1
ca Bäü Giạo Dủc V Âo Tảo . Giạo trçnh nhàòm phủc vủ sinh viãn cạc
hãû âo tảo ca cạc ngnh k thût trong cạc nàm hc cå bn . Sạch cọ
chn lc cạc vê dủ minh ha v viãút tỉång âäúi t m nhàòm phủc vủ cho
sinh viãn tỉû âc cọ thãø hiãøu dãù dng.
Km theo cún bi ging sinh viãn cọ thãm sạch bi táûp âënh k âãø
phủc vủ viãûc nàõm lải l thuút v måí räüng tỉ duy. Do âọ mäùi sinh viãn
cáưn phi thỉûc hiãûn âáưy â cạc bi táûp â cho trong cún bi táûp v lm
thàó
ng vo sạch .
Trong qụa trçnh soản tho chụng täi chàõc chàõn khäng trạnh khi
thiãúu sọt vãư cạc màût . Ráút mong bản âc, cạc âäưng nghiãûp âọng gọp .
 nàơng , thạng 10 nàm 2004
Tạc gi 3Pháưn I :

NHỈỴNG KHẠI NIÃÛM TÄØNG QUẠT

1.2.1-Phẹp chiãúu xun tám:
Mäüt phẹp chiãúu xun tám âỉåüc xạc
âënh båíi mäüt âiãøm S gi l tám chiãúu v mäüt
phàóng P gi l màût phàóng hçnh chiãúu.Phẹp
chiãúu âỉåüc thỉûc hiãûn båíi hai bỉåïc.(H-1.1)
-Näúi âỉåìng thàóng SA. Hçnh-1.1
S
A
A
'
P

4

-Tỗm giao õióứm Aẽ = SA x P
Aẽ : goỹi laỡ hỗnh chióỳu xuyón tỏm cuớa A tổỡ tỏm S lón mỷt phúng hỗnh chióỳu P.
Tờnh chỏỳt 1: Hỗnh chióỳu cuớa mọỹt õổồỡng thúng khọng qua tỏm chióỳu laỡ mọỹt
õổồỡng thúng.(H-1.2)
Tờnh chỏỳt 2: Hỗnh chióỳu cuớa cuớa hai õổồỡng thúng song song laỡ hai õổồỡng thúng
õọửng qui(õióứm õọửỡng qui laỡ hỗnh chióỳu õióứm vọ tỏỷn cuớa hai õổồỡng thúng song
song).(H-1.3)
1.2.2-Pheùp chióỳu song song:
Mọỹt pheùp chióỳu song song õổồỹc xaùc õởnh bồới mọỹt hổồùng s vaỡ mọỹt mỷt
phúng hỗnh chióỳu P, khọng song song vồùi s. (H-1.4)

'
P
S
A

A
'
P

d
d'

5
AB // CD A'B' // C'D' (ABC) = (A'B'C')
Hỗnh-1.5 Hỗnh-1.6

1.2.3- Pheùp chióỳu vuọng goùc:
Pheùp chióỳu vuọng goùc laỡ trổồỡng hồỹp õỷc bióỷt cuớa pheùp chióỳu song song
khi hổồùng chióỳu s vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu P. (H- 1.7)
Tờnh chỏỳt : ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ mọỹt goùc vuọng chióỳu thaỡnh mọỹt goùc vuọng laỡ
mọỹt trong hai caỷnh goùc vuọng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu vaỡ caỷnh kia

a
b'
P
b
a'
s
A
A
'
P
B
C
B'
C'
A

A
'
P6

Chổồng hai:
IỉM

2.1- ệ THặẽC CUA MĩT IỉM:
2.1.1-Hóỷ thọỳng caùc mỷt phúng hỗnh chióỳu:
Trong khọng gian, choỹn hai mỷt phúng vuọng goùc nhau. P1 nũm ngang
vaỡ P2 thúng õổùng nhổ hỗnh veợ. (H-2.1)

A
2
A
X
x

P
2
1
P
1
P
2
2
3
4
x
A

P
1
P
2
A
X
A
1
A
2
x

Hỗnh - 2.3
A
1
A
2
x

B
1
B
2
C
1
C
2
D
1
D
2
E
1
E
2
F

P
2
A

P
1
A
X
A
1
A
2
P
3
A
3
A
Y
A
Z
y

ặèNG THểNG

3.1-ệ THặẽC CUA ặèNG THểNG:
Mọỹt õổồỡng thúng õổồỹc bióứu dióựn bồới hai õióứm hay bồới hai hỗnh chióỳu
cuớa noù. (H-3.1) (H-3.2)

Hỗnh-3.1 Hỗnh-3.2
3.2-CAẽC ặèNG THểNG C BIT.
3.2.1-ổồỡng bũng : Laỡ õổồỡng thúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu
bũng P1. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh-3.3.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng bũng thỗ song song truỷc x.
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mọỹt õoaỷn thúng thuọỹc õổồỡng bũng thỗ
bũng chờnh noù.
3.2.2-ổồỡng mỷt : Laỡ õổồỡng thúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng
P2. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh-3.4.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳ
u bũùng cuớa õổồỡng mỷt thỗ song song truỷc x
. -Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mọỹt õoaỷn thúng thuọỹc õổồỡng mỷt thỗ
bũng chờnh noù.
3.2.3-ổồỡng caỷnh : Laỡ õổồỡng thúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu caỷnh
P3. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh-3.5.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng vaỡ hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng caỷnh thỗ
truỡng nhau vaỡ vuọng goùc vồùi truỷc x.
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mọỹt õoaỷn thúng thuọỹc õổồỡng bũng thỗ

3.2.4-ổồỡng thúng chióỳu bũng: Laỡ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi mt phúng
hỗnh chióỳu bũng P1. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh -3.6.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng cuớa õổồỡng thúng chióỳu bũng suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õióứm.
-Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng thúng chióỳu bũng laỡ õổồỡng thúng
vuọng goùc vồùi truỷc x.
* ổồỡng thúng chióỳu bũng vổỡa laỡ õổồỡng mỷt vổỡa laỡ dổồỡng
caỷnh, nón coù moỹi tờnh chỏỳt cuớa hai loaỷi õổồỡng noùi trón.
3.2.5-ổồỡng thúng chióỳu õổùng: Laỡ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi mt phúng
hỗnh chióỳu õổùng P2. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh -3.7.
Nhỏ
ỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng thúng chióỳu õổùng suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õióứm.
-Hỗnh chióỳu bũng cuớa õổồỡng thúng chióỳu õổùng laỡ õổồỡng thúng
vuọng goùc vồùi truỷc x.
* ổồỡng thúng chióỳu õổùng vổỡa laỡ õổồỡng bũng vổỡa laỡ dổồỡng
caỷnh, nón coù moỹi tờnh chỏỳt cuớa hai loaỷi õổồỡng noùi trón.
3.2.6-ổồỡng thúng chióỳu caỷnh: Laỡ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng
hỗnh chióỳu caỷnh P3. ọử thổùc õổồỹc veợ trón hỗnh -3.8.
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu bũng vaỡ hỗnh chióỳu õổùng cuớa õổồỡng thúng chióỳu
caỷnh song song vồùi truỷc x ;
-Hỗnh chióỳu caỷnh cuớa õổồỡng thúng chióỳu caỷnh suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õióứm.
* ổồ
ỡng thúng chióỳu caỷnh vổỡa laỡ õổồỡng bũng vổỡa laỡ õổồỡng
mỷt, nón coù moỹi tờnh chỏỳt cuớa hai loaỷi õổồỡng noùi trón. A
1

E
2
F
2
E
3
F
1
F
3
A
y
z

y

y'
O

p
2
p
1
p
3

11

Nhỏỷn xeùt:- Hỗnh chióỳu bũng cuaớ vóỳt õổùng thuọỹc truỷc x.
- Hỗnh chióỳu õổùng cuaớ vóỳt õổùng truỡng vồùi chờnh noù.
A
1
B
1
d
1
A
2
x

B
2
d
2
C
1
D
1
e
1
D
1
x

C
1
e
1

x

B
1
B
2
A
2
B
3
A
1
A
3
C
1
z

y

y'

O
x

C
3
C
2


3.6- ặèNG THểNG SONG SONG:
ióửu kióỷn 1: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hai õổồỡng thúng thổồỡng song song laỡ caùc
hỗnh chióỳu cuỡng tón song song nhau. (H-3.15)
ióửu kióỷn 2: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hai õổồỡng thúng caỷnh song song laỡ coù
hai õổồỡng thúng tổỷa trón chuùng cừt nhau hoỷt song song. (H-3.16)
d
2
P
1
P
2
N
1
N
2
N
x
d
1
M
2
M
1
M
d

A
1
A
2

A
2
B
2
I
2
B
1
I
1
d
1
d
2

13
Hỗnh-3.15 Hỗnh-3.16
3.7- ặèNG THểNG CếT NHAU:
*Hai õổồỡng thúng khọng thoớa maợn õióửu kióỷn cừt nhau vaỡ song song thỗ cheùo
nhau. (H-3.18)
3.8-HầNH CHIU GOẽC VUNG:

1
D
1
A
2
C
1
B
2
x

B
1
I
2
I
1
A
1
C
2
D
2
I
1
I
2
b
1
a

dióựn bồới ba õióứm khọng thúng haỡng, bồới mọỹt õióứm vaỡ mọỹt õổồỡng thúng khọng
thuọỹc nhau,bồới hai õổồỡng thúng cừt nhau hay song song nhổ caùc õọử thổùc õổồỹc
cho dổồùi õỏy: (H-4.1)
(A,B,C) (D,d) (axb) (a//b)
Hỗnh-4.1

4.2-VT MT PHểNG :
4.2.1-Vóỳt bũng: Vóỳt bũng mỷt phúng laỡ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng vồùi mỷt
phúng hỗnh chióỳu bũng P1. Vóỳt bũng cuớa mọỹt mỷt phúng thổồỡng õổồỹc kyù
hióỷu laỡ m

. (H-4.2)
Nhỏỷn xeùt: -Hỗnh chióỳu õổùng cuaớ vóỳt bũng truỡng vồùi truỷc chióỳu m
2



x .
- Hỗnh chióỳu bũng cuaớ vóỳt bũng truỡng vồùi chờnh noù m
1


2
b
1
I
1
I
2
b
1
d
1
b
2
d
2
x

A
1
A
B
2
B
1
C
1
C
2
D
1

mọỹt õổồỡng thúng.
Hỗnh-4.3: Hỗnh chióỳu bũng cuớa moỹi õióứm thuọỹc mỷt phúng chióỳu bũ
ng
õóửu thuọỹc õổồỡng thúng
1
. Dóự daỡng thỏỳy rũng vóỳt bũng laỡ m
1
vaỡ vóỳt
õổùng n

x.
4.3.2-Mỷt phúng chióỳu õổùng: Laỡ mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh
chióỳu õổùng P2.
Nhỏỷn xeùt: Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mỷt phúng chióỳu õổùng suy bióỳn thaỡnh
mọỹt õổồỡng thúng.
Hỗnh-4.4: Hỗnh chióỳu õổùng cuớa moỹi õióứm thuọỹc mỷt phúng chióỳu õổùng
õóửu thuọỹc õổồỡng thúng
2
. Dóự daỡng thỏỳy rũng vóỳt bũng laỡ n
2
vaỡ vóỳt bũng
m

x.

n
1


m
2


x

m
1


m


n
2


n
16
3.3.3-Mỷt phúng chióỳu caỷnh: Laỡ mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng hỗnh
chióỳu caỷnh P3.
Nhỏỷn xeùt: -Vóỳt bũng vaỡ vóỳt õổùng cuớa mỷt phúng chióỳu caỷnh thỗ song
song truỷc x.

Hỗnh-4.6: Mỷt phúng bũng õổồỹc bióứu dióựn bũng tam giaùc ABC.

2
// x ; A
1
B
1
C
1
= ABC
4.3.5-Mỷt phúng mỷt: Laỡ mỷt phúng song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu
õổùng P
2
.
Nhỏỷn xeùt:-Hỗnh chióỳu bũng cuớa mỷt phúng mỷt suy bióỳn thaỡnh mọỹt
õổồỡng thúng song song vồùi truỷc x .
-Hỗnh chióỳu õổùng cuớa mọỹt mióỳng phúng thuọỹc mỷt phúng
mỷt thỗ bũng chờnh noù.
D
1
D
2
E
2
E
1
x

F
2

A
2
B
2
B
1
x

C
2
C
1

1
m


n
17
Hỗnh-4.7: Mỷt phúng mỷt õổồỹc bióứu dióựn bũng tam giaùc DEF.

1
// x ; D
2
E
2
F
Hỗnh-4.6 Hỗnh-4.7 Hỗnh-4.8

4.3.6-Mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 1 vaỡ 2 :
Hỗnh-4.9 bióứu dióựn õọử thổùc cuớa mọỹt mỷt phúng (m

,n

), chổùa õổồỡng
caỷnh AB vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 1 .Do õoù vuọng goùc vồùi mỷt
phúng phỏn giaùc 1.
Nhỏỷn xeùt: Mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 1 coù hai vóỳt
õọỳi xổùng nhau qua truỷc x.
Hỗnh-4.10 bióứu dióựn õọử thổùc cuớa mọỹt mỷt phúng (m

,n

), chổùa õổồỡng
caỷnh CD vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 2 .Do õoù vuọng goùc vồùi mỷt
phúng phỏn giaùc 2.
Nhỏỷn xeùt: Mỷt phúng vuọng goùc vồùi mỷt phúng phỏn giaùc 2 coù hai vóỳt
truỡng nhau qua truỷc x. C
1
A
1
A

3
K
1
K
3
A
y
z

y

y'
O


2

1
x

J
3
J
2
J
1

1

2

Vê dủ 2: Cho màût phàóng xạc âënh båíi hai âỉåìng thàóng c,d. Hy v âiãøm
K thüc màût phàóng âọ, biãút K
2
.
Hçnh-4.12 : Ta v âỉåìng thàóng g báút k trãn màût phàóng â cho v thüc
K ( theo 2): Hçnh chiãúu g
2
thüc K
2
. Tỉì âọ v âỉåüc g
1
nhỉ vê dủ 1 v suy ra
K
1
∈ g
1
.
n
α

x
m
α

A
2
≡B Hỗnh-4.11 Hỗnh-4.12

4.5-CAẽC ặèNG THểNG C BIT CUA MT PHểNG:
4.5.1-ổồỡng bũng : Laỡ õổồỡng thúng thuọỹc mỷt phúng õọửng thồỡi song song vồùi
mỷt phúng hỗnh chióỳu bũng P
1
.
Hỗnh-4.13a,b bióứu dióựn mọỹt õổồỡng bũng h cuớa mỷt phúng (a,b) vaỡ mỷt
phúng . Ta veợ h
2
song song x , suy ra h
1
nhồỡ baỡi toaùn cồ baớn õổồỡng thúng
thuọỹc mỷt phúng.

Hỗnh-4.13a Hỗnh-4.13b


c
1
c
2
x

d
2
d
1
C
2
D
2
K
2
C
1
K
1
D
1
g
1
g
2
I
1
I
2

1
h
2
h
1
m
20
Hỗnh-4.14a,b bióứu dióựn mọỹt õổồỡng mỷt f cuớa mỷt phúng (c,d) vaỡ mỷt
phúng . Ta veợ f
1
song song x ,suy ra f
2
nhồỡ baỡi toaùn cồ baớn õổồỡng thúng thuọỹc
mỷt phúng.

Hỗnh-4.14a Hỗnh-4.14b

4.5.3-ổồỡng dọỳc nhỏỳt õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu bũng : Laỡ õổồỡng thúng

d
2
c
2
x

C
2
D
2
D
1
C
1
f
2
f
1
n


x

M
2
M
1
f
2
f

x

n


N
2
N
1
d
2
d
1
m


M
2
M
1

21
4.5.4-ổồỡng dọỳc nhỏỳt õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng : Laỡ õổồỡng thúng
thuọỹc mỷt phúng vaỡ coù goùc lồùn nhỏỳt so vồùi goùc cuớa caùc õổồỡng thúng khaùc thuọỹc
mỷt phúng õọỳi vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu õổùng.
ổồỡng dọỳc nhỏỳt nỏửy vuọng goùc vồùi õổồỡng mỷt cuớa mỷt phúng nón goùc
vuọng cuớa chuùng õổồỹc baớo tọửn ồớ hỗnh chióỳu õổùng.
Hỗnh-4.16a,b bióứu dióựn õổồỡng dọỳc nhỏỳt d' cuớa mỷt phúng (c,d) vaỡ mỷt
phúng (m


//n

, õọửng thồỡi m
phaới õi qua vóỳt bũng cuớa õổồỡng mỷt f cuớa mỷt phúng .

x

n


N
2
N
1
d'
2
d'
1
m


M
2
M
1
d'
1
Hỗnh-4.17a Hỗnh-4.17b

4.7- ặèNG THểNG VAè MT PHểNG SONG SONG:
-Trong hỗnh hoỹc khọng gian ta coù õởnh lyù sau:
ởnh lyù: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ mọỹt õổồỡng thúng song song vồùi mọỹt
mỷt phúng laỡ õổồỡng thúng õoù song song vồùi mọỹt õổồỡng thúng cuớa mỷt phúng.
Vờ duỷ: Qua õióứm A veợ õổồỡng
thúng d song song vồùi mỷt phúng
(a,b), õaợ bióỳt d
2
. (H-4.18)
Giaới: Trong mỷt phúng (a,b)
veợ mọỹt õổồỡng thúng c sao cho c
2

song song d
2
. Aùp duỷng baỡi toùan cồ
baớn õổồỡng thúng c thuọỹc mỷt phúng
(a,b) , coù c
1.
Tổỡ õoù veợ d
1
A
1

A
2
A
1
d
1
c
2
c
1
b
1
c
1
b
2
c
2
x

d
1
d
2
a
1
a
2
A
2