BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Tố Như
KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TỐN
Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG
Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số : 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN
THCS Trung học cơ sở
THPT Trung học phổ thông
SGK Sách giáo khoa
SGV Sách giáo viên
SBT Sách bài tập
CLHN Chỉnh lý hợp nhất
TCTH Tổ chức toán học
QTHĐ Quy tắc hợp đồng
BKHTN Ban khoa học tự nhiên
KNV Kiểu nhiệm vụ
TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy
ĐKXĐ Điều kiện xác định
[A] Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort
[B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet
[C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD
[M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN,
Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD
MỞ ĐẦU
I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.
Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3,
mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trò rất lớn trong chương trình toán.
Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây:
- Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được
đưa vào đầu
chương: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau khi học giới hạn. Điều đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Có hay
không sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò gì trong việc nghiên cứu hàm mũ
và hàm lôgarit?
Quan hệ cá nhân:
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có
với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ?
Việc học tập c
ủa cá nhân X đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối
quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành
phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó
trong R(I,O).
Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng
là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó.
Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie.
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một
kiểu nhiệm vụ
, là kỹ thuật cho phép giải quyết T; là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ; là lý
thuyết giải thích cho công nghệ .
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH.
Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một
vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một t
ập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân
chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm
vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó
nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với
đối tượng nói trên”.
Do đó, việc phân tích TCTH liên quan
đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan
hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào
đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.
Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp
đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như
- tính phi cá nhân hóa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân]
- sự chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri
trức]
- tính công khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên].
Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy
học)
Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống
dạy học.
Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại
Theo Brousseau, nếu có những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng
biệt, thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm không
phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải.
Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà còn là hậu
quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ l
ại tỏ ra sai
hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa. Những sai lầm dạng này không phải thất thường hay
không dự đoán được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên
nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên
hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, mộ
t quan niệm đặc trưng nhất quán-
nếu không nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt
động nào đó.
Đặc trưng của chướng ngại là gì?
Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự
thiếu kiến thức
Kiến thức này tạo ra những câu tr
ả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp
Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai. Để có câu trả lời
đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm.
Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiế
+ Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức;
+ Phân tích những bài tập được giả
i hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa.
Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng
cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó không
chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận
dụng tri thức, vào nhữ
ng ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình
giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ
thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic.
Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối
tượng tri thức cũ và đòi hỏ
i thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm
quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự
thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên
chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo
đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội.
Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai,
giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp
đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất
nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ
đạo để có sự tiến triển mong đợi. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu.
Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:
1. Trong thể chế
dạy học toán ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến
trình nào? Nó có vai trò gì đối với các kiến thức toán học khác? Ý nghĩa của tiến trình đó?
2. Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào?
Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. C
ụ thể là phân tích khái niệm lũy
thừa trong một số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất hiện nó, đặc trưng của các tiến trình
này? Vai trò của lũy thừa đối với khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit.
Chương II: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy.
Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Cụ th
ể, phân tích chương trình,
SGK lớp 6, 7 và hai bộ SGK là Đại số và giải tích 11 (CLHN năm 2000) và SGK Giải tích 12 nâng
cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa. So sánh vai trò của lũy thừa trong
hai bộ sách. So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức
cần giảng dạy. Thông qua việc phân tích chương trình và các TCTH, chúng tôi sẽ rút ra các QTHĐ
liên quan đến việc dạy và học khái niệm lũy th
ừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi
học lũy thừa.
Chương III: Thực nghiệm
Chúng tôi thực nghiệm trên học sinh và giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ
thể chế lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh, cũng như tìm hiểu mối quan hệ cá nhân
của họ về đối tượng tri thức lũy thừa.
- Phần kết luận: Trình bày tóm t
ắt những kết quả đạt đươc ở ba chương trên và mở ra hướng
nghiên cứu mới từ luận văn có thể có.
- Tài liệu tham khảo.
Chương 1:
KHÁI NIỆM LUỸ THỪA
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌCTrong chương này chúng tôi sẽ tìm hiểu tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri
thức khoa học thông qua việc phân tích giáo trình:
1. Toán cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – các hàm thông dụng, Guy Lefort, Viện đại học
lô
g
ari
t
Hàm
mũ e
Lũy thừa
cơ số e
Hàm mũ
cơ số a
Lũy thừa
cơ số a
Hàm
lũ
y
thừa
Căn
b
ậc n
có một và chỉ một nghiệm, nó là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pônen t). Liên
hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R
+
*
gọi là hàm mũ e; hàm
này là ngược của hàm lôgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở
9-1).
Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm :
exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s” (tr 79)
“Hàm logarit cơ số a, ký hiệu log
a
được xác định trong R
*
+
bởi:
log
log
log
a
x
x
a
(a là một số dương thực sự khác 1)”.[tr76]
Tiếp theo giáo trình giới thiệu cơ số e như sau:
“Mọi hàm f xác định bởi:
f(x)=C.Logx
là một hàm logarit mà cơ số a là nghiệm duy nhất của phương trình (mệnh đề 2):
C=1/Loga
Loga=1/C
Đặc biệt hàm Log nhận được với C=1 là một hàm logarit đặc biệt mà cơ số là số vô tỉ:
e=2,71828 1828 hơn kém 5.10
-10
” [tr.76]
Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đó
hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10
-10
.
(4) exp(u-v)=expu/expv” [tr 80]
Mặc dù kí hiệu e chưa được dùng để thay thế cho kí hiệu exp lúc này, nhưng các tính chất trên
cũng cho thấy sự xuất hiện ngầm ẩn các tính chất của lũy thừa với số mũ thực của cơ số e.
Thông qua tính chất (3) exp(nu)=(expu)
n
ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương
của một số thực dương đã được đưa vào trước đó: a.a…a=a
n
(tích n số a với aR)
Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lôgarit nêpe nên các tính chất trên hoàn toàn được
suy ra từ tính chất đại số của lôgarit nêpe. Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm:
« Nếu u=1 hệ thức (3) có dạng :
expn=(exp1)
n
=e
n
Phương trình này thiết lập với n nguyên dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực :
Ký hiệu e
x
(đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=e
x
” [tr 80].
Theo trích đoạn trên thì e
x
chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Ngoài ra, e
x
còn được hiểu
như là lũy thừa của e với số mũ thực x.
Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới
dạng « expx=e
tlogxt.loga
loga
có một nghiệm duy nhất.
x=exp(tLoga)
Đặc biệt nếu t là một số nguyên dương n
x=exp(nLoga)=(exp(Loga))
n
=a
n
» [tr82].
Do hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a nên ta luôn có 0<a≠1. Hàm mũ cơ số a
được biểu diễn thông qua hàm mũ e và logarit nêpe. Với t là một số nguyên dương n thì kí hiệu a
n
chính thức được viết thay thế cho exp(nLoga) nhờ vào tính chất exp(nu)=(expu)
n
của hàm số mũ, a
n
được hiểu như là giá trị của hàm mũ cơ số a tại n, a
n
còn được hiểu ngầm ẩn là lũy thừa cơ số a với
số mũ nguyên dương.
Ở đây lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương được định nghĩa thông qua hàm mũ a. Ngoài
cách viết hàm mũ a là: x=exp(tLoga), hàm mũ a còn có cách viết khác theo trích đoạn sau:
« Với mọi số thực t ta dùng kí hiệu : x=exp(tLoga)=a
t
Đây là một định nghĩa của kí hiệu a
t
n
i
ii
u
n
u
u
uv uv uv
v
i
a
aa a a a a
a
(4) . . ; (5) ( ) "[6,tr 83]
u
uu uv uv
ab ab a a .
Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0<a≠1. Cũng theo giáo trình
thì «tất cả các tính chất này là hệ quả trực tiếp của định nghĩa cách viết a
t
=exp(tLoga) và các tính
chất của hàm mũ e.» [tr84].
Như vậy việc định nghĩa hàm mũ cơ số a không yêu cầu phải trình bày trước đó khái niệm
được xác định bằng :
f(x)=x
Ta đã định nghĩa ký hiệu x
bằng cách đặt x
=e
Logx
và định nghĩa này chỉ có nghĩa khi
x>0 »[ tr 89]
Hàm lũy thừa được định nghĩa thông qua phép đặt « x
=e
Logx
», mà bản chất nó là một định
nghĩa của kí hiệu a
t
, với t là số thực. Cũng do cách định nghĩa x
=e
Logx
nên điều kiện đặt ra là x>0.
Ở đây, người ta không xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ thay đổi.
x
xt
Hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ
liên hệ mọi số dương t với nghiệm của phương
trình (1). Đó chính là hàm lũy thừa với số mũ 1/
. » [tr 91].
Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với
số mũ . Do đó, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục.
« Đặc biệt nếu
là số nguyên dương n thì số
1
n
t là nghiệm của phương trình (1) theo định
nghĩa là căn bậc n của t, kí hiệu
n
t
» [tr 91].
Như vậy, hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương n là căn bậc n. Nói cách
khác, hàm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa căn bậc n thông qua hàm số ngược. Ở đây chỉ định nghĩa
căn bậc n của một số thực dương. Căn bậc n của t được nêu ra như là nghiệm của phương trình x
n
=t,
nm mn
ab ab a b ab
aa aa
Hàm căn bậc n là hàm ngược của hàm lũy thừa y=x
n
, n nguyên dương nên việc khảo sát hàm căn
bậc n cũng được xem như việc khảo sát một hàm lũy thừa đặc biệt.
Kết luận giáo trình [A]
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a không được trình bày một cách tường minh. Nó
được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : e
x
a
x
. Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e
được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đó lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng
dưới dạng « e
x
=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thông qua khái niệm
hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu a
t
, exp(tLoga)=a
t
, t thực.
Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thông qua tính chất của hai hàm
mũ cơ số e và cơ số a. Trước khi có khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm
hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào. Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa không có vai trò gì
trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ
sở để
với số
mũ th
ự
c
Hàm
mũ a
Hàm
logarit
cơ số
a
Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét
tính chất của lôgarit, nên để tìm hiểu nó, ta đi xét các tính chất của lôgarit.
Không giống như giáo trình [A], ở giáo trình này không đề cập đến hàm số lôgarit tổng quát
mà nghiên cứu cụ thể là hàm lôgarit nêpe. Hàm lôgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương
đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, có đạo hàm bằng 1/x.
Các tính chất của nó c
ũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm.
Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lôgairt nêpe :
Log(a
1
a
2
a
n
)=Loga
1
+Loga
2
+ +Loga
n
Từ đó qLoga
p/q
=pLoga tức
p
q
p
Loga Loga
q
». [tr3]
Theo trích đoạn trên, thì định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương của cơ số a dương đã
được đưa vào trước đó.
Lũy thừa cơ số a>0 với số mũ hữu tỷ
p
r
q
(p, q nguyên dương) được định nghĩa là một số
thỏa :
q
p
p
q
aa
Các định nghĩa trên đều được xét khi a>0, vậy khi a<0 thì nó còn đúng không ? Ta hãy xét
chú ý sau :
« Nếu a<0, có thể a
r
tồn tại và dương, chẳng hạn khi r là số nguyên chẵn (dương hoặc âm)
hoặc khi r có dạng phân số tối giản p/q với q lẻ, p chẵn và có dấu bất kỳ » [tr4]
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng có những ràng buộc nhất định dành
cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ có dạng phân số tối giản thì mẫu số
phải là số lẻ, tử số là số chẵn.
Như vậy, khái niệm lũy thừa với số
mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa
trước khi có các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nó là công cụ được dùng để tìm ra một
vài tính chất của logarit nêpe. Hay nói cách khác nó là công nghệ để giải thích cho một số tính chất
của logarit nêpe. 1.2.2. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e.
Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện
và
được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe :
« Khi biến y tăng từ 0 đến +
, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ -
đến
+
. Nó có hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0
đến +
x
.
Lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e được định nghĩa là : e
x
= e(x). Với cách định nghĩa này thì e
x
chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình [B] mở rộng lũy thừa từ e
r
e
x
, điều này khác
với giáo trình [A].
Đoạn trích trên phần nào nói rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e có đầy đủ tính chất của lũy
thừa với số mũ nguyên. Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thông
qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất
của hàm mũ e như :
.,,
() , ,
uv uv
ar ar
ee e uv R
eeaRrQ
Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e ở giáo trình [B] hoàn toàn giống với giáo
trình [A], tuy nhiên nó được trình bày tường minh.
1.2.3. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a.
og
x
xL a
ae nên cơ số a
luôn dương. Dựa vào các tính chất của lũy thừa cơ số e và tính chất của logarit nêpe, người ta chứng
minh được các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a >0. Cụ thể :
1, Với mọi a, b dương, với mọi số thực x :
()
()
x Loga Logb
x
Loga xLogb xLogab x x x
ee e e abab
2, Với mọi a>0, với mọi x, y :
.,()
x
yxy xyxy
aa a a a
Thật vậy,
log log ( )
x
yxaya xyLoga xy
aa e e e a
tiến ra +
khi x tiến ra +
. Nếu 0<a<1, a
x
tiến đến +
khi x tiến ra -
, a
x
tiến
đến 0 khi x tiến ra +
. Nếu a=1, y=a
x
=1 là hàm hằng”. [tr9]
Ta thấy, hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực: y=a
x
=e
xLoga
.
Cũng do cách định nghĩa này mà đường biểu diễn của hàm số y=a
x
được suy ra từ đường biểu diễn
của hàm số y=e
x
.
(
nguyên hoặc
hữu tỉ có dạng phân số tối
giản và mẫu số là lẻ)”.
Điều này khẳng định lại một lần nữa sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ thay đổi. Người
ta chỉ xét x
, là số thực bất kì khi x>0, điều này hoàn toàn phù hợp với định nghĩa lũy thừa với số
mũ bất kì được đưa vào trước đó. Lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa.
Căn cứ vào định nghĩa của lũy thừa với số mũ thực thì
Logx
yx e
. “Dưới dạng này, tính
chất của hàm lũy thừa có thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10]
Kết luận giáo trình [B]
Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thông qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ
nguyên lũy thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e lũy thừa với s
ố mũ thực
cơ số a. Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nó lại là cơ sở để
mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a.
Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ không còn ngầm ẩn
như giáo trình [A].
Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, do đó
các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất của lũy thừa. Sau đó, người ta xem hàm logarit cơ
số a là hàm số ngược của hàm mũ a.
Thứ tự và cách thức mở rộ
c mở rộng khái niệm lũy thừa.
Bảng 1.1: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa hai giáo trình [A] và [B].
Giáo trình Khái niệm cần định nghĩa Cơ sở để định nghĩa A
Hàm mũ e Hàm logarit nêpe
Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ
Hàm mũ a Hàm logarit cơ số a
Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Hàm mũ a
B
Lũy thừa với số mũ nguyên dương Phép nhân
Lũy thừa với số mũ nguyên âm LT với số mũ nguyên dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ LT với số mũ nguyên dương
Hàm mũ e Hàm logarit nêpe
Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ e
Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Lũy thừa cơ số e với số mũ thực
Hàm mũ a Lũy thừa cơ số a
Chương 2:
KHÁI NIỆM LŨY THỪA
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
2.1. Mục tiêu của chương 2
Thông qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thông chúng tôi muốn làm rõ
tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đó thấy được vai trò của lũy
thừa đối với việc xây dựng các khái niệm liên quan như hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Trên cơ sở những gì chúng tôi đã phân tích ở chương 1 sẽ làm rõ được những điể
Trong SGK 6, học sinh được học lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I phần số học.
Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau:
“Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
.
n
nthöøasoá
aaa a
(n ≠ 0) » [tr26].
a gọi là cơ số và n gọi là số mũ.
Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống
nhau, phép nhân đó được gọi là phép nâng lên lũy thừa. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được
định nghĩa hoàn toàn giống với giáo trình đại học. Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệ
t
của một phép nhân.
Lũy thừa được hình thành từ một phép toán mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đó là phép
nhân. Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới. Trong thời gian đầu tiếp cận nó, có thể học sinh sẽ
khó sử dụng. Vì vậy, nên chăng có hoạt động giúp học sinh phân biệt cơ số, số mũ, cũng như cách
tính lũy thừa như sau:
Chép lại và điền vào bảng sau
đây giống như ở cột số 1
« 3 mũ 4 » « 0,7 mũ 5 » « -2 mũ 6 »
3
4
(-1,2)
3
2
6
2
;
84=2
2
.3.7 ; 168=2
3
.3.7
Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của
3 là 1. Khi đó :
Copyright: Tài liệu đại học ©