BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Thị Oanh
PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
LỜI CẢM ƠN

SGK6 : Sách giáo khoa toán 6
SGK7 : Sách giáo khoa toán 7
MTBT : Máy tính bỏ túi
Tr : Trang

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về
bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là
“ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”. Chúng tôi chú ý
những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và
nghĩa của phép chia trong những tình huống đó.
Phép chia có những nghĩa như sau:
- Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết.
- Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng.
- Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào
phép nhân tương ứng.
Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư :
- Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết.
- Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng
không thể phân phối đều được nữa.
Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa:
- Phép chia hết là phép chia mà không có dư
- Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia.
Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau.
Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt
ra :
Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có
còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện
trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì toán học gì ?

nghiệm.
 Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã
được đặt ra ở trên.
Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

4. Tổ chức luận văn:
Luận văn gồm những phần chính sau đây:
 Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn
đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên
cứu và tổ chức của luận văn.
 Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo
trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ
của khái niệm này.
 Chương 2: Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK
Việt Nam. Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu.
 Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà
chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.
 Phần kết luận
Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có
thể mở ra của luận văn. NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA
HỌC


0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương
trong phép chia a cho b.”
Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán
nhân. Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải
phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có
nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận
xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a

b” [trang 11]
với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa này được trình bày trong
bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép
trừ và phép chia.
Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở
trang 11 như sau:
“Cho hai số tự nhiên a và b, b

0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn
a = bq + r ; 0

r < b”
Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự
nhiên đã được định nghĩa như sau:
“Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b

0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn:
a = bq + r ; 0

r < b
a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư.

Ta có - 14 = - 3.4 – 2
= 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1.
Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp
(q, r) cho trường hợp a < 0.
Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa
vào ngay sau chứng minh ở trang 41 như sau:
“Cho hai số nguyên a và b, b

0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số
nguyên q, r sao cho
a = bq + r ; 0

r < |b|.
Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư.
Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là :
a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a

b; hoặc :
b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a”
Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc
biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số
chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là
“bội” và “ước”. Trong giáo trình này ngôn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ
“chia hết”. Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư.
Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có
dư.
Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới
tính chia hết.
1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ.
a. Ước chung lớn nhất (UCLN)

1
, a
2
, ,a
n
).
ƯCLN dương của a
1
, a
2
, ,a
n
được kí hiệu là (a
1
, a
2
, ,a
n
).”
Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập
ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn
lại. Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có
thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn.
Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh
đôi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở
trang 45 như sau:
“5. Nếu có số a
j
sao cho a
j

1
, r
1
), ,(q
n
, r
n
) sao cho
a = bq
0
+ r
0
; 0 < r
0
< |b|
b = r
0
q
1
+ r
1
; 0 < r
1
< r
0

r
0
= r
1

n
; r
n
= 0.
Vì |b| > r
0
> r
1
> … là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có r
n
= 0, khi đó thuật toán kết thúc.
Dãy các số a, b, r
0
, r
1
,….r
n – 1
được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.”
Dựa vào thuật toán Euclide và các tính chất của UCLN ta có thể tìm được UCLN của hai số a, b: (a,
b) = (b, r
0
) = = (r
n-2
, r
n-2
) = r
n-1
. Có thể nói nó là số dư cuối cùng khác không trong thuật toán
Euclide. Thuật toán Euclide đã thực hiện một chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà trong các phép
chia có dư này chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật toán này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật

2
, , a
n
) = D.
Ta có nhận xét: “Vì d / a

d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của
chúng.” trang 48. Với nhận xét này bài toán tìm UCLN của số nguyên ta chỉ quan tâm tới việc tìm
UCLN của những số nguyên dương.
Bài toán tìm UCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn
này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN.
b. Quan hệ đồng dư
Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57:
“Cho m

N
*
. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m
và b cho m có cùng số dư.
Kí hiệu : a

b (mod m).”
Nếu a và b đồng dư theo môdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư
theo môdun m là quan hệ tương đương.
Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được
gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư:
1, ,2,1,0 m
.
Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang
60 như sau:

Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi
là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố
hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của
các số tự nhiên.
 Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư.
Kiểu nhiệm vụ T
DCS
: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.
Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3.

vậy
3
11021115 

Kỹ thuật
DCS

:
1 1
3
3
3
0 4
2 12
1 38
3
115
+ Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ
số g.
x = g.x

thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a
0
, số dư lần tiếp theo là a
1
, số dư lần cuối
cùng là a
n.
. Ta được

x
g
aaaa
nn 011


”
Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là
số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi x
n
< g. Trong cách giải mong đợi được
nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép
chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu
nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật toán này không được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện
phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x
0
> x
1
> x
2
dãy x

3 thì A

6

Vậy với mọi n
Z

ta có n(n + 1)(n + 2)

6
Kỹ thuật
CH

:
+ Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0
a
r



+ Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư.
Công nghệ
CH

: Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư.
Lý thuyết
CH

: Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư.
Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng

UCLN
: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.
Kỹ thuật
DNUCLN.

:
+ Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên.
+ Tìm ước chung của tập hợp số này.
+ Số lớn nhất của ước chung chính là UCLN.
Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này. Ta nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công
sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm UCLN.
Công nghệ
DNUCLN .

:Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết.
Ví dụ trang 47: Tìm UCLN của 119 và 84
Ta có 119 = 84.1 + 35
84 = 35.3 + 14
35 = 14.2 + 7
14 = 7.2
vậy (119, 84) = 7
Kỹ thuật
TTEUCLN .

: Dùng thuật toán chia Euclide để tìm UCLN.
Công nghệ
TTEUCLN.

:
+ Các tính chất UCLN.

a
1
=
k
k
ppp


21
21

a
2
=
k
k
ppp


21
21 a
n
=
k
k
ppp


+ Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết.
+ Quy tắc nhân lũy thừa.
Lý thuyết
NTUCLN .

: định lý
“Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự
của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.”
Trong ba kỹ thuật tìm UCLN, ta thấy rằng kỹ thuật
NTUCLN.

là có nhiều ưu điểm hơn cả. Nhờ
vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm UCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn. Kỹ
thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác.
Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm UCLN, tuy nhiên trong
luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về UCLN.
Kiểu nhiệm vụ T
SD
: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z.
Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T
SD
của giáo trình này có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới
dạy lũy thừa. Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý đồng dư.
Ví dụ trang 60
Tìm số dư phép chia (5
30
+ 50)
30
cho 24
Giải


9 (mod 24) nên số dư phép chia (5
30
+ 50)
30
cho 24 là 9.
Kỹ thuật
SD

: Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm
số dư của phép chia.
Cộng nghệ
SD

: Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư.
Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ
này giáo trình thường huy động các đinh lý sau.
1. Sử dụng định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì:
a
p – 1


1 (mod p)
2. Theo định lý Euler, (a, m) = 1 thì
1
)(

m
a


a
r
(mod m)
Kiểu nhiệm vụ T
NNPT
: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c.
Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14
Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm
Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5:
53.( - 3) + 32.5 = 1
53.( - 42) + 32. 70 = 14
Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là:

Zt
ty
tx






5370
3242

Kỹ thuật
NNPT

:
+ Sử dụng thuật toán Euclide tìm UCLN(a, b) = D.



0
0

Công nghệ
NNPT

:
+ Định lý về phép chia có dư
+ Các tính chất về UCLN. Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số nguyên u, v
sao cho D = au + bv”
+ Phương trình đồng dư
Ngoài ra phương trình vô định còn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng định lý
Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó
1
)(

m
a

(mod m)”. Giáo
trình [a] còn đưa vào kỹ thuật dùng phép biến đổi đưa về một ẩn có hệ số bằng 1 để giải phương
trình này.
Kết luận
Phép chia có dư được định nghĩa đối với tập hợp số tự nhiên sau đó định nghĩa trong tập hợp
số nguyên. Tuy nhiên trước khi nêu định nghĩa phép chia có dư thì [a] đưa vào định lý về phép chia
có dư để làm cơ sở. Trong chương I, phép chia hết và phép chia có dư được định nghĩa tách rời nhau
nhưng định nghĩa phép chia có dư vẫn bao hàm phép chia hết. Đặc trưng của số dư là một số
nguyên không âm bé hơn số chia.

CH
là một trường hợp riêng của T
SD
.
Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong
tập hợp số nguyên.
2. Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc
2.1 Phép chia có dư với vai trò là đối tượng
Trong giáo trình này, các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên. Phép chia được định
nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a]. Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết
thì [b] cũng đưa vào ngôn ngữ “bội” và “ước”. Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định
nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố.
Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, trước hết định lý về phép chia có dư ở
trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số q và
r duy nhất, với 0

r < d, sao cho a = dq + r”. Qua định lý này chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt
với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương. Trong biểu thức 0

r < d không còn
giá trị tuyệt đối. Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d < 0, nhưng điều này không làm mất
tính tổng quát của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể chuyển dấu âm từ số chia d lên số bị chia
a. Dựa vào định lý này bằng cách qui ước gọi tên các kí hiệu mà [b] có thuật toán chia như sau:
“Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q
được gọi là thương số và r được gọi là số dư”[ trang 156]
Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156:
1. Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11.
101 = 11.9 + 2. vậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2.
2. Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3.
- 11 = 3(-4) + 1

x := a
y := b
while y
0


begin
r := x mod y
x := y
y := r
end {ƯCLN(a,b) là x}
Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ
ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của của một số nguyên dương n. Một chương
trình máy tính điển tử giải bài toán này là:
Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers)
q := n
k := 0
while q
0


begin
a
k
:= q mod b
q :=





các số nguyên được đưa ra khá đơn giản không có dạng lũy thừa
như trong [a] vì vậy kỹ thuật của T
SD
chỉ sử dụng công thức r = a – bq. Các kiểu nhiệm vụ T
DCS
,
T
UCLN
các kỹ thuật như trong [a], ngoài ra còn có kỹ thuật sử dụng ngôn ngữ lập trình của MTĐT
để giải quyết bài toán.
Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z. Mối liên
hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a].
3. Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương
Đối với giáo trình [c], chúng tôi không phân tích phép chia có dư trong vành Z. Vì điểm khác
biệt lớn so với hai giáo Số học và Toán rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong
một vành Euclide bất kì.
Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở toán học cho phép chúng tôi giới thiệu phép chia có dư
trong vành D
n
, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong
chương trình và SGK phổ thông.
3.1. Phép chia có dư trong vành Euclide
Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu
trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b].
“Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A
*
là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền
nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)

NA 

Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ:

: Z
*


N
n

|n|
là một vành euclide.
2) Vành đa thức K[X], với K là một trường là một vành euclide với :


: K[X]
*


N
f(x)


(f) = degf.
Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có UCLN, phép chia euclide
cho phép tìm ra UCLN đó. Điều này dựa trên bổ đề:
“Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ
a = bq + r
Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r”
Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán euclide có cơ sở là bổ đề này.
3.2. Vành D

SD,
T
CH
trong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con
của T
Dn
.
Về mặt toán học, nếu a, b  N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q  D
n
sao cho a = bq
(phép chia hết hay là dư 0). Vành Z chính là D
0
. Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z
nhưng là phép chia hết trong D
n
nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z
với số dư là 2; tuy nhiên trong vành D
1
thì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4.
4. Kết luận của chương I
Trong chương I, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về pccd và các khái niệm có liên
quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong
chương I.
 Pccd với vai trò là một đối tượng:
Pccd được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo
trình đều nêu định lý về pccd. Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số
nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số
nguyên và b

0. Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0

Vành D
n
là vành euclide, vành Z là D
0
dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa
kiểu nhiệm vụ T
Dn
.
Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng pccd trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có
thể chia thành hai nhóm như sau.
- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò đối tượng nghiên cứu:
T
SD
: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z
T
CH
: Chứng minh rằng: P(n)

a,
*
, NaZn 
.
Như chúng tôi đã mô hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của T
Dn
(Tìm
thương và số dư của phép chia có dư trong vành D
n
).
- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu :
T


Trong chương trình này phép chia được học ở lớp 2 với bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5.
Và ở lớp 3 giới thiệu các bảng nhân, bảng chia còn lại. Phép chia có dư học sinh được giới thiệu bắt
đầu từ lớp 3 và tiếp tục nghiên cứu trong ở lớp 4. Khái niệm phép chia học sinh gặp lần đầu tiên ở
lớp 2. Để rõ ràng hơn chúng tôi giới thiệu định nghĩa và những yêu cầu của chương trình đối với
phép chia ở lớp 2.
Phép chia đưa vào ở lớp 2, trong SGV lớp 2 trang 173 đã nêu mục tiêu của bài học là:
“ Giúp học sinh:
Bước đầu nhận biết phép chia trong mối quan hệ với phép nhân.
Biết viết, đọc và tính kết quả của phép chia.”
Và yêu cầu về trình độ chuẩn của toán lớp 2: học sinh phải thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5 và biết
chia nhẩm trong phạm vi các số đã học, chia số tròn chục cho số có một chữ số và nhận biết phép
chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Phép chia đưa vào sau khi học sinh đã học các bảng
nhân.
Phép chia
(lớp 2)
Phép chia hết và
phép chia có dư
(lớp 3, lớp 4)
Phép chia có d
ư
( lớp 5)
Bài “Phép chia” trong SGK lớp 2 trang 107 được trình bày như sau:


Đọc là sáu chia hai bằng ba.
Dấu : gọi là dấu chia.
Viết là 6 : 2 = 3
3

2 = 6
Trong phần phân tích thể chế, ngoài việc phân tích nghĩa của phép chia hết và phép chia có
dư, chúng tôi quan tâm đến các hình thức xuất hiện của phép chia có dư.
Thuật toán bằng sơ đồ của phép chia được SGK3 trang 27 giới thiệu qua bài: “Chia số có 2
chữ số cho số có một chữ số” như sau:
“96 : 3 = ?
Đặt tính rồi tính như sau

96 : 3 = ”
Bài này đưa thuật toán chia bằng cách gọi tên “đặt tính” là dùng sơ đồ chia và thực hiện liên
tiếp các phép chia để tìm kết quả. Thuật toán chia thực hiện phép chia liên tiếp cho đến khi r = 0 thì
phép chia dừng lại. SGK đưa thuật toán chia này vào để chuẩn bị giới thiệu về phép chia hết và
phép chia có dư. Ta có thể gọi thuật toán chia được miêu tả bằng sơ đồ:

Trong đó thành phần của phép chia và các bước thực hiện phép chia đã thể hiện rõ ràng. Khi thuật
toán chia xuất hiện phép chia đã vượt khỏi phạm vi bảng chia.
Phép chia có dư chính thức được đưa vào trong bài “Chia hết và phép chia có dư”. Khái niệm
này được trình bày trong SGK3 trang 29 như sau:



2

8

0

8

4


8 chia 2 được 4.
 4 nhân 2 bằng 8; 8 trừ 8 bằng 0.
Ta nói: 8 : 2 là phép chia hết.
Ta viết: 8 : 2 = 4.
Đọc là tám chia hai bằng bốn.

9 chia 2 được 4, viết 4.
 4 nhân 2 bằng 8; 9 trừ 8 bằng 1.
Ta nói: 9 : 2 là phép chia có dư, 1 là số dư
Ta viết: 9 : 2 = 4 (dư 1)
Đọc là: chín chia hai bằng bốn dư 1.
Chú ý: Số dư bé hơn số chia”

9 chia 3 được 3, viết 3.
3 nhân 3 bằng 9; 9 trừ 9 bằng 0
 Hạ 6; 6 chia 3 được 2, viết 2
2 nhân 3 bằng 6; 6 trừ 6 bằng 0
.

5 và 9, 3.
Tiếp theo, phép chia có dư trong mối liên hệ với khái niệm phân số
b
a
. Trong bài: “Phân số và
phép chia số tự nhiên”SGK4 trang 108 có nhận xét:
“Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử
số là số bị chia và mẫu số là số chia. chẳng hạn 8:4 =
4
8
; 3: 4 =
4
3
; 5:5 =
5
5
”.
Phân số
b
a
xuất hiện với nghĩa là thương của một phép chia. Trong đó phép chia hết thì phân số
rút gọn thành một số tự nhiên, phép chia có dư là một phân số
b
a
. Đây là hình thức diễn đạt khác
của thương số a chia cho b. Tuy nhiên phân số
b
a
được sử dụng trong trường hợp a không chia hết
cho b. Khai triển phân số