Mt s bi toỏn v rỳt gn biu thc
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải ph-
ơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất.
Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài.
*Tính giá trị của A tại x=?
* Tìm giá trị của x

z
* Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A
* Tìm giá trị của x để A.f(x) =g(x)
* Tìm giá trị của x để A=k; A
k;A
k
* Tìm x để
A A>
.
*Tìm x để
A A>
.
Dạng 1
Bài 1 Cho biểu thức
x 2 1

2
( 2 1)
Bài 2: Cho biểu thức
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3

=
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
1
( ) ( )
2
5 2 2 2 1
3 2 2 2 5 2 2
A 1 3 2
1
2 1
( 2 1)
+
+
= = = = +


b) Với giá trị nào của xthì A >
1
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

A =
2
x 3+
b) A >
( )
1 2 1 2 1 3 x
0 0
3 3 3
x 3 x 3
3 x 3

> > >
+ +
+
3 x 0 >
( vì 3(
( x 3) 0)+ >

x 9 x 9 < <
Kết quả hợp với ĐKXĐ:
0 x 9
thì A > 1/3.
c)
2
A
x 3
=
+
đạt giá trị lớn nhất khi
x 3+

P
x 1
+
=

Bài giải:
a) ĐKXĐ x
0;x 1
P =
( ) ( ) ( )
3 1 3 x 1 x 1
.
1
x 1
x 1 x 1 ( x 1) x 1

+ +

+ =

+
+ +

=
( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1
x 2
x 1
x 1 x 1

+ +
ta có
16
x 2 2 16 2.4 8
x 2
+ + = =
+
min
16
M 8 4 4 M 4 x 2
x 2
= = + =
+

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
x 2 16 x 2 4 x 2 4 0
x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK)
+ = + + + =
+ = = =
Vậy M
min
= 4
x 4 =
.
Bài 4: Cho biểu thức:
2 x x 3x 3 2 x 2
D : 1
x 9

0;a 1
( ) ( )
( ) ( )
a a 2 a a 1
a 1
P 1 1 a 1 : a 1
a 2 a 1 a 1

+


= + = + =

+ +

b)
a 1 2
P 1
a 1 a 1

= =
+ +

3
để P nhận giá trị nguyên thì
2
a 1+
nhận giá trị nguyên dơng.
a 1 +
thuộc

( ) ( )
( )
( ) ( )
x 3 1 x 3 1
1 1 2 1
2 x 3 1 2 x 2 x 2
2 x 3 1 2 x 3 1
+ + +
= = =
+ + +
+ + +
b) B nhận giá trị nguyên khi
1
x 2+
nhận giá trị nguyên.
x 2 +


Ư(1)
x 2 1 x 1
x 2 1 x 3
+ = =
+ = =

thoả mãn điều kiện
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x
1

4
( )
( )
( )
( )
2
2
1 x
1 1 x 1 1 x 1 x
P : .
1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
1 x


+ +

= + = =

+


Bài 3 : Cho biểu thức:
( )
2
1 x
x 2 x 2
P .
2
x 1 x 2 x 1


+
=
ữ
+ +

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 4: Cho biểu thức:
x 3 6 x 4
P
x 1
x 1 x 1

= +

+
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <

b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2
2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
Dạng 4
5
Bài 1 : Cho biểu thức:
x 1 1
A :
x 1 x x x 1

=
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A.
x m x=
có
nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x
1

( )
( )
( )
2
x 1 1 x 1 1
A : :

<
)
x 1 <
kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1
thì
A < 0
c) P.t: A.
x 1
x m x . x m x x 1 m x(1)
x

= = =
( )
x 1 m x x x m 1 0(*) = + + =
Đặt
x t=
>0 ta có phơng trình
( ) ( )
2
t t m 1 0 *+ + =
để phơng trình (1) có
nghiệm thì phơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
( )
( )
1 4 m 1 0
m 1 0
= + +



1 1
P 1 .
x 1 x x

= +
ữa) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25
c) Tìm x để P.
( )
2
5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + +
6
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

( )
1 1 x 1
P 1 .
x 1 x x x 1
x x 1 ữ
= + =
ữ
ữ

x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3
x 1
+
= + + + = + +


2 3 x 2005 2 3 + = + +

x 2005 =
TMĐK
Vậy x = 2005 thì P.
( )
2
5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + +
Dạng 5
Bài 1: Cho biểu thức
1 1 1
A . 1
x 1 x 1 x

= + +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi x=
1
4
.
c)Tìm giá trị của x để

1 2 2
A 4
1
4
1
1
1
2
4
= = =


c)
2
A 0 0 A 1 0 1.
x 1
> < < < <

7
( )
2
0 x 1 0 x 1 1
x 1
2 2 x 3
1 1 0 0
x 1 x 1 x 1
+ < > >


+ < > >

1

.
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
x 2 x 1 x 1
x 2 x 1 x 1
A
x 1 x
x x 1 x x 1 x x 1
+

= = = =


b) Khi x=36
36 1 5
A
6
36

= =
c)
x 1
A A A 0 0 x 1 0
x

1. Phơng trình có nghiệm khi .
Ta có thể xét hai trờng hợp:
+Trờng hợp 1:
- Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x=
c
b

.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0


hoặc
{
'
a 0
0


2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi .

{
a 0
0

>
hoặc

a 0
0

<
Ví dụ1:
Cho phơng trình 2x
2
-(4m+3)x+2m
2
-1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng
trình.
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt
c.Phơng trình có nghiệm kép
d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:

=(4m+3)
2
-4.2(2m
2
-1)=24m+17.
a.Phơng trình có nghiệm khi .

{
a 0
0





>
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

2 0
24m 17 0
17
m
24

+ =


=


d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<
{

-ac=
( )
2
(m 1)
-m(m-4)=m
2
-2m+1-m
2
+4m=2m+1
a.Phơng trình có nghiệm khi .
+Trờng hợp 1:
- Nếu a=0

m=0 ,phơng trình có nghiệm x=
c
b

m 4
2(m 1)


=2.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0





+ >





10
c.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=

{
m 0
2m 1 0

+ =

m 0
1
m
2

=




0) thì x
1
+ x
2
=
b
a

và
x
1
.x
2
=
c
a
Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phơng trình x
2
-7x+12=0
Giải.
Ta có
2
b 4ac =
=(-7)
2
-4.12=49-48=1>0
Theo định lý Vi-ét x
1
+ x

c
a
Ví dụ :
Giải phơng trình 3x
2
-7x+4=0
Giải. Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0

x
1
=1và x
2
=
c
a
=
4
3
-Nếu a-b+c=0 thì x
1
=-1và x
2
=
c
a

Ví dụ :
Giải phơng trình 7x
2
-5x-12=0

P x x=

iu kin chung
trỏi du

m
P < 0
0 0 ; P < 0.
cựng du,


P > 0
0 0 ; P > 0
cựng dng, + + S > 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm


S < 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ :
Cho phơng trình x
2
+(2m+2)x+m
2
-4=0
Có hai nghiệm trái dấu
Có hai nghiệm cùng dấu
Có hai nghiệm dơng
Có hai nghiệm âm

0 ( 0)
x .x 0

>

2
1 2
8m 12 0
c
x .x m 4 0
a

= = >




3
m
2
m 2;m 2

< >




m>2
*Có hai nghiệm dơng
{


m>2
*Có hai nghiệm âm khi
12
{
'
1 2 1 2
0( 0)
x x 0;x .x 0

+ < >
2
1 2 1 2
8m 12 0
b c
x x (2m 2) 0;x .x m 4 0
a a
=

+ = = + < = = >





3
m
2
m 1;m 2;m 2


Nếu hai số phải tìm là x
1
,x
2
sao cho x
1
+x
2
=S =15, x
1
.x
2
=P=54 thì x
1
,x
2
là
nghiệm phơng trình
x
2
-15x+54=0

=(-15)
2
-4.54=225-216=9;

=3

x
1

-6x+1=0
'

=(-3)
2
+1=10;
'

=
10
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x
1
=-3-
10
; x
2
=-3+
10
b. Phơng trình có nghiệm x=
2
,thay vào phơng trình ta có
(m-4)2-2
2
m+m-2=0

m=10(3+2
2
)

'
b
a

=
4
m 1
3
4
m 4 2
4
3
= =


-Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
{
'
a 0
0

>

m 4
4
m
3

>


Giải :
a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x
2
-(2-k)x-k(k-2)=0

=(2-k)
2
+8k(k+2)=4-4k+k
2
+8k
2
+16k=9k
2
+12k+4=(3k+2)
2
0
với mọi k.
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k .
b Nếu 2k-1=0 hay k=
1
2
thì -4kx+1=-2x+1=0,ta có nghiệm x=
1
2
.
- Nếu 2k-1

0 hay k

1

1
=
2
2k 4k 1
(2k 1)
+

;x
2
=
2
2k 4k 1
(2k 1)


14
Với k =
1
4
phơng trình có một nghiệm kép x
1
= x
2
=-
'
b
a
=
2
2

=-7 và tích của hai nghiệm là P= x
1
.x
2
=-5.
b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là
2 1
1 2 1 2
1 1 x x 7 7
x x x .x 5 5
+
+ = = =

c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( 7) 2( 5) 49 10 59+ = + = = + =
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm là
2 2 2
1 2 1 2 1 2
(x x ) x x 2x .x = + =
59+10=69.
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm là
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x .x (x x ) ( 7) 3( 5)( 7) 343 105 448.+ = + + = = =
Bài tập 4.
Cho phơng trình 2x
2
+(2p-1)x+p-1=0


+ = >
> <
>
= > >









15
Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều d-
ơng.
c. Do S=
1 2
1 2p
x x
2

+ =
và P=
1 2
x .x
=
p 1
2

Giải .
a.Ta có
2 2 2
m 4(m 1) m 4m 4 (m 2) 0 m = = + =
,vậy phơng trình
luôn có nghiệm với mọi m .
b. A=
2 2
1 2
x x+
=
2 2
1 2
x x+
+2x
1
x
2
-2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
- 2x
1

đều là số dơng.
b. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thỏa mãn :
1 2
2 1
x x 10
x x 3
+ =
Giải:
a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là :
{
'
0
S 0,P 0
>
> >

{
{
1 m 0 m 1
2 0,m 0 m 0
0 m 1
> <
> > >
< <
b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
'

= =
Điều kiện m
0
(2)
Ta có 3(4-2m)=-10m

4m=-12

m=-3 thỏa mãn (1),(2).
Bài tập 7.
Cho phơng trình x
2
+ 2(m+1)x + m
2
=0 ,với m là tham số .
16
a.Giải phơng trình khi m=2 .
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có
một nghiệm bằng (-2).
Giải:
a.Khi m=2 thay vào phơng trình ,ta có x
2
+ 6x + 4=0

'
=3
2
-4=5,



m >
1
2

- Theo hệ thức Vi- ét ta có
{
1 2
1 2
2
1 2
1 2
b
x x
x x 2(m 1)
a
c
x .x m
x .x
a
(1)

+ =
+ = +
=
=





2

.
Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng
(-2).
Bài tập 8.
Cho phơng trình (m+1)x
2
+ 5x + m
2
-1=0 ,với m là tham số .
a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.
17
Giải:
a.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi
{
{
2
1 2
a 0 m 1 0 m 1 m 1
c m 1 0 m 1
m 1
x .x 0
0
a
m 1
+
< <

1 2
2
1 2
5
x x
m 1
m 1
x .x
m 1
(I)
+ =
+

=
+



Thay giá trị x
1
=4 vào (I) ta có m
2
+16m+35=0

m
1
=-8+
29
;m
2

a 0 m 1 0 m 1
4 0
0 (m 1) (m 1)(m 3) 0
+
>
> + >

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

-1.
b Theo câu a ,ta đã có

>0 với mọi giá trị m

-1
-Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

1 2
c
x .x 0
a
= >

m 3
0
m 1

>
+


>0 và
1 2
c
x .x 0
a
= >
ta có m>3 hoặc m<-1.
Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta có :

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =
=




1 2
1 2
2(m 1)
x x
m 1
m 3

=
+




2
2(m 1) m 3
3(m 1) 2(m 1)=

+ +

Rút ra ta đợc : m
2
- 2m- 35 = 0

m
1
=-5 ;m
2
=7 .Với giá trị m
1
;m
2
đều thỏa
mãn điều kiện m >3 và m <-1.
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

-2(m-1)x+3m-2=0 (1)
+ Với m=0 ,(1)

2x-2=0

x=1.
+ Với m

0 :
' 2 2 2 2
4m 4m 1 3m 2m m 2m 1 (m 1) = + + = + =

0
m
.
Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c.Ta có m(x
2
-4x+3)+2(x-1)= (x-1)
[ ]
m(x 3) 2 0 + =

Xét phơng trình m(x-3)+2 = 0
Để phơng trình có hai nghiệm thì m

0 khi mx-3m+2=0

x=
3m 2
m

.x
2

5.
Giải:
a.Với m=-1 .Ta có x
2
- x-2 = 0 Có a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0

x
1
=-1,x
2
=2
b. Ta có:

=(m+2)
2
-4.2m=m
2
+ 4m + 4- 8m = m
2
- 4m + 4 = ( m- 2)
2

0
m
. Vậy phơng trình có nghiệm
m
.



2

-
2

m+1

2

-1-
2

m

2
-1
Bài tập 12.
Cho phơng trình x
2
- px + p-1 = 0
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p .
b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x
1
2
+x
2
2
- 6x

2
- 6x
1
.x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-8x
1
.x
2
= p
2
- 8(p-1) = p
2
- 8p + 8 = p
2
- 8p + 16 - 8 = (p-4)
2
- 8.
c.M=(p-4)
2
- 8

-8,vậy M đạt giá trị nhỏ nhất M=-8 khi (p-4)
2

Gọi phơng trình x
2
+p
1
x+q
1
=0 (1) và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 (2)
Ta có
1

=p
1
2
-4 q
1
;
2

=
2
2
p
-4 q
2

1
+q
2
)= p
1
p
2

4(q
1
+ q
2
) = 2p
1
p
2
.
Do đó
1

+
2

= p
1
2
+
2
2
p

2
+ bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau
a) a( a + 2b + 4c ) < 0
20
b) 5a + 3b + 2c = 0
Giải:
Ta có
2
b 4ac =
.
a) a( a + 2b + 4c ) = a
2
+2ab+4ac < 0

a
2
+b
2
+2ab < b
2
-4ac

b
2
-4ac >
( a+b)
2

0

=0 và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 có nghiệm chung thì : (q
1
- q
2
)
2
+(p
1
-p
2
)(q
2
p
1
-q
1
p
2
)=0.
Giai:
Hai phơng trình có nghiệm chung
{
2
1 1

1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


.Do y=x
2
suy
ra
1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


=(
2 1
1 2
p p
p p


)
2
,khai triển biến đổi ta có :(q
1
-q
2
)

.Do đó
đẳng thức cần chứng minh có dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng.
21
Chuyên đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
A) tóm tắt lý thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ ohơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả
lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất
một ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức
thực tế
B) Các dạng toán
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số :
( v= + ab 10a b ới 0<a 9; 0 b 9;a,b N)
+ Biểu diễn số có ba chữ số :
( vabc 100a 10b c ới 0<a 9; 0 b,c 9;a, b,c N)= + +
+ Tng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x
2
+ y
2
+ Bình phơng của tổng hai số x, y là: (x + y)

.
22
2(x 1) x 4
x 2( Thoả mãn điều kiện của bài toán)
2
Vậy phân số ban đầu đã cho là
5
+ = +
=
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63
đơn vị thì số thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại.
Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (
(0 < x 9, x N)
Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9,y N)
Vì tng 2 ch số là 9 ta có x + y = 9 (1)
Số đó là
xy 10x y= +
Số viết ngợc lại là
yx 10y x= +
Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ta có
xy 63 yx 10x y 63 10y x
9x 9y 63(2)
+ = + + = +
=
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
x y 9 x y 9 2x 2
9x 9y 63 x y 7 x y 9
+ = + = =

b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13
+ + + = + =
+ =
= = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(thoả mãn điều kiện)
2
1 13
x 7(loại)
2
+
= =

= =
Vy hai số phải tìm là 6 và 7.
Bài tập:
Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì đợc 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng
2
5
số thứ nhất thì bằng
1
6

số thứ hai.
23
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7.

. Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v
1
- v
2

Ví dụ1: Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút.
Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ
hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3;
Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
Trong 3 giờ 20 phút (=
10
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc
10
x(km)
3
Trong 3 giờ 40 phút (=
11
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc
11
(x 3)(km)
3

Đó là quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình
10 11
x (x 3) x 33

Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là
120
y
(giờ)
Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút =
9
10
nên ta có phơng trình
120 60 9
(2)
x y 10
=
.
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
100 80 100 80
0
x y x y
120 60 9 40 20 3
x y 10 x y 10

= = = =Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h.

25
100 80
60 12
0
x y x 50
x 10
(thoả mãn điều kiện)
100 80
160 80 12 y 40
0
x y
x y 10


=
=


=




=


=
=