KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012

7

XÂY DỰNG HÀM DẠNG
CỦA PHẦN TỬ DẦM CHỊU UỐN CÓ NHIỀU VẾT NỨT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA KẾT CẤU HỆ THANH

Trần Văn Liên
1
, Trịnh Anh Hào
2Tóm tắt: Việc đánh giá sự làm việc của kết cấu có vết nứt cũng như việc xác định
vết nứt trong kết cấu là một vấn đề quan trọng, cần thiết, thu hút sự quan tâm của
các nhà nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam. Bài báo trình bày các kết quả
nghiên cứu về việc xác định hàm dạng dao động của phần tử dầm đàn hồi chịu
uố
n có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực kết
hợp với phương pháp ma trận chuyển. Từ đó đã xây dựng thuật toán và chương
trình phân tích sự thay đổi các dạng dao động riêng của kết cấu hệ thanh khi xuất
hiện vết nứt. Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, là cơ sở cho việc xây
dựng một phương pháp hiệu quả để xác
định vết nứt trong các kết cấu hệ thanh
dựa trên phân tích các đặc trưng dao động.
Từ khóa: Vết nứt, độ cứng động lực, tần số dao động riêng, dạng dao động riêng

ThS, Công ty cổ phần đầu tư, tư vấn và thi công xây dựng Việt Nam.
KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 13/8-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
8
ph phn ng [1,2,3,5,6,9,13]. Mt u im ca hng nghiờn cu ny l s tham s cn o
c xỏc nh s lng, v trớ v sõu ca vt nt hay h hng trong cỏc kt cu cú th l ớt
hn s tham s cn xỏc nh nh gii bi toỏn cc tr [2].
Do cỏc phng phỏp gii tớch ch gii hn trong cỏc kt cu dm n gin [1,6,9] v
khụng ỏp d
ng c cho cỏc kt cu h thanh phc tp nh dm liờn tc nhiu nhp hay kt
cu khung, nờn cho n nay vic xỏc nh cỏc c trng ng lc hc ca kt cu ch yu da
vo phng phỏp phn t hu hn v s phỏt trin gn õy ca nú l phng phỏp cng
ng lc:
- Theo phng phỏp phn t hu hn, i v
i cỏc kt cu h thanh cú vt nt, thanh
c chia thnh nhiu phn t thanh nguyờn vn liờn kt vi nhau ti cỏc vt nt. Nhm khc
phc vn ny, Sato H. [12] ó kt hp gia phng phỏp ma trn chuyn v phng phỏp
phn t hu hn. Do phng phỏp phn t hu hn l mt phng phỏp gn ỳng nờn cỏc
c trng ng lc hc xỏc nh theo phng phỏp ny l gn
ỳng, c bit l i vi cỏc tn
s v dng dao ng bc cao [2].
- Theo phng phỏp cng ng lc, i vi cỏc kt cu dng thanh cú vt nt, thanh
cng c chia thnh nhiu phn t thanh nguyờn vn liờn kt vi nhau ti cỏc vt nt [7]. Kt
hp phng phỏp cng ng lc v phng phỏp ma trn chuyn, trong cỏc cụng trỡnh
[2,8], tỏc gi ó xõy dng c mụ hỡnh phn t
thanh thng 3 chiu cú nhiu vt nt chu kộo,
nộn, un, xon theo phng phỏp cng ng lc. Mụ hỡnh ny ó c ng dng xỏc
nh s lng, v trớ v sõu ca thanh cú nhiu vt nt da trờn cỏc tn s riờng o c t

(
)
(
)
(
)()
() () () ()
() () () ()
() () () ()
0 1; 0 0; 0; 0 (2 )
00;01; 0; 0(2)
00;00; 1; 0(2)
0 0; 0 0; 0; 1 (2 )
ww wLwL a
wwwLwLb
ww wLwLc
ww wLwLd

=== =

====

====

====
Nghim ca cỏc bi toỏn biờn ny l cỏc hm
dng N
1
, N
2

L
u
2

KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012

9
() () () ()
2
32
4
32
3
2
32
2
32
1
;23;2;231
L
x
L
x
xN
L
x
L

⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
(3)
Khi cho trước các giá trị ;;;
1234
uu uu tại hai đầu nút phần tử dầm thì chuyển vị ngang
của dầm là:

() () ()
(
)
(
)
44332211
uxNuxNuxNuxNxw
+
+
+= (4)
Trong phương pháp độ cứng động lực, Leung A.Y.T [10] chọn hàm dạng của phần tử
dầm nguyên vẹn chịu uốn là nghiệm phương trình dao động tự do không cản

0

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−+
−−+−
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

4
3
6
2
1
2
3
2
2
2
4
4
3
2
1
2/2/2/2/2/
2/2/2/2/2/1
2/2/2/2/2/
2/2/2/2/2/1
sinhcoshsincos
λλλλλ
λλλλ
λλλλλ
λλλλ
λλλλ
LF F LFL F
F F LF F
LF F LFL F
F F LF F
L

3
6
3
5
2
4
2
3
21
−=
+−=+=
=−−=
−
−
=
−−=
λ
λ
δ
δλλλλλδλλλ
δλλλδλλλ
δ
λ
λ
λ
λ
λ
δ
λ
λ

5
1
4
4
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
+
∂
∂
t
w

Sè 13/8-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
10
0),(
),(
4
4
4
=Φ−
Φ
ωλ
ω
x
dx
xd
(9)
trong đó:
1;1
ˆ
2
24
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= i
i

dùng ký hiệu E như khi không có cản.
Giả sử dầm bị nứt tại các điểm x
j
, j=1,2, ,n trong đó 0
012 1
x
xx xx L
n
n
=
<< << < =
+

với các độ sâu a
j
. Sử dụng mô hình lò xo của vết nứt, ta có mô hình dầm như hình 2 với các
độ cứng lò xo k
z
j
được tính theo công thức quy đổi [1,2]. Như vậy, cùng với phương trình (9) ta
có các quan hệ tương thích tại các vị trí vết nứt x
j(
)
(
)
(
)

′
+
Φ
′
′
=
−
Φ
′′
+Φ=−Φ
αα
(10)

Hình 2. Phần tử dầm có nhiều vết nứt chịu uốn
Ta đưa vào các chuyển vị nút
{
}
4321
uuuuU
=
tại
0
=
x
và
L
x=() ()

{}
()
1n1,2, ,j ; )0();0();0();0(,,,Z
n1, ,,0j ; )0();0();0();0(,,,Z
4,3,2,1,
4,3,2,1,
+=−Φ
′′
−Φ
′′′
−−Φ
′
−Φ==
=+Φ
′′
−+Φ
′′′
+Φ
′
+Φ==
−−−−
−
++++
+
T
jzjzjj
T
jjjj
j
T

−
+
−
+
−
+
−
+
++++
(14)
và các hàm Krylov
k
1

x
1

k
2

x
2

k
n

x
n

Biên

L
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012

11

cosh cos cosh cos sinh sin sinh sin
() ; () ; () ; ()
1324
2222
x
xxxxxxx
Kx Kx K x Kx
+−+−
====
(15)
Nghiệm tổng quát của phương trình (9) trên đoạn j=1,2, ,n+1 với x
∈
(x
j-1
, x
j
) có dạng
14,1
2
3
3,1
3

ZxKx
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(16)
Tại đầu phải
−
j
Z của đoạn thanh j, ta có

+
−
−
=
1j
j
j
ZTZ
với j =1,2, ,n+1 (17)
trong đó ma trận
T
j
được gọi là ma trận chuyển của đoạn dầm nguyên vẹn
⎥
⎥
⎥

3
2
2
314
2
3
3
42
1
1
llll
llll
llll
llll
l
λλλλλλλ
λλλλλλλ
λλλλλλλ
λλλλλλλ
λ
KKKEIKEI
KKKEIKEI
EIKEIKKK
EIKEIKKK
T
zz
zz
zz
zz
j

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1000
0100
010
0001
)(
j
jj
J
α
α
(20)
Từ (19), (17) ta có:

+
−
+
=
1j
jj

trong đó ma trận Q được gọi là ma trận chuyển của dầm có n vết nứt bên trong

112211
TJTJJTJTQ
nnnn −+
= (24)
Ta viết ma trận Q dưới dạng
[
]
[
]
[][]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
43
21
QQ
QQ
Q
với
[] [] [] []
⎟
⎟

⎜
⎝
⎛
=
4443
3433
4
4241
3231
3
2423
1413
2
2221
1211
1
; ; ;
QQ
QQ
Q
QQ
QQ
Q
QQ
QQ
Q
QQ
QQ
Q
(25)

⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

Q
u
u
(26)
Từ đó có thể rút ra quan hệ giữa các lực nút P và chuyển vị nút U của phần tử dầm chịu
uốn có nhiều vết nứt như sau:

[]
{} {}
PUK
e
= (27)
trong đó:

[]
[][]
[
]
[][][][][][]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=

2
dựa vào (27):

()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

)(
21
2
3
11
3
4
1
)1(
1
−=−+= xx; k
EI
xK
k
EI
xK
xKN
zz
λ
λ
λ
λ
λ
(30)
Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N
1
trên đoạn kế tiếp.
Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng

xK

−
+=

trong đó
)(
~
LKK
ii
λ
=
. Khi các hệ số cản 0
21
=
=
μ
μ
, ta nhận lại được hàm dạng N
1
theo (6).
b. Để tìm hàm dạng N
2
, từ điều kiện biên (2b), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào (27):

()
⎟
⎟

0010
k
k
kkkk
kkkk
P
P
T

Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là

{
}
224123210
)0(;)0(;1)0(;0)0( kZkZZZZ =====
+++++
(31)
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012

13
nên hàm dạng N
2
cho đoạn này có dạng:

0
)(
)()(

KKKK
xK
KKK
KKK
xK
N )(
)
~~~
(
~~~~
)(
)
~~~
(
~~~
)(
3
42
2
3
4132
4
42
2
3
31
2
2
2
2

c. Để tìm hàm dạng N
3
, từ điều kiện biên (2c), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào(27)

()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠

cho đoạn này có dạng

0
)(
)(
23
2
3
13
3
4
)1(
3
−=−= xx; k
EI
xK
k
EI
xK
N
zz
λ
λ
λ
λ
(34)
Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N
3
trên đoạn kế tiếp.
Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng

trong đó
()
K
KL
ii
λ
=
%
. Khi các hệ số cản 0
21
=
=
μ
μ
, ta nhận lại được hàm dạng N
3
theo (6).
d. Để tìm hàm dạng N
4
, từ điều kiện biên (2d), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào (27)

()
⎟
⎟
⎠
⎞

k
kkkk
kkkk
P
P
T

Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là

{
}
244143210
)0(;)0(;0)0(;0)0( kZkZZZZ =====
+++++
(35)
nên hàm dạng N
4
cho đoạn này có dạng

0
)(
)(
24
2
3
14
3
4
)1(
4

~~~
(
~
3
42
2
3
4
4
42
2
3
3
4
xK
KKK
K
xK
KKK
K
N
λ
λ
λ
λ
−
−
−
=


ω
= (37)
trong đó các tần số riêng
ω
j
được xác định từ phương trình

0)(
ˆ
det =
ω
K (38)
và các chuyển vị nút U tương ứng với tần số riêng
ω
j
được tìm từ (37). Sau khi xác định được
các chuyển vị nút
4321
;;; uuuu (chính xác đến một hệ số tỷ lệ), ta xác định dạng dao động riêng
của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt dựa vào (4).
5. Phân tích dao động của kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt
5.1 Dầm đơn giản
Xét dầm đơn giản có chiều dài nhịp L = 0.8m, tiết diện chữ nhật b×h = 0.02×0.02m
2
, khối
lượng riêng
ρ
= 7800kg/m
3
, môđun đàn hồi Young E=2.1×10

2
, khối lượng riêng
ρ
=7850kg/m
3
, môđun đàn hồi Young E=2.1×10
11
N/m
2
, hệ
số poisson
ν
=0.3 (hình 4).
Hình 5-7 thể hiện sự
thay đổi ba dạng dao động
riêng đầu tiên do sự thay đổi
vị trí vết nứt trên các nhịp
khác nhau của dầm liên tục có
Hình 3: So sánh sự thay đổi 2 dạng riêng đầu tiên
a) b)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10

Mode 1 - Analytic
mode 1 -DSM
Hình 4. Dầm liên tục nhiều nhịp
b
h
L
1
=0.8m
L
2
=1.1m
L
3
=0.6m
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012

15
1 vết nứt tại các vị trí:
- 0.2m (hình 5a, 6a, 7a), 0.4m (hình 5b, 6b, 7b), 0.6m (hình 5c, 6c, 7c) từ đầu nhịp thứ nhất; Hình 5. Sự thay đổi dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục có 1 vết nứt

a) b) c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes: 1
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1

Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
d) e)
f)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Comparision of the eigenmodes: 1
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
g)
h)
i)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2

20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
d) e)
f)
a) b) c)

1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2


10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5

đầu tiên của dầm liên tục khi số lượng vết nứt trên dầm liên tục tăng dần từ 1 đến 6 với khoảng
cách đều nhau 0.15m tại nhịp th
ứ hai và cùng độ sâu 30%.

Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%

-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0

20%
30%
40%
50%
60%
Hình 8. Sự thay đổi 3 dạng dao động riêng đầu tiên khi số lượng vết nứt tăng lên từ 1-6
a) b) c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude1 Crack
2 Cracks
3 Cracks
4 Cracks
5 Cracks
6 Cracks
0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.6
0.8
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude1 Crack
2 Cracks
3 Cracks
4 Cracks
5 Cracks
6 Cracks
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012

17
gọi là các điểm bất biến của dạng dao động riêng để phân biệt với các điểm nút của dạng dao
động riêng, tại đó dạng dao động riêng bằng 0.
6. Kết luận
Trong bài báo này, các tác giả đã trình bày các kết quả nghiên cứu về việc xác định hàm
dạng dao động của phần tử dầm đàn hồi chịu uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng
phương pháp độ cứ
ng động lực kết hợp với phương pháp ma trận chuyển. Trên cơ sở đó, các
tác giả đã xây dựng một chương trình phân tích sự thay đổi của các dạng dao động riêng cho
kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực trên nền MatLab. Độ
chính xác và tin cậy của kết quả nghiên cứu được thể hiện qua ví dụ so sánh các dạng dao
động riêng của dầm công xôn có vết nứ

12. Sato H. (1983), “Free vibration of beams with abrupt changes of cross-section”, Journal of
Sound and Vibration, 89,, 59-64.
13. Shrifin E.I. and Ruotolo R. (1999) “Natural frequencies of a beam with an arbitrary number
of cracks”, Journal of Sound and Vibration, 222(3), 409-423.