BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tố Như

KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TỐN
Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN
SGK Sách giáo khoa
SGV Sách giáo viên
SBT Sách bài tập
CLHN Chỉnh lý hợp nhất
TCTH Tổ chức toán học
QTHĐ Quy tắc hợp đồng
BKHTN Ban khoa học tự nhiên
KNV Kiểu nhiệm vụ
TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy
ĐKXĐ Điều kiện xác định
[A] Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort
[B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet
[C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD
[M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD

MỞ ĐẦU

I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.
Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3,
mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trò rất lớn trong chương trình toán.
Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây:
- Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu
chương: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau khi học giới hạn. Điều đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Có hay
không sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò gì trong việc nghiên cứu hàm mũ
và hàm lôgarit?
- Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào
sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nó
được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo
hàm”. Sự thay đổi này có ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại có sự thay đổi đó? Tiến trình đưa vào
khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK có gì thay đổi hay không? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng
là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó.
Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie.
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một
kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý
thuyết giải thích cho công nghệ .
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH.
Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một
vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân
chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm
vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó
nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với
đối tượng nói trên”.
Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan
hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào
đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.
Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp
đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như
thế nào chẳng hạn.
 Chuyển đổi didactic
Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:
 Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức)
Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã đòi hỏi một sự soạn thảo. Ta có thể xem nó như kết quả
của một hoạt động khoa học. Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà
nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những
kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay,
có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức
này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng
khoa học. Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động toán học.
«Một nhà nghiên cứu, để thông báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ông ta nghĩ rằng đã tìm

không dự đoán được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên
nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên
hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất quán-
nếu không nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt
động nào đó.
Đặc trưng của chướng ngại là gì?
 Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự
thiếu kiến thức
 Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp
 Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai. Để có câu trả lời
đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm.
 Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến
thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này
biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới.
 Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó cũng
tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.
 Lý thuyết tình huống
Trong phần này, chúng tôi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic.
Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mô hình hóa các quyền lợi và
nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy
tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành
viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy.
Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm
ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính
xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng
didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo
viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:
1. Trong thể chế dạy học toán ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến
trình nào? Nó có vai trò gì đối với các kiến thức toán học khác? Ý nghĩa của tiến trình đó?
2. Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào?
Nó có vai trò gì trong việc xây dựng khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit? Các TCTH
nào được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có những thay đổi nào về TCTH được
xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua các thời kỳ? Có sự khác biệt và tương đồng
nào giữa mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và ở bậc trung
học phổ thông? Tìm hiểu sự thay đổi vị trí của lũy thừa trong hai bộ SGK, lí do và ý nghĩa
của sự thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học và làm việc với
lũy thừa?
3. Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về
khái niệm lũy thừa?
4. Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng như thế nào lên mối quan hệ cá
nhân giáo viên và học sinh với lũy thừa?
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi dùng phương pháp nghiên cứu như sau:
- Phân tích một số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, con đường mở rộng khái
niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa của tiến trình đó, cũng như vai trò của nó.
- Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa ở bậc trung học phổ thông, so sánh sự khác
biệt giữa thể chế đại học và thể chế trung học phổ thông về con đường mở rộng lũy thừa, qua đó tìm
hiểu về sự thay đổi vai trò của lũy thừa trong hai lần cải cách SGK gần đây.
- Từ những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi đề xuất những câu hỏi mới và giả
thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm.
5. Tổ chức luận văn
Luận văn gồm các phần sau:
 Phần mở đầu:
Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu
cũng như phương pháp nghiên cứu, và khung lý thuyết tham chiếu.
 Chương I: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học.

niệm lũy thừa ở SGK phổ thông, thấy được ý nghĩa của mỗi tiến trình, cũng như vai trò của lũy thừa
đối với việc xây dựng các khái niệm khác có sự thay đổi như thế nào.
1.1. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [A].
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đề cập trong chương 8 với nhan đề “
CÁC HÀM LÔGARIT,
HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”
, thứ tự các mục trong chương như sau:
I. Hàm lôgarit
II. Hàm mũ
III. Hàm lũy thừa
Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực không được đưa vào một cách
tường minh mà nó xuất hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của hàm
mũ. Khái niệm lũy thừa đã được đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau:

1.1.1. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e qua định
nghĩa và tính chất của hàm mũ e.
Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đưa vào ngầm ẩn trong định nghĩa hàm mũ e nên
để hiểu rõ hơn vấn đề này ta hãy xem xét định nghĩa hàm mũ e:
“Ta biết rằng (mệnh đề 2) nếu t là một số thực cho trước, thì phương trình:
logx=t
Hàm
l
ô
garit

Hàm
m


Hàm
l
ũy

th
ừaCăn
b
ậ
c n

có một và chỉ một nghiệm, nó là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pônen t). Liên
hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R
+
*
gọi là hàm mũ e; hàm
này là ngược của hàm lôgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở

9-1).
Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm :
exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s”([5,tr.79)
Theo định nghĩa này thì số e được giới thiệu là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1, nhưng chưa
cho biết giá trị thực của nó. Mặt khác, để định nghĩa hàm mũ e, trước đó giáo trình đã đưa vào khái
niệm hàm lôgarit nêpe trong mục I, với kí hiệụ Log (mà SGK Việt Nam thường kí hiệu là ln). Vì
vậy, ta hãy quay lại định nghĩa hàm logarit nêpe đã được trình bày trước đó để xem số e được giới
thiệu như thế nào và giá trị của nó bằng bao nhiêu?
Hàm logairt được định nghĩa tổng quát như sau:


log
log
log
a
x
x
a


(a là một số dương thực sự khác 1)”.[3,tr76]
Tiếp theo giáo trình giới thiệu cơ số e như sau:
“Mọi hàm f xác định bởi:
f(x)=C.Logx
là một hàm logarit mà cơ số a là nghiệm duy nhất của phương trình (mệnh đề 2):
C=1/Loga

Loga=1/C
Đặc biệt hàm Log nhận được với C=1 là một hàm logarit đặc biệt mà cơ số là s
ố vô tỉ:
e=2,71828 1828 hơn kém 5.10
-10
” [3,tr.76]
Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đó
hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10
-10
.
Mặt khác, hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nepe nên Loge=1  e=exp1 (Đúng
theo định nghĩa hàm mũ). Do đó, số e được định nghĩa trong hai trường hợp này là như nhau.
Hàm logarit và hàm mũ e đã được định nghĩa. Tuy nhiên, khái niệm lũy thừa chưa xuất hiện.

n
ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương
của một số thực dương đã được đưa vào trước đó: a.a…a=a
n
(tích n số a với aR)
Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lôgarit nêpe nên các tính chất trên hoàn toàn được
suy ra từ tính chất đại số của lôgarit nêpe. Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm:
« Nếu u=1 hệ thức (3) có dạng :
expn=(exp1)
n
=e
n
Phương trình này thiết lập với n nguyên dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực :
Ký hiệu e
x
(đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=e
x
” [5, tr 80].
Theo trích đoạn trên thì e
x
chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Ngoài ra, e
x
còn được hiểu
như là lũy thừa của e với số mũ thực x.
Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới
dạng « expx=e
x
» chứ không trình bày định nghĩa một cách tường minh.
Như phần trình bày trên ta thấy nghĩa của lũy thừa với số mũ thực x, cơ số e chính là giá trị
của hàm mũ e tại điểm x.

x=exp(tLoga)
Đặc biệt nếu t là một số nguyên dương n
x=exp(nLoga)=(exp(Loga))
n
=a
n
» [6,tr82].
Do hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a nên ta luôn có 0<a≠1. Hàm mũ cơ số a
được biểu diễn thông qua hàm mũ e và logarit nêpe. Với t là một số nguyên dương n thì kí hiệu a
n

chính thức được viết thay thế cho exp(nLoga) nhờ vào tính chất exp(nu)=(expu)
n
của hàm số mũ, a
n
được hiểu như là giá trị của hàm mũ cơ số a tại n, a
n
còn được hiểu ngầm ẩn là lũy thừa cơ số a với
số mũ nguyên dương.
Ở đây lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương được định nghĩa thông qua hàm mũ a. Ngoài
cách viết hàm mũ a là: x=exp(tLoga), hàm mũ a còn có cách viết khác theo trích đoạn sau:
« Với mọi số thực t ta dùng kí hiệu : x=exp(tLoga)=a
t
Đây là một định nghĩa của kí hiệu a
t
(với t nguyên cách viết đó đã được định nghĩa như một
tích các thừa số và trong trường hợp này hai định nghĩa là đồng nhất)» [6, tr83].
Trong trường hợp t là số thực, người ta vẫn dùng kí hiệu a
t
như là exp(tLoga). Hàm mũ a còn

n
i
i i
u
n
u
u
u v u v u v
v
i
a
a a a a a a
a

 
(4) . . ; (5) ( ) "[6,tr 83]
 
u
u u u v uv
a b a b a a
.
Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0<a≠1. Cũng theo giáo trình
thì «tất cả các tính chất này là hệ quả trực tiếp của định nghĩa cách viết a
t
=exp(tLoga) và các tính
chất của hàm mũ e.» [tr84].
Như vậy việc định nghĩa hàm mũ cơ số a không yêu cầu phải trình bày trước đó khái niệm
lũy thừa với số mũ thực mà ngược lại nó còn sinh ra khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Giống như
nhận định ở trên : việc mở rộng lũy thừa trên tập số thực với cơ số e đã được thực hiện bởi khái
niệm và tính chất của hàm mũ e, thì ở đây hàm mũ cơ số a và các tính chất của nó vẫn là cơ sở cho

Ta đã định nghĩa ký hiệu x

bằng cách đặt x

=e

Logx
và định nghĩa này chỉ có nghĩa khi
x>0 »[9, tr 89]
Hàm lũy thừa được định nghĩa thông qua phép đặt « x

=e

Logx
», mà bản chất nó là một định
nghĩa của kí hiệu a
t
, với t là số thực. Cũng do cách định nghĩa x

=e

Logx
nên điều kiện đặt ra là x>0.
Ở đây, người ta không xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ  thay đổi.
Ta thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa. Tuy nhiên, lũy thừa và các tính
chất của nó không được nêu ra một cách tường minh nên việc khảo sát hàm lũy thừa cũng không
dựa vào tính chất của lũy thừa mà dựa vào hàm mũ và hàm lôgarit, « vì nó là hợp của hàm lôgarit
và hàm mũ.
x


trình (1). Đó chính là hàm lũy thừa với số mũ 1/

. » [10,tr 91].
Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với
số mũ . Do đó, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục.
« Đặc biệt nếu

là số nguyên dương n thì số
1
n
t
là nghiệm của phương trình (1) theo định
nghĩa là căn bậc n của t, kí hiệu
n
t
» [10,tr 91].
Như vậy, hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương n là căn bậc n. Nói cách
khác, hàm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa căn bậc n thông qua hàm số ngược. Ở đây chỉ định nghĩa
căn bậc n của một số thực dương. Căn bậc n của t được nêu ra như là nghiệm của phương trình x
n
=t,
với t>0, x>0. Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao không có khái niệm cho căn bậc n của t<0 ?
Ta thấy, do căn bậc n được xây dựng là hàm số ngược của hàm lũy thừa, hàm lũy thừa lại
được định nghĩa là : f


=x

=e


 Kết luận giáo trình [A]
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a không được trình bày một cách tường minh. Nó
được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : e
x
 a
x
. Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e
được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đó lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng
dưới dạng « e
x
=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thông qua khái niệm
hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu a
t
, exp(tLoga)=a
t
, t thực.
Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thông qua tính chất của hai hàm
mũ cơ số e và cơ số a. Trước khi có khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm
hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào. Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa không có vai trò gì
trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ sở để
xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ thực.
Căn bậc n là hàm ngược của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nó được đưa vào
sau khi đã biết khái niệm hàm lũy thừa. Do đó, căn bậc n không có vai trò gì trong việc định nghĩa
lũy thừa. Theo giáo trình này thì để định nghĩa cũng như khảo sát hàm mũ và hàm logarit hay hàm
lũy thừa người ta dùng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm Nên các kiến thức toán học này đã được
trình bày trước đó.

1.2. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B].
Trong giáo trình này, mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa được đưa vào phần II- Hàm mũ
và nằm trong chương 1-Hàm lôgarit và hàm mũ. Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa trong giáo

Hàm
logarit
cơ số
a

Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét
tính chất của lôgarit, nên để tìm hiểu nó, ta đi xét các tính chất của lôgarit.
Không giống như giáo trình [A], ở giáo trình này không đề cập đến hàm số lôgarit tổng quát
mà nghiên cứu cụ thể là hàm lôgarit nêpe. Hàm lôgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương
đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, có đạo hàm bằng 1/x.
Các tính chất của nó cũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm.
Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lôgairt nêpe :
Log(a
1
a
2
a
n
)=Loga
1
+Loga
2
+ +Loga
n
với a
1
, a
2
, a
n

q
p
Loga Loga
q

». [tr3]
Theo trích đoạn trên, thì định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương của cơ số a dương đã
được đưa vào trước đó.
Lũy thừa cơ số a>0 với số mũ hữu tỷ
p
r
q

(p, q nguyên dương) được định nghĩa là một số
thỏa :
q
p
p
q
a a
 

 
 
 

« Đặc biệt, nếu r là số hữu tỷ âm, đặt r=-r’. Với mọi a>0, ta có
'
1
r

tồn tại và dương, chẳng hạn khi r là số nguyên chẵn (dương hoặc âm)
hoặc khi r có dạng phân số tối giản p/q với q lẻ, p chẵn và có dấu bất kỳ » [tr4]
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng có những ràng buộc nhất định dành
cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ có dạng phân số tối giản thì mẫu số
phải là số lẻ, tử số là số chẵn.
Như vậy, khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa
trước khi có các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nó là công cụ được dùng để tìm ra một
vài tính chất của logarit nêpe. Hay nói cách khác nó là công nghệ để giải thích cho một số tính chất
của logarit nêpe. 1.2.2. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e.
Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện
và được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe :
« Khi biến y tăng từ 0 đến +

, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ -

đến
+

. Nó có hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0
đến +

khi x tăng từ -

đến +

”.
Vì vậy, chúng ta có sự đồng nhất giữa hai kí hiệu « x=Logy và y=e(x) ». Cách định nghĩa này

r
 e
x
, điều này khác
với giáo trình [A].
Đoạn trích trên phần nào nói rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e có đầy đủ tính chất của lũy
thừa với số mũ nguyên. Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thông
qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất
của hàm mũ e như :
. , ,
( ) , ,
u v u v
a r ar
e e e u v R
e e a R r Q

 
  

Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e ở giáo trình [B] hoàn toàn giống với giáo
trình [A], tuy nhiên nó được trình bày tường minh.

1.2.3. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a.
Trong mục 7 trang 8, lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa như sau :
«
og

x xL a
a e
với a>0 và x bất kì ». Vì sao nó được định nghĩa như vậy, ta hãy xem lí giải của giáo

( )
. . ( )
x Loga Logb
xLoga xLogb xLogab x x x
e e e e a b ab

   

2, Với mọi a>0, với mọi x, y :
. , ( )
x y x y x y xy
a a a a a

 

Thật vậy,
log log ( )
. .
x y x a y a x y Loga x y
a a e e e a
 
  

Ngoài hai tính chất này thì giáo trình không trình bày thêm tính chất nào nữa. Như vậy, các
tính chất của lũy thừa cơ số a với số mũ thực được trình bày nhưng không đầy đủ.
Quá trình phân tích trên cho thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa với
số mũ thực cơ số a, còn các tính chất của lũy thừa cơ số e và logarit nêpe là công nghệ để giải thích
cho các tính chất của lũy thừa a
x
. Một điểm khác biệt của giáo trình này so với giáo trình [A] là định

tiến
đến 0 khi x tiến ra +

. Nếu a=1, y=a
x
=1 là hàm hằng”. [8, tr9]
Ta thấy, hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực: y=a
x
=e
xLoga
.
Cũng do cách định nghĩa này mà đường biểu diễn của hàm số y=a
x
được suy ra từ đường biểu diễn
của hàm số y=e
x
.

Định nghĩa hàm lôgarit được đưa ra sau khi đã có định nghĩa hàm mũ a. Hàm số y=Log
a
x có
thể viết
a
Logx
y Log x
Loga
 
hoặc một cách tương đương là x=a
y
. Theo giáo trình này thì hàm logarit

Logx
y x e
 
 
. “Dưới dạng này, tính
chất của hàm lũy thừa có thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10]

Kết luận giáo trình [B]
Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thông qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ
nguyên lũy thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e  lũy thừa với số mũ thực
cơ số a. Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nó lại là cơ sở để
mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a.
Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ không còn ngầm ẩn
như giáo trình [A].
Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, do đó
các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất của lũy thừa. Sau đó, người ta xem hàm logarit cơ
số a là hàm số ngược của hàm mũ a.
Thứ tự và cách thức mở rộng khái niệm lũy thừa ở đây hoàn toàn giống với giáo trình [A]. Tuy
nhiên, tiến trình đưa vào hàm mũ a và hàm logarit cơ số a thì hoàn toàn ngược lại.
Do các giáo trình này chỉ trình bày lý thuyết mà không có ví dụ và bài tập đặc trưng cho phần
lũy thừa nên chúng tôi không đề cập đến tổ chức toán học ở hai giáo trình này.

KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Sau đây là một số kết quả chính trong quá trình phân tích chương I:
+ Tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong hai giáo trình đều giống nhau ở chỗ : mở rộng lũy
thừa với số mũ thực cơ số e : « e
x
=expx (hoặc e
x
=e(x)) rồi đến mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ

ố e với số mũ thực

Hàm m
ũ

Hàm m
ũ a

Hàm logarit cơ s
ố a

L
ũy thừa c
ơ s
ố a với số mũ thực

Hàm m
ũ a

B
L
ũy thừa với số mũ nguy
ên dư
ơng

Phép nhân



L
ũy thừa c
ơ s
ố a với số mũ thực

L
ũy thừa c
ơ s
ố e với số mũ

th
ực

Hàm m
ũ a

L
ũy thừa c
ơ s
ố a

Chương 2
KHÁI NIỆM LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG
DẠY

2.1. Mục tiêu của chương 2
Thông qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thông chúng tôi muốn làm rõ
tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đó thấy được vai trò của lũy
thừa đối với việc xây dựng các khái niệm liên quan như hàm số mũ và hàm số lôgarit.

.
n
n thöøa soá
a a a a


(n ≠ 0) » [1,tr26].
a gọi là cơ số và n gọi là số mũ.
Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống
nhau, phép nhân đó được gọi là phép nâng lên lũy thừa. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được
định nghĩa hoàn toàn giống với giáo trình đại học. Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệt
của một phép nhân.
Lũy thừa được hình thành từ một phép toán mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đó là phép
nhân. Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới. Trong thời gian đầu tiếp cận nó, có thể học sinh sẽ
khó sử dụng. Vì vậy, nên chăng có hoạt động giúp học sinh phân biệt cơ số, số mũ, cũng như cách
tính lũy thừa như sau:
Chép lại và điền vào bảng sau đây giống như ở cột số 1

« 3 mũ 4 »

« 0,7 mũ 5 » « -2 mũ 6 »
3
4

(-1,2)
3

2
6


2
.3
2
;

84=2
2
.3.7 ; 168=2
3
.3.7

Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của
3 là 1. Khi đó :