Đồ án tốt nghiệp
- 1 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48



ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Đề tài: “bài toán dùng phương pháp xấp xỉ
trung bình phương (hay còn gọi là phương
pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm
trong thực nghiệm.”

Đồ án tốt nghiệp
- 2 -
- 3 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
2.1.4.3. Sai số của phương pháp……………………………… 12
2.1.4.4. Chú ý ………………………………………………… 12
2.2. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số……………… 14
2.2.1. Đặt vấn đề…………………………………………………….14
2.2.2. Tiếp cận lời giải……………………………………… 14
2.2.3. Sai số trung bình…………………………………………… 14
2.2.4. Trường hợp các mốc cách đều……………………………… 15
2.3. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao………… 20
2.3.1. Định nghĩa hệ hàm trực giao……………………… ……… 20
2.3.2. Đặt vấn đề…………………………………………………….20
2.3.3. Nội dung của phương pháp………………………….……… 21
2.3.4. Sai số của phương pháp…………………………… ……… 30
2.4. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức lượng giác…………32
2.4.1. Định nghĩa đa thức lượng giác……………………………… 32
2.4.2. Thuật toán…………………………………………………… 32
Chương III
Các ví dụ minh họa:
3.1. Đa thức đại số………………………………………………………… 39
3.1.1. Ví dụ 1……………………………………………………… 39
3.1.2. Ví dụ 2……………………………………………………… 40
3.2. Đa thức trực giao……………………………………………………… 43
3.2.1. Ví dụ 1……………………………………………………… 43
3.2.1. Ví dụ 2……………………………………………………… 48
3.3. Đa thức lượng giác…………………………………………………… 52

LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu
trong cuộc sống con nguời.
Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,
toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh
vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài
toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.
Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số
dưới dạng phức tạp như dạng biểu thức hoặc một hàm số dưới dạng bảng
bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm người ta
thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp
xỉ trung bình phương.
Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung
bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ
hàm trong thực nghiệm.
Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán tin ứng dụng- Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm
giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc
biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS LÊ TRỌNG VINH,
người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu
trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Bùi Văn Bằng

Đồ án tốt nghiệp

1. Trong các đa thức nội suy
( )
x
ϕ
ta đòi hỏi ) =
i
y
. Tuy nhiên sự đòi
hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số
i
y
là giá trị
của hàm
( )
y f x
=
tại các điểm
i
x x
=
, trong thực tế chúng ta cho dưới
dạng bảng và thường thu được từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán
trong thực hành. Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị
đúng
( )
i
f x
của hàm
( )
y f x

f x
một cách sát
thực đương nhiên cần tăng số mốc nội suy
i
x
(nghĩa là làm giảm sai số
của công thức nội suy). Nhưng điều này lại kéo theo cấp của đa thức
nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu được khá cồng kềnh
i
x(
ϕ
i
i
ε
)(x
ϕ
)(x
ϕ
Đồ án tốt nghiệp
- 7 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
gây khó khăn cho việc thiết lập cũng như dựa vào đó để tính giá trị
gần đúng hoặc khảo sát hàm
( )
f x

0
( ) ( ).
φ ϕ
=
=
∑
m
m i i
i
x a x
(1 - 1)
v
ớ
i là nh
ữ
ng hàm
đ
ã bi
ế
t,
i
a
là nh
ữ
ng h
ệ
s
ố
h
ằ

t hi
ệ
n
khi thu
đượ
c các s
ố
li
ệ
u
i
y
) c
ầ
n ph
ả
i
đượ
c ch
ỉ
nh lý trong quá trình tính toán.
Trong bài toán tìm hàm x
ấ
p x
ỉ
trên vi
ệ
c ch
ọ
n d

ng
đ
ã bi
ế
t).
Gi
ả
s
ử

đ
ã bi
ế
t d
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a hàm

0 1
( , , , , )
m
Y f x a a a
=
(1 – 2)
Trong
đ
ó:

y y

( 1,2, , )
=
i m

ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị

i
x x
=
c
ủ
a
đố
i. V
ấ
n
đề
là t
ừ
nh
ữ
ng s
ố
li

c
ụ
th
ể
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c (1 – 2):
( )
=
y f x
v
ề
s
ự
ph
ụ
thu
ộ
c hàm s
ố
gi
ữ
a
y
và
x

chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên
(nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của
thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta
đưa ra phải khá bé trên miền đang xét.
Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả
có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên được gọi là sai số trung bình
phương.
1.2.2 Định nghĩa
Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phương
của hai hàm
( )
f x
và
( )
ϕ
x
trên tập
1 2
( , , , )
=
n
X x x x
, nếu
= . (2 – 1)
1.2.3 Ý nghĩa của sai số trung bình phương
n
σ
n
σ
∑

1 2
( , , , )
=
n
X x x x
là t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m
cách
đề
u trên
[
]
,
a b

1 2

= < < < =
n
a x x x b Theo

,
a b
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n c
ự
c tr
ị
và là m
ộ
t s
ố

d
ươ
ng nào
đ
ó cho tr
ướ
c. Khi
đ
ó trên
[
]

∈
i i
x a b
,
( 1,2, , )
=
i k
)
G
ọ
i là t
ổ
ng các
độ
dài c
ủ
a k
đ
o
ạ
n nói trên.
V
ớ
i n
đủ
l
ớ
n và
đủ
bé, t

a các
đ
o
ạ
n
[
]
,
i i
a b
s
ẽ
bé tùy ý.
ϕ
2
σ
a
b
−
1
dxxxf
b
a
∫
−
2
)]()([
ϕ
α
ω

2
)]()([
ϕ
≥
ωα
2
Đồ án tốt nghiệp
- 10 -
Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48
Tóm l
ạ
i: v
ớ

o
ạ
n
[
]
,
i i
a b
mà có t
ổ
ng
độ
dài
ω
bé tùy ý), ta có
( ) ( )f x x
ϕ α
− <
.
Trong
đ
ó là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng tùy ý cho tr
ướ
c.

a hai hàm f(x) và trên t
ậ
p h
ợ
p n
đ
i
ể
m
[
]
,
a b X
⊂
(n
đủ
l
ớ
n) mà khá bé thì v
ớ
i tuy
ệ
t
đạ
i
đ
a s
ố
giá tr
ị

khá bé thì hàm sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm
( )
f x
.
Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phương làm tiêu chuẩn đánh
giá như trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương.
Rõ ràng: Nếu hàm
( )
f x
thu được bằng thực nghiệm (nghĩa là
( )
≈
i i
y f x
)
thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do
những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao
phương pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phương được sử dụng rộng rãi
trong thực tiễn.
Ta xét trường hợp
( )
ϕ
x
là phụ thuộc các tham số
0 1
, , ,
m
a a a
ϕ
)(x
ϕ
Đồ án tốt nghiệp
- 11 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Trong số những hàm
( )
ϕ
x
có dạng (2 – 4) ta sẽ gọi hàm

0 1
( ) ( ; , , , )
ϕ
=
m
x x a a a
(2 – 5)
là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương với hàm
( )
f x
nếu sai số
trung bình phương
( )

i
a a a y x a a a
n
. (2 – 6)
Từ (2 – 6) ta nhận thấy (2 – 5) tương đương với đẳng thức:
[ ] [ ]
2 2
0 1 0 1
1 1
( ; , , , ) min ( ; , , , )
ϕ ϕ
= =
− = −
∑ ∑
n n
i m i m
i i
y x a a a y x a a a . (2 – 7)
T
ừ

đ
ó vi
ệ
c tìm hàm x
ấ
p x
ỉ
t
ố

ng
2
1
ε
=
∑
n
i
i
trong
đ
ó

0 1
( ; , , , )
ε ϕ
= −
i i m
y x a a a
.
B
ở
i v
ậ
y ph
ươ
ng pháp tìm x
ấ
p x
ỉ

Đồ án tốt nghiệp
- 12 -
Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48


∑
m
m i i
i
x a x
. (3 – 1)
Trong
đ
ó
0 1
, , ,
m
a a a
là các h
ệ
s
ố
h
ằ
ng s
ố
. H
ệ
hàm
{ ( )}
ϕ
m
x

đ

ự
c nghi
ệ
m
i
y

( 1,2, , )
=
i n
c
ủ
a hàm
( )
=
y f x
t
ạ
i các
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng
i
x
. Khi

n
x x x a b
⊂
s
ẽ
chuy
ể
n v
ề
vi
ệ
c tìm m+1 h
ệ
s
ố

i
a
trong (3 – 1).

Để
quá trình tính toán
đượ
c
đơ
n gi
ả
n ta xét
đ
a th

ể
gi
ả

thi
ế
t n m+1. Khác v
ớ
i bài toán n
ộ
i suy
ở

đ
ây ta không c
ầ
n xác
đị
nh m+1
giá tr
ị

i
a
t
ừ
n ph
ươ
ng trình:
( )

Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Ta sẽ áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức suy
rộng
0
( ) ( )
φ ϕ
=
=
∑
m
m i
i
i
x a x
x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t v
ớ
i hàm
( )
f x
trên

c ti
ể
u c
ủ
a hàm m+1 bi
ế
n

0 1
( , , , )
m
F a a a
= . (3 – 2)
Do
đ
ó
(
)
0 1
, , ,
m
a a a
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ

i
i i i
y x a x a x a x
y x a x a x a x
y x a x a
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=
− − − − − =
− − − − − =
− − −
∑
∑
[ ][
]
1
( ) ( ) 0
n
m i m m i
i
x a x
ϕ ϕ
=






u v
ớ
i thành ph
ầ
n th
ứ
i là
i
y
.
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a tích vô h
ướ
ng các véc t
ơ
ta có

[ ]
1
, ( )
ϕ ϕ
=
=
∑
m
r i r i
i

m
i
ii
xa
0
)(
ϕ
∑
=
−−−−
n
i
mimiii
axaxaxy
1
2
1100
])( )()([
ϕϕϕ
0
a
F
∂
∂
1
a
F
∂
∂
m


[
]
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1
, , , ,
, , , ,, , , ,
m
m
m m m m m
a a y
a a y
a a y
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
 + + + =


ố
:
0 1
, , ,
m
a a a
trong
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ
. Ma tr
ậ
n c
ủ
a h
ệ

ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính (3 – 5) có các ph
ầ
n t
ử
là , do

ươ
ng trình chu
ẩ
n.

Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình chu
ẩ
n có d
ạ
ng
G( = (3 – 6)
Ta g
ọ
i
đị
nh th
ứ
c
0 1
( , , , )
ϕ ϕ ϕ

đ
ã bi
ế
t: N
ế
u hàm c
ơ
s
ở
là h
ệ
hàm
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính trên
{
}
[
]
1 2
, , , ,
n
X x x x a b
= ⊂
thì trong s
ố

ỉ
t
ố
t nh
ấ
t theo ngh
ĩ
a trung bình ph
ươ
ng
đố
i v
ớ
i hàm
( )
f x
.
Ngoài ra còn có th
ể
ch
ứ
ng minh khi h
ệ
c
ơ
s
ở
là nh
ữ
ng

ệ
ph
ươ
ng trình chu
ẩ
n (3 – 5) có và duy nh
ấ
t
)(x
m
φ
],[
ji
ϕϕ
), ,,
10 m
ϕϕϕ
],] [,][,[

],] [,][,[
],] [,][,[
10
11101
01000
mmmm
m
m
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ

Sinh viên th
ự
c hi
ệ
n: Bùi V
ă
n B
ằ
ng

L
ớ
p: To
ỏ
n Tin_2 – K48
nghi
ệ
m
0 1
, , ,
m
a a a

ứ
ng v
ớ
i các h
ệ
s
ố

ằ
ng h
ệ
hàm c
ơ
s
ở
ngh
ĩ
a là h
ệ
hàm
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính trên
đ
o
ạ
n
[
]
,
a b
.
2.1.3 Sai số của phương pháp.
Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ cho hàm

∑
=
−=
φσ
∑
=
−
n
i
imi
xy
1
2
)]([
φ
∑ ∑
= =






−=
n
i
m
j
ijji
xay

ϕϕϕ
∑ ∑∑ ∑
= == =
=






−=






−
m
i
m
j
jjjj
m
j
m
j
jjjj
ayaaay
0 00 0





−
∑∑
==
m
j
jiji
m
i
i
aya
ϕϕϕ
Đồ án tốt nghiệp
- 16 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Thay kết quả trên vào (3 – 8) ta có:

. (3 – 10)
Thay (3 – 10) vào (3 – 7) ta có
. (3 – 11)
Trong đó
j


( 0,1, , )
=
r m
thì hệ hàm được gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp
X
.
2.1.4.2 Tiếp cận lời giải






−=−
∑∑
==
m
j
jj
n
i
imi
yayxy
01
2
,)]([
ϕφ
[ ]
[ ]

[ ]
[ ]







=≠=
≠==
∑
∑
=
=
), ,1,0.(0)(,
).(0)()(,
1
2
1
mrx
srxx
n
i
irsr
n
i
isirsr
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ

0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
bao giờ cũng lập được một
hệ trực chuẩn tương ứng
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
sao cho mỗi hàm của hệ trực
chuẩn là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:

( 0,1, , )
=
r m
. (3 – 13)
Từ (3 – 5) và (3 – 12) ta nhận thấy rằng: Nếu
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
là hệ trực
giao thì đa thức xấp xỉ tốt nhất (3 – 1’) của
( )
f x
có các hệ số

s
r
sr
xx
0
)(
)()(
ϕαϕ
[
]
[
]
iiii
ya
ϕϕϕ
,, =
[
]
[ ]
[
]
2
,
,
,
i
i
ii
i
i

ϕ
[ ]
[ ]










−=
∑
=
m
j
i
i
n
y
yy
n
0
2
2
,
,
1

Đồ án tốt nghiệp
- 18 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
tăng. Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở
0 1
( ), ( ), , ( )
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ
( )
f x
càng tốt.
2.1.4.4. Chú ý
Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trường hợp chung khi cần thay đổi
cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phương trình chuẩn (3 – 5) dùng để
xác định các hệ số
0 1
, , ,
m
a a a
của đa thức hoàn toàn thay đổi. Do đó quá
trình tình toán (giải hệ phương trình chuẩn) cần làm lại từ đầu. Tuy nhiên
khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ
(3 – 1’) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số

m
i
i
x a x
.
Nh
ậ
n xét trên r
ấ
t b
ổ
ích v
ề
m
ặ
t th
ự
c hành tính toán vì khi mu
ố
n x
ấ
p x
ỉ
m
ộ
t
hàm th
ự
c nghi
ệ

đủ
l
ớ
n. Khi
đ
ó n
ế
u h
ệ

hàm c
ơ
s
ở

0 1
( ), ( ), , ( ),
ϕ ϕ ϕ
m
x x x
là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c giao thì khi xu
ấ
t phát ta có
th

a
đủ
bé (so v
ớ
i yêu c
ầ
u) thì
ta có th
ể
t
ă
ng d
ầ
n s
ố
m lên và tính thêm các h
ệ
s
ố

i
a
b
ổ
sung (t
ừ
công th
ứ
c
(3 – 14)).

2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số
2.2.1 Đặt vấn đề
Giả sử biết n giá trị thực nghiệm
i
y

( 1,2, , )
=
i n
của hàm
( )
f x
tại các
điểm
i
x
tương ứng. Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm
( )
f x
bởi một đa thức cấp m
có dạng

0 1
( )
m
m m
P x a a x a x

ng
, , …, . (4 – 2)
khi
đ
ó t
ừ
(3 – 4) ta có

và . (4 – 3)
{
}
)(x
i
ϕ
1)(
0
=
x
ϕ
xx
=
)(
1
ϕ
m
m
xx =)(
ϕ
[ ]
∑∑

Đồ án tốt nghiệp
- 20 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Dựa vào (3 – 5) ta suy ra các hệ số
i
a
của đa thức xấp xỉ (4 – 1) là nghiệm
của hệ phương trình chuẩn có dạng sau
(4 – 4)
2.2.3 Sai số trung bình
Từ (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có
dạng (4 – 4) là:
. (4 – 5)
Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phương trình chuẩn (4 – 4) ta làm
theo lược đồ trong bảng 1. Các hệ số vế trái của phương trình đầu tiên cho
bởi các tổng ô lần lượt từ cột (1) đến cột (m), của phương trình thứ 2 cho bởi
các tổng lần lượt từ cột 2 đến cột (m+1), … còn các vế phải của (4 – 4) cho
bởi các tổng ở lần lượt từ cột (2m+2) đến cột cuối c
ùng (3m+2).
0
x

1
x


(2m+4)

(3m+2)1

1
…
1

1
x2
x

…

n
x2
1
x

2
2
1
y2
y

…

n
y1 1
x y

2 2
x y

…
n n
x y2
1 1
x y











=++++
=++++
=++++
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
===
+
=
+
=
==
+
===
====
n
i
i
m
i
n

i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yxxaxaxaxa
yxxaxaxaxa
yxaxaxana
11
2
1
2
2
1
1
1
1
0
11
1
1

j
iij
n
i
i
n
i
imin
xyay
n
xPy
n
0 11
2
1
2
1
)(
1
σ
Đồ án tốt nghiệp
- 21 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
n


1
+
−
=
k
x x
u
h
hay
1
.
+
= +
k
x x u h
.
Do
đ
ó khi
x
nh
ậ
n các giá tr
ị

1 2 1 2 1
, , , , ,
+ +
k k
x x x x

m
m m
Q u b b u b u
. (4 – 9)
T
ươ
ng t
ự
nh
ư
(4 – 4) các h
ệ
s
ố
b c
ủ
a (4 – 9) thu
đượ
c t
ừ
h
ệ
ph
ươ
ng trình
(4 – 10)
H
ệ
ph
ươ

ằ
ng 0
. (4 – 11)
Trường hợp 2:
n
ch
ẵ
n (
2
=
n k
)

∑
=
n
i
i
x
1
∑
=
n
i
i
x
1
2
∑
=

=
n
i
i
m
i
yx
1
i











=++++
=++++
=++++
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
===
+
=
+

i
m
im
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yuubububub
yuubububub
yubububnb
11
2

1
===
∑∑
==
n
i
i
n
i
i
uu
Đồ án tốt nghiệp
- 22 -
Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Ta
đặ
t
2( )
1
−
= −
k
x x
u
h

k k k k

và trong h
ệ
(4 – 10) c
ũ
ng v
ắ
ng m
ặ
t nh
ữ
ng t
ổ
ng các l
ũ
y th
ừ
a l
ẻ
c
ủ
a u:
. (4 – 13)
Tóm l
ạ
i, trong m
ộ
i tr
ườ

1=
=
∑
n
j
j i
i
S u
(
j
là s
ố
l
ẻ
). Ngoài ra các h
ệ
s
ố
còn
l
ạ
i c
ủ
a v
ế
trái (có d
ạ
ng
1=
=

p nh
ữ
ng b
ả
ng tính s
ẵ
n các h
ệ
s
ố
này (tùy
thu
ộ
c vào n).
Cu
ố
i cùng, sau vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình (4 – 10) ta thu
đượ
c
( )
m
Q u
d
ướ

chuy
ể
n bi
ế
n
u
v
ề
bi
ế
n x ban
đầ
u. C
ụ
th
ể
trong
( )
m
Q u
thu
đượ
c
ta s
ẽ
dùng công th
ứ
c
đổ
i bi

ợ
p
m = 1, m = 2.
Tr
ườ
ng h
ợ
p m = 1, ngh
ĩ
a là (4 – 9) có d
ạ
ng:

1 0 1
( )
= +
Q u b b u
.
Đồ
ng th
ờ
i (4 – 10) có d
ạ
ng (4 – 4)
1 2
k2
0
1
3
1

ĩ
a là (4 – 9) có d
ạ
ng

2
2 0 1 2
( ) = + +
Q u b b u b u

Và khi
đ
ó (4 – 10) có d
ạ
ng:

Gi
ả
i h
ệ
3 ph
ươ
ng trình trên ta
đượ
c
(4 – 15)
N
ế
u ta g
ọ

0
1
i
ii
i
u
yu
b
y
n
b





=+
=
=+
∑∑∑
∑∑
∑
∑
iiii
iii
ii
yuubub
yuub
yubbn
24

∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
2
24
22
2
2
1
2
24
224
0
ii
iiii
i
ii
ii
iiiii
uun
uyyun
b
u
yu
b
uun

2
24
2
4
2
24
4
3
2
21
iiii
i
ii
i
i
uun
n
uun
u
uun
u
u
n
αα
ααα
Đồ án tốt nghiệp
- 24 -

(4 – 16) ta nh
ậ
n th
ấ
y các s
ố
theo nh
ữ
ng giá tr
ị
l
ẻ
c
ủ
a n t
ừ
3
đế
n 21
ở

b
ả
ng 3. Trong ph
ầ
n d
ướ
i c
ủ
a b

Bảng 2
(Để đơn giản trong phần này ta hiểu là )

Với n lẻ:
n
3
5
7
9
11

13

15

17

333333.10

200000.10


119048.10
324675.10
116550.10
499500.10
242405.10
128999.10
i
α
i
α
m
0
1 2
∑
i
y
1
α
∑
ii
yu
2
α
∑
∑
−
iii
yuy
2
43

6
−
6
−
6
−
6
−
6
−
6
−
7
−
7
−
7
−
8
−
8
−
8
−
5
−
6
−
7
−

909091.10

769231.10

666667.10

588235.10

526316.10

476190.10

909091.10

549451.10

357143.10

245098.10

175439.10

129870.10

207459.10

174825.10

151131.10



4
6
8
10

12

14

16

18

20

22

250000.10

166667.10

125000.10

100000.10

833333.10

714286.10
500000.10


139509.10
156250.10
167411.10
372024.10
118371.10
468282.10

214629.10

109419.10

604683.10

356004.10

220567.10

7−
7−
7−
7−
7−
7−
8−
8−
8−
8−
8−
8−

7−
8−
8−
8−
6−
6−
6−
6−
6−
7−
7−
8−
8−
8−
7−
8−
9−
9−
10−
10−
10−
11−
11−
11−