 2
2
X
X
X
X
τε
ρ τ δε ε
τε
ρτ δ ε ε
∗
∗

= − <≤



= − <≤



ta thu được
0
()
0, 0
2

tồn tại
(0, )t
δ
δ
∈
thỏa
()
X
tt
δδ
ερ
≤
. Bởi vậy, ta chọn
Trang 21
{ }
(0,1) : 0
nn
ττ
⊂→
và
()
2
Xn n
ε
ρτ τ
>
. Bởi công thức thứ hai của mệnh đề 1.2.7, với

, suy ra
n
εε
<
và
*
() 0
n
X
δε
→
.
Bởi vì
*
X
δ
không giảm nên
**
() ( ) 0
n
XX
δε δε
≤→
, do đó
*
() 0
X
δε
=
, tức là

ε
δε
∗
=−−
. Do đó theo mệnh đề 1.2.7 ta được

2
( ) sup 1 1 :0 2 .
24
H
τε ε
ρτ ε


= −+ − < ≤




Bây giờ xét hàm số

2
( ) 1 ,0 2
24
xx
fx x
τ
= + − <≤
,
Trang 22

02x<≤
)
Và với
02x<≤
thì

2
2
2
21 0
4
1
x
xx
τ
τ
τ
− −>⇔<
+
.
Bởi vậy,
2
(0,2]
max ( ) 1fx
τ
= +
, điều này dẫn đến

2
2

∗
≤− −
.
Mặt khác:

2
( ) sup 1 1 :0 2
22
( ) sup ( ):0 2
2
H
XX
τε ε
ρτ ε
τε
ρτ δε ε
∗∗


= −+ − < ≤




= − <≤



Do đó:
Trang 23

.
Chứng minh. Từ hệ quả 1.2.10 ta có
2 1/2
( ) (1 ) 1
H
ρτ τ
=+−
. Mà
2
2 1/2
(1 ) 1
2
τ
τ
+ −≤
, suy ra
2
2 1/2
( ) (1 ) 1 , 0
2
H
τ
ρτ τ τ
= + −≤ ∀>
.
:fX→ ¡
được gọi là lồi trên
()Df
nếu
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ), , ( ); 0 1f x y fx f y xy Df
λ λλ λ λ
+− ≤ +− ∀ ∈ ≤≤
.
Định nghĩa 2.1.4 Đặt
[0, )
+
= ∞¡
. Một hàm lồi f trên
()Df
được gọi là lồi đều
trên D nếu có một hàm
: [0, )
µ
++
= +∞ →¡¡
với
() 0 0tt
µ
= ⇔=
sao cho
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ), , ( ); 0 1f x y f x f y x y xy Df
λ λ λ λ λ λµ λ
+− ≤ +− − − − ∀ ∈ ≤≤
.
Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi

φφ
→∞
= = ∞
được gọi là hàm định cỡ.
Trang 25
Định nghĩa 2.1.7 Cho một hàm định cỡ
φ
, hàm
:2
X
JX
φ
∗
→
được định nghĩa
bởi
: { : , ; ( )}Jx u X xu x u u x
φ
φ
∗ ∗ ∗∗
=∈= =
, nó được gọi là hàm đối ngẫu của
hàm định cỡ
φ
với X là không gian định chuẩn bất kỳ. Trong trường hợp
()tt
φ

1 và ( ), ( )x x xx x x
φφ
∗∗
= =
. Ghi chú rằng
() ()xx x
φφ
∗
=
và
,() (), () ()x xx x x x x x x xx
φ φ φφ
∗∗ ∗
= = =
, do đó
: ( ) ()u xx J x
φ
φ
∗∗
= ∈
.
Định nghĩa 2.1.9 Cho mỗi
1p >
, ta xét hàm định cỡ
1
()
p
tt
φ
−

.
Chứng minh. Từ định nghĩa 2.1.5, ta có:
{ }
:, ,x u X y xu y x y X
∗∗ ∗
∂ = ∈ 〈 − 〉≤ − ∀ ∈
.
Do đó:
{ }
:, ; 1uXxu xuu x
∗ ∗ ∗ ∗∗
∈ 〈 〉= = = ⊂∂
( vì
,yu y
∗
〈 〉≤
).