Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”

A- ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Trong chương trình phổ thông, môn toán là môn chiếm nhiều thời gian về
số tiết dạy trên lớp. Được đưa ngay vào năm đầu tiên của cấp tiểu học,
nhưng đến năm cấp THCS mới đưa phần hình học vào chương trình. “
Hình học” có nghĩa là “ đạc điền”, “ đo đạc”, nhưng không phải người
học sinh nào cũng hiểu được như vậy. Giải được một bài toán hình học là
rất khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học
sinh muốn học tốt môn hình học thì ngoài kiến thức sẵn có và ý thức học
tập tốt cần phải xác định đúng đắn động cơ và phương pháp học tập tốt,
đắc biệt là kích thích được sự “ hứng thú” học bộ môn này.
2. CƠ SỞ THỰC TẾ.
Thực tế tháy rằng hầu như học sinh nào cũng trả lời rằng thích học đại số
hơn hình học, có em còn cho rằng rất ngại học môn này và còn cho rằng
rất không thích học.
Qua thực tế đó để kích thích sự hứng thú học bộ môn hình học, từ đó hiểu
sâu hơn bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý Py-ta-
go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi tiếng,
hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một bài toán
hình học, ba là giúp học sinh thấy được sự phong phú của toán học. Từ
đó học sinh sẽ thấy hứng thú học môn hình học nói riêng và học môn toán
nói chung.

N
A
D
E
B
C

XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: S
BCDE
= S
AMPN
+ 4.S
ABC

=> a
2
= ( c – b )
2
+ 4. bc/2
<=> a
2
= c
2
– 2.bc + b
2
+ 2.bc
<=> a
2
= c

2
+ 4. bc/2
<=> b
2
+ 2.bc + c
2
= a
2
+ 2.bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2

Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”

C¸ch 3.
a
b
b
c
H
G
F
E
Q
P
C

– 4.S
ABC
<=> a
2
= ( b + c )
2
– 4.bc/2 (2)
Céng (1) vµ (2) ta ®îc: 2a
2
= ( c – b )
2
+ ( b + c )
2
= 2b
2
+ 2c
2

<=> a
2
= b
2
+ c
2

C¸ch 4.
a
b
c
b


<=> ( b + c)
2
= 2.bc + a
2
<=> b
2
+ 2.bc + c
2
= a
2
+ 2.bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2C¸ch 5.
b
a
a
c
a
a
c
b
b

.2
22
aabccb
 = 2bc + a
2
(2)
Tõ (1) vµ (2) => ( b + c )
2
= 2bc + a
2

<=> b
2
+ c
2
= a
2
Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go

B. Dựng hình-suy luận
Cách 6.
H
C
B

C
B
A

Dựng hình vuông BCDE. Kẻ AH vuông góc với BC, cắt DE tại F.
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có:
c
2
= a.x
b
2
= ( a x ).x
Mặt khác: S
BHFE
= BH.BE = x.a = c
2

S
CDFH
= CH.CD = ( a x ).a = b
2

Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”

=> S
BHFE
+ S
CDFH
= c
2

ABC’
= S
BCC’
= S
BCA’

<=> AB.AC + AB.AC’ = BC.CA’ (*)
Ta cã: AC’ =
AC
AB
2

Vµ

CA’B ~

ABC => CA’.CA = BA.BC
=> CA’ =
CA
BCBA.

Thay vµo (*) ®îc:
AB.AC + AB.
AC
AB
2
= BC.
CA
BCBA.


a-c
a
A
B
E
D
C

Vẽ đờng tròn ( B; a ). Gọi DE là đờng kính qua B.
Ta có : AE = a c ; BD = BC = a; AD = a + c
Tam giác CDE vuông ở C => AC
2
= AD.AE
<=> b
2
= ( a + c ).( a c )
<=> b
2
= a
2
c
2

<=> b
2
+ c
2
= a
2


/AC + AC = DC
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”

<=> AB
2
+ AC
2
= DC.AC = BC
2C¸ch 11.
c
a
b
b
a
c
F
E
D
C
B
A

Dùng tam gi¸c EDF = tam gi¸c ABC ( h×nh vÏ )
Ta cã:

CAF ~


b
2
)
<=> a
2
= c
2
+ b
2C¸ch 12.
c
b
b
a
b
E
D
C
B
A

Trªn BC lÊy D, E sao cho: CD = CE = CA = b
=>

ADE vu«ng ë A ( v× cã AC = DE/2, CD = CE )
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”

Ta cã:


C¸ch 13.
c
b
a
c
b
G
E
F
D
C
B
A

VÏ ®êng trßn (C;b) c¾t BC ë D, E
VÏ ®êng trßn (B;c) c¾t BC ë G, F
Ta cã: BA lµ tiÕp tuyÕn, BDE lµ c¸t tuyÕn víi ®êng trßn (C)
=> BA
2
= BD.BE
<=> c
2
= ( a – b ).( a + b ) = a
2
– b
2

<=> c
2


Gäi (I;r) lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c canh AB, BC,
CA t¹i D, E, F.
DÔ c/m ADIF lµ h×nh vu«ng => AD = AF = r
Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: BD = BE = c – r
CE = CF = b – r
=> BC = a = c – r + b – r = c + b – 2r
=> 2r = b + c – a => r = p – a ( p lµ nöa chu vi tam gi¸c ABC )
=> S
ABC
= p.r = p.(p – a)
MÆt kh¸c: S
ABC
= 1/2.b.c
=> p.(p – a ) = 1/2.bc
<=>
2
2
.
2
bcacbcba






<=> ( b + c )
2
– a


AF

BFA ~

CD2E ( g.g)
=> (*) AFCEDEAB
DE
AF
CE
AB

Ta cã: AF = CF – AC = CB – CA
CE = CA + AE = AC + AF/2 = AC +
2
2
BCACCACB




DE = AB/2 ( t/c ®êng trung b×nh )
Thay vµo (*) ta ®îc:
222
222
).(
2
)(
2
.

b
H
D
L
E
C
B
A

VÏ ®êng trßn ( A; b ) c¾t AB ë D; H, c¾t BC ë E.
KÎ AL

EC
Cã: BD.BH = BE.BC  ( c – b ).(c + b ) = a.( a – 2 CL ) (*)
Mµ AC
2
= CL.CB => CL = AC
2
/BC = b
2
/a. Thay vµo (*) ®îc:
c
2
– b
2
= a.( a – 2.b
2
/a ) = a
2
– 2b

Và S
BKEF
= BK.AE = c.( c b )
Ta có:
0
90

EKAAEKFBAABCFBC

S
BCEF
= S
ABC
+ S
AKE
+ S
BKEF
= b.c + c.( c b ) (1)
Mặt khác: S
BCEF
= S
BCF
+ S
CEF
= a
2
/2 + (c b ).( c + b ) /2 (2)
Từ (1) và (2) => b.c + c.( c b ) = a
2
/2 + (c b ).( c + b ) /2

M
Q
P
M
C
B
A

Dựng các hình vuông ABNP; ACMQ

ABC =

APQ ( c.g.c) => PQ = BC = a
Gọi M là trung điểm BC; MA cắt PQ ở R
Dễ c/m MA

PQ tại R
Do khoảng cách từ M đến AP = AB/2 = c/2
=> S
AMP
= 1/2.c.c/2 = c
2
/4
Mặt khác: S
AMP
= 1/2.AM.PR = PR.a/4
Tơng tự: S
AMQ
= b
2

E
D
C
B
A

Dùng c¸c h×nh vu«ng ABGF, ACDE, BCIJ.
Dùng tam gi¸c vu«ng KIJ = tam gi¸c vu«ng ABC ( h×nh vÏ )
DÔ c/m G, A, D th¼ng hµng vµ GA lµ ph©n gi¸c gãc G
A, O, K th¼ng hµng vµ AK lµ ph©n gi¸c gãc A
C¸c h×nh ABIK, ACJK, BGDC, FGDE cã diÖn tÝch b»ng nhau (1)
Ta cã: S
ABC
= S
KJI
= S
AFE
= S (2)
Tõ (1) vµ (2) => S
ABIK
+ S
ACJK
= S
BGDC
+ S
FGDE

<=> S
BCJI
+ 2.S = S

G

Dùng c¸c h×nh vu«ng ABKH, ACFG, BCKD
=>

CBF =

CKA ( c.g.c)
KÎ AM vu«ng gãc víi BC c¾t DK t¹i L
Ta cã: S
CBF
= 1/2. S
ACFG
( chung c¹nh CF vµ chung ®êng cao)
S
CKA
= 1/2. S
CKLM
( chung c¹nh CK vµ chung ®êng cao )
=> S
CKLM
= S
ACFG
(1)
T¬ng tù: S
ABKH
= S
BDLM
(2)
Tõ (1) vµ (2) => S

khối lớp 7 – 9, các em có thể nghiên cứu và tìm thêm các cách chứng
minh khác.
- Ngoài ra các đồng nghiệp cũng có thể nghiên cứu và bổ sung thêm cho
chuyên đề được hoàn chỉnh hơn.
 Kiến nghị:
- Phòng giáo dục cần thường xuyên tổ chức viết chuyên đề trong toàn
huyện để kích thích phong trào dạy học trong tất cả giáo viên bộ môn.
- Trường sở tại cần tạo điều kiện để giáo viên ai cũng viết chuyên đề, và
cũng cần phải triển khai tất cả các chuyên đề đến học sinh.
www.VNMATH.com

Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”