Câu 1. Chứng minh hệ thống được định nghĩa bởi quan hệ:




n
k
kxny )()(

là một hệ thống tuyến tính.
Câu 2.
Chứng minh rằng hệ thống được định nghĩa bởi quan hệ:
y(n) = x(M.n)
với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên dương không phải là một hệ thống bất biến
Câu 3. Tính tự tương quan của dãy x(n) = u(n) – u(n – 4).
Câu 4.
Xét trường hợp tín hiệu là tổng của hai hàm mũ thực:
x(n) = (1/2)
n
u(n) - (-3)
n
u(-n-1) (*)
Tính biến đổi Z.
Câu 5.
Xác định biến đổi Z của tín hiệu x(n) = na
n
u(n).
Câu 6. Giả sử x(n) có biến đổi z là:

với ROC là |z| > 1. Tìm x(n).

Đồ thị của tín hiệu này được vẽ trong hình vẽ

Câu 14.
Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu

Câu 15.
Xét một dãy có chiều dài hữu hạn L được định nghĩa như sau :

Xác định DFT N điểm của dãy này với N ≥ L
Câu 16.
Hãy xác định tín hiệu ra của hệ thống có đáp ứng xung là :

Với tín hiệu vào là 1 dãy hàm mũ phức :
Câu 17.
Hãy xác định biên độ và pha của H() cho một hệ thống được biểu diễn bởi
quan hệ vào ra như sau :

Và vẽ đồ thị của 2 hàm này với 0    .
Câu 18.
Hãy xác định đáp ứng của hệ thống có đáp ứng xung là :

với tín hiệu vào là :

Câu 19.
Cho một hệ thống LTI được đặc tả bởi đáp ứng xung :

Xác định phổ và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu ra, khi hệ thống được kích
thích bởi tín hiệu :

Câu 20

x(n) = { …, 0, 0, 2, -1, 3, 7, 1, 2, -3, 0, 0, …}
y(n) = { …, 0, 0, 1, -1, 2, -2, 4, 1, -2, 5, 0, 0, …}
Câu 6.
Xác định biến đổi Z của tín hiệu:
(a) x(n) = (cos
0
n)u(n)
(b) x(n) = (sin
0
n)u(n)
Câu 7.

Câu 8.
Xác định đáp ứng với hàm nhảy bậc đơn vị của hệ thống được mô tả bởi phương
trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:
y(n)=0,9y(n-1) - 0,81y(n-2) + x(n)
với các điều kiện đầu như sau:
(a) y(-1) = y(-2) = 0
(b) y(-1) = y(-2) = 1
Câu 9
Xét tín hiệu : x(n) = a
n
u(n) , 0 < a < 1 phổ của tín hiệu này được lấy mẫu ở các
tần số (k =, k = 0, 1, , N-1. Xác định phổ được khôi phục với a=0,8 khi N=5
và N = 50.
Câu 10.
Một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân như sau :
y(n) = a
y
(n-1) + b
6. ĐÁP ÁN
6.1 Loại câu 3 điểm (20 câu)
Câu 1. = a.y
1
(n) + b.y
2
(n) với a và b là các hằng số bất kỳ.
Vậy hệ thống này là một hệ thống tuyến tính.
Câu 2.
Chứng minh:
Gọi y
1
(n) là đáp ứng của tác động x
1
(n), với x
1
(n) = x(n – n
d
), thì:
y
1
(n) = x
1
(Mn) = x(Mn – n
d

< 3. Đồ thị cực-zero và ROC được trình bày trong hình 2. Và: Câu 5.
Giải:
Đặt x
1
(n) = a
n
u(n), ta được x(n) = nx
1
(n) . Ta đã biết: Câu 6.
Giải:
Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì M = N và tất cả các cực đều
là bậc nhất. Ta có thể biểu diễn X(z) dưới dạng sau.
(Hệ số B0 được tìm bởi phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số)

X(z) được viết lại:
Đặt , ta sẽ khai triển Xht(z) thành tổng của 2 phân thức đơn
giản, các hệ số
A1 và A2 được tính như sau:

Giải:
(a) Từ ROC của X(z) ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì vậy , ta sẽ tìm một khai
triển chuỗi lũy thừa với số mũ âm. Bằng cách chia tử cho mẫu xếp theo số mũ
âm dần, ta được:

Ta được: (b) Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên trái. Vì vậy, ta phải thực hiện
phép chia sao cho thu được khai triển lũy thừa dương của z. Muốn vậy, ta xếp
các đa thức tử số và mẫu số theo thứ tự sao cho lũy thừa của z-1 giảm dần (tức
số mũ ít âm dần cho đến 0). Ta thực hiện phép chia như sau:

Ta thu được:
Câu 10.
Giải:
Đáp ứng của hệ thống là:
y(n) = h(n)*x(n)
với : x(n) = u(n). Rõ ràng, nếu ta kích thích một hệ thống nhân quả với một tín hiệu
vào nhân quả thì tín hiệu ra cũng nhân quả. Vì x(n), h(n) và y(n) đều là các dãy
nhân quả, nên biến đổi Z một phía và biến đổi Z hai phía là đồng nhất. Áp dụng tính
chất chập ta được:

Vì |a| < 1 nên ROC của (z-1)Y(z) chứa vòng tròn đơn vị. Áp dụng định lý giá trị

hiệu có năng lượng hữu hạn và E
x
=. Câu 13.
Giải :
Tín hiệu đã cho là tín hiệu khả tổng tuyệt đối thật vậy :

Do đó biến đổi Fourier của nó tồn tại. Hơn nữa, đây là một tín hiệu có năng
lượng hữu hạn, ta tính được E
x
= A
2
L
Biến đổi Fourier của tín hiệu có thể được tính như sau :

Cho ω = 0, ta có X(0) = AL (dùng qui tắc L’Hospital)
Phổ biên độ của x(n) là :

Hình vẽ trình bày phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu với A = 1
và L=5 phổ mật độ năng lượng chỉ là bình phương của phổ biên độ. Câu 14.
Giải :
Rõ ràng x(-n) = x(n). Vậy x(n) là một tín hiệu thực và chẳn.
Câu 18.
Giải :
Đáp ứng tần số của hệ thống đã được cho trong phương trình

Số hạng đầu tiên của tín hiệu vào là một tín hiệu hằng, có tần số ω = 0, ở tần số
này:

Vậy đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) là : Câu 19.
Giải : Câu 20.

Giải :

Đồ thị của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống này
6.2 Loại câu 4 điểm (10 câu)
Câu 1.
Giải:

- 3
n-1
- 4
n-2
= 0 hay 
n -2
(
2
- 3

- 4) = 0
và phương trình đặc tính là: (
2
- 3 - 4) = 0
Ta có 2 nghiệm 
1
= -1 và 
2
= 4, nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng tổng
quát là:
y
h
(n) = C
1

n
1
+ C
2


Suy ra: C
1
+ C
2
= 3y(-1) + 4y(-2)
-C
1
+ 4C
2
= 13y(-1) + 12y(-2)
Giải hệ 2 phương trình trên ta được:
C
1
= (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)
C
2
= (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)
Vậy đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0 là:
y
h
(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)
n
+ [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)
n

Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì C1=-1 và C2 =16. Ta được:
yh(n) = (-1)n+1 + (4)n+2 , với n  0

Câu 3
Giải:

u(n-1) - 4 K(n-2)(4)
n-2
u(n-2) = (4)
n
u(n) + 2(4)
n-
1
u(n-1).
Để xác định K, ta ước lượng phương trình này với mọi n ≥ 2, nghĩa là với
những giá trị của n sao cho hàm nhãy bậc đơn vị trong phương trình trên không bị
triệt tiêu. Để đơn giản về mặt toán học, ta chọn n = 2 và tính được K = 6/5. Vậy:
y
p
(n) = (6/5)n(4)
n
u(n)

Câu 4
Giải:
Nghiệm tổng quát của pt là:
y(n) = y
h
(n) + y
P
(n) = C
1
(-1)n + C
2
(4)n + (6/5)n(4)
n

 Với n > 0, ta dịch y(k) sang phải n mẫu, tính tích v
n
(k) = x(k)y(k-n) và sau đó
cộng tất cả các mẫu của v
n
(k), ta thu được:
r
xy
(1) = 13 r
xy
(2) = -18 r
xy
(3) = 16 r
xy
(4) = -7
r
xy
(5) = 5 rxy(6) = -3 và r
xy
(n) = 0, với n ≥ 7
 Với n < 0, ta dịch y(k) sang trái n mẫu, tính tích v
n
(k) = x(k)y(k-n) và sau đó
cộng tất cả các mẫu của vn(k), ta thu được:
r
xy
(-1) = 0 r
xy
(-2) = 33 r
xy

Câu 7 Đường cong kín C nằm trong ROC của X(z) nên có bán kính lớn hơn |a|.
- Với n ≥ 0, C bao quanh một cực duy nhất tại z = a, ta có:

kết quả là: x(n) = a
n- Với n < 0 , có cực kép bậc n tại z = 0.
- Khi n = -1, có 2 cực trong C là z = a và z = 0

Kết quả là x(-1) = a-1 - a-1 = 0
- Khi n = -2, có 1 cực đơn z = a và một cực kép bậc 2 tại z = 0 trong C.

Kết quả là x(-2) = 0
Tính tiếp tục với n = -3, -4, -5,… ta thấy x(n) = 0, với mọi n < 0.
Vậy, kết quả cuối cùng là: x(n) = a
n
u(n).

Câu 8
Giải: đáp ứng trạng thái zero: