ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TèNG V¡N HUY

PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM
BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh
trong kh«ng gian banach
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số : 60.46.01.12

PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM
BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh
trong kh«ng gian banach
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Ngưới hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Ngun – 2013


I Ánh xạ đơn vị
J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
A
∗
Tốn tử liên hợp của tốn tử A
x
∗
, x Giá trị của phiếm hàm x
∗
tại điểm x
D(A) Miền xác định của tốn tử A
R(A) Miền ảnh của tốn tử A
N(A) Tập các khơng điểm của tốn tử A
F ix(A) Tập các điểm bất động của tốn tử A
x
n
→ x
∗
Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
∗
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Mở đầu
Một số định lý điểm bất động nổi tiếng xuất hiện từ đầu thế kỉ XX,
trong đó phải kể đến ngun lý điểm bất động Browder năm 1912
và ngun lý ánh xạ co Banach năm 1922. Các kết quả này được mở
rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ khơng giãn,
ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lý

Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận
tâm và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hiện luận
văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng
tin thuộc Viện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cơ trong
Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức
phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng
mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo
Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tơi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Tống Văn Huy
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 1
Ánh xạ giả co và bài tốn điểm
bất động
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ
bản về ánh xạ giả co và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động
trong khơng gian Banach. Các kiến thức của chương này được tổng
hợp từ các tài liệu [1]-[5].
1.1 Một số định nghĩa và ký hiệu
1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều
Cho X là một khơng gian Banach thực, X

(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho




x + y
2




≤ 1 − δ.
Chú ý rằng mọi khơng gian Banach lồi đều đều là khơng gian phản
xạ và lồi chặt.
Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian Banach X được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
tồn tại với mỗi x, y ∈ S
X
;
(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều
với x ∈ S
X
.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn

7
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động
1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của khơng gian Banach
X là ánh xạ J : X → 2
X
∗
xác định bởi
J(x) = {x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = xx
∗
, x
∗
 = x} (1.3)
với mọi x ∈ X.
Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị là j. Ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc có tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó,
(i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0;
(ii) J là ánh xạ đơn trị khi X
∗
là khơng gian lồi chặt. Trong trường
hợp X là khơng gian Hilbert thì J ≡ I-ánh xạ đơn vị trong X.
Nếu X là khơng gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

(ii) Ánh xạ T được gọi là h-accretive (hemiaccretive) nếu với mỗi
x ∈ D(T ) và q ∈ N(T ), tồn tại j(x − q) ∈ J(x − q) sao cho
T x, j(x − q) ≥ 0. (1.6)
(iii) Ánh xạ T được gọi là accretive mạnh nếu với mỗi x, y ∈ D(T ),
tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số k ∈ (0, 1) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≥ k||x − y||
2
. (1.7)
Định nghĩa 1.1.8. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ T được gọi là giả co nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y
2
. (1.8)
(ii) Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn
tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số l ∈ (0, 1) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ lx − y
2
(1.9)
(iii) Ánh xạ T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn
tại một hằng số k > 0 và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y
2
− k(Ix − Iy) − (T x − T y)
2
,
(1.10)
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

động được phát biểu như sau: Cho K là một tập con lồi của khơng
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động
gian Banach X, T : K → K là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x
∗
∈ K sao cho T x
∗
= x
∗
. (1.14)
Việc tìm nghiệm của bài tốn điểm bất động (1.14) tương đương
với việc giải phương trình ánh xạ
T x − x = 0. (1.15)
Năm 1974, Deimling [2] đã chứng minh định lý điểm bất động cho
ánh xạ liên tục giả co chặt (giả co mạnh) trong khơng gian Banach.
Định lý 1.2.1. Giả sử X là một khơng gian Banach, K là một tập
con lồi đóng khác rỗng của X và T : K → K là một ánh xạ giả co
chặt (mạnh). Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong K.
1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động
Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm bất
động cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa.
Định lý 1.2.2. Cho (X, d) là khơng gian mêtric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ co. Khi đó T có duy nhất điểm bất động q trong X và với mỗi
x
0
∈ X, dãy lặp {T
n
x

, n ≥ 0. (1.16)
hội tụ tới một điểm bất động của T .
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động
Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {x
n
}
được xác định bởi:



x
0
∈ K,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T x
n
, n ≥ 0,
(1.17)
trong đó K là một tập lồi đóng của X và {α
n
} là dãy thực thỏa mãn:

0
∈ C,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0
(1.18)
hội tụ mạnh tới điểm bất động của T , trong đó {α
n
} và {β
n
} là dãy

n
} là dãy các số thực khơng âm
thỏa mãn điều kiện:
a
n+1
≤ (1 − t
n
)a
n
+ b
n
+ c
n
, n ≥ n
0
,
trong đó n
0
là số ngun dương và {t
n
} là dãy trong [0; 1] sao cho
∞

n=1
t
n
= ∞, b
n
= o(t
n

). Sự hội tụ mạnh của dãy
lặp Ishikawa đến điểm bất động của ánh xạ T được trình bày trong
định lý sau đây.
Định lý 2.1.1. Cho X là khơng gian Banach thực bất kỳ và K là tập
con lồi đóng khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh xạ liên tục
Lipschitz và giả co mạnh. Giả sử {α
n
} và {β
n
} là dãy số thực trong
[0, 1] thỏa mãn các điều kiện sau:
i) β
n
≤
k(1 − k)
L(1 + L)
, n ≥ 0.
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh
ii) α
n
≤
k
2
− r
L(1 + L
2
)
, n ≥ 0.

+ β
n
T x
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0.
(2.1)
hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.
Chứng minh. Vì T : K → K là ánh xạ Lipschitz và giả co mạnh nên
theo Định lý 1.2.1 ta suy ra T có duy nhất điểm bất động trong K.
Ký hiệu điểm bất động của T là x
∗
. Nhận xét rằng:
x
n+1
− x
∗
=(1 − α
n
)(x

n
|| ≤ L||x
n+1
− y
n
|| ≤ K
n
||x
n
− x
∗
||. (2.3)
Tác động j(x
n+1
− x
∗
) ∈ J(x
n+1
− x
∗
) trong đẳng thức (2.2) ta nhận
được
||x
n+1
− x
∗
||
2
≤(1 − α
n

)
≤(1 − α
n
)||x
n
− x
∗
||.||x
n+1
− x
∗
||
+ α
n
T x
n+1
− T x
∗
, j(x
n+1
− x
∗
)
+ α
n
||T x
n+1
− T y
n
||.||x

2
. (2.5)
Vì vậy thay thế (2.3) và (2.5) trong (2.4) ta được
||x
n+1
− x
∗
||
2
≤(1 − α
n
)||x
n
− x
∗
||.||x
n+1
− x
∗
||
+ (1 − k)α
n
||x
n+1
− x
∗
||
2
+ K
n

n+1
− x
∗
||
+ K
n
α
n
||x
n
− x
∗
||.
(2.7)
Từ điều kiện i) và ii) của định lý ta có K
n
≤ k − r với ∀n > 0. Từ
(2.7) ta suy ra
||x
n+1
− x
∗
|| ≤
1 − α
n
+ K
n
α
n
1 − (1 − k)α

∞

j=0
α
j

||x
0
− x
∗
|| → 0,
(2.8)
khi n → ∞. Vậy định lý được chứng minh xong. 
Hệ quả 2.1.1. Cho X, K, T và α
n
như trong Định lý 2.1.1 và định
nghĩa dãy lặp Mann {x
n
} như sau:



x
0
∈ K
x
n+1
= (1 − α
n
)x

n
+ λT x
n
, n ≥ 0,
ở đây λ =
k
2
− r
L(1 + L
2
)
. Khi đó dãy lặp Picard {x
n
} hội tụ mạnh đến
điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.
Chứng minh. Đặt α
n
=
k
2
− r
L(1 + L
2
)
, với ∀n ≥ 0, từ Hệ quả 2.1.1 ta
suy ra điều phải chứng minh. 
Định lý 2.1.2. Cho X là khơng gian Banach thực và K là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh xạ liên tục Lipschitz
và giả co mạnh. Giả sử {α
n

n=0
α
n
= ∞,
trong đó L
1
= L(1 + L). Khi đó dãy lặp Ishikawa {x
n
} được cho bởi











x
0
∈ K
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α


j=0
α
j

||x
0
− T x
0
||, n ≥ 0.
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.1, ta suy ra T có duy nhất điểm bất
động, ký hiệu là q. Vì T : K → K là ánh xạ giả co mạnh nên tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ (1 − k)||x − y||
2
, (2.10)
với ∀x, y ∈ K.
Đặt
L
n
= L(1 + L
1
)α
n
+ L
1
β

n+1
− q)
≤(1 − α
n
)
2
||x
n
− q||
2
+ 2α
n
T y
n
− T x
n+1
, j(x
n+1
− q)
+ 2α
n
T x
n+1
− T q, j(x
n+1
− q)
≤(1 − α
n
)
2

||
≤L||(α
n
− β
n
)(x
n
− q) + α
n
(q − T y
n
)
+ β
n
(T x
n
− q)||
≤L[(α
n
+ β
n
)||x
n
− q|| + α
n
L||y
n
− q||
+ β
n

||x
n
− q||
2
+ 2α
n
L
n
||x
n
− q||.||x
n+1
− q||
+ 2α
n
(1 − k)||x
n+1
− q||
2
≤[(1 − α
n
)
2
+ α
n
L
n
]||x
n
− q||

.
(2.14)
Do đó
||x
n+1
− q||
2
≤
[1 − α
n
(2 + k)]
[1 − α
n
(1 − k)(2 + k)]
.||x
n
− q||
2
=

1 −
k(2 + k)α
n
1 − α
n
(1 − k)(2 + k)

.||x
n
− q||

||x
n+1
− q|| ≤
1
k




exp

− k
n

j=0
α
j

.||x
0
− T x
0
||,
với ∀n ≥ 0. Định lý được chứng minh xong. 
Hệ quả 2.1.3. Cho X, K, T và {α
n
} như trong Định lý 2.1.2. Với
bất kì giá trị x
0
∈ K, định nghĩa dãy lặp Mann {x

1
k




exp

− k
n

j=0
α
j

.||x
0
− T x
0
||,
với ∀n ≥ 0.
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa tới điểm bất động duy nhất
của ánh xạ liên tục đều và giả co mạnh được nghiên cứu trong định
lý sau đây.
Định lý 2.1.3. Giả sử X là khơng gian Banach thực bất kì và K là
tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh
xạ liên tục đều và giả co mạnh. Giả sử {α
n
} và {β
n




x
0
∈ K
y
n
= (1 − β
n
)x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0
(2.16)
hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T.

− T y
n
|| → 0,
20
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh
khi n → ∞. Từ đó suy ra
||x
n+1
− x
∗
|| ≤
1 − α
n
1 − (1 − k)α
n
||x
n
− x
∗
|| + o(α
n
)
=

1 −
k
k − (1 − k)α
n
α

} như sau:



x
0
∈ K
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
T x
n
, n ≥ 0.
Khi đó dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T.
Chứng minh. Đặt β
n
= 0, với ∀n ≥ 0. Khi đó từ Định lý 2.1.3 ta
suy ra điều phải chứng minh. 
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa trong khơng gian Banach thực
trơn đều được nghiên cứu trong định lý sau đây.
Định lý 2.1.4. Cho X là khơng gian Banach thực trơn đều, K là tập
con lồi, bị chặn, khác rỗng của X và T : K → K là ánh xạ giả co
mạnh với tập điểm bất động F ix(T ) = ∅. Giả sử {α


x
0
∈ K
y
n
= (1 − β
n
)x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0,
(2.18)
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

n+1
− q) − (y
n
− q) = (β
n
− α
n
)x
n
+ α
n
T y
n
− β
n
T x
n
→ 0.
Sử dụng tính liên tục đều của j trên tập con bị chặn của X ta suy ra
e
n
→ 0, khi n → ∞. Chú ý rằng:
x
n+1
− q = (1 − α
n
)(x
n
− q) + α
n

− q||
+ α
n
T y
n
− T q, j(x
n+1
− q) − j(y
n
− q)
+ α
n
T y
n
− T q, j(y
n
− q)
≤(1 − α
n
)||x
n
− q||||x
n+1
− q||
+ (1 − k)α
n
||y
n
− q||
2

Vì vậy thay thế (2.21) vào (2.20) ta được
||x
n+1
− q||
2
≤(1 − α
n
)||x
n
− q||||x
n+1
− q||
+ (1 − k)α
n
||x
n
− q||
2
+ o(α
n
)
≤
1 − α
n
2
(||x
n
− q||
2
+ ||x

− q||
2
+ o(α
n
)
≤ (1 − kα
n
)||x
n
− q||
2
+ o(α
n
),
(2.23)
Suy ra x
n
→ q khi n → ∞. Định lý được chứng minh xong. 
Hệ quả 2.1.5. Cho X là khơng gian Banach thực, trơn đều và K là
tập con lồi đóng, bị chặn, khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh
xạ liên tục và giả co mạnh. Cho {α
n
}, {β
n
} và {x
n
} như trong Định
lý 2.1.4. Khi đó kết luận của Định lý 2.1.4 được giữ ngun.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.2.1, ta suy ra T có điểm bất động
trong K, do đó F ix(T ) = ∅. Phần còn lại của chứng minh được suy