TIỂU LUẬN
Hình học giải tích Lời nói đầu:
Cuốn tiểu luận này được soạn theo chương trình hình học giải tích của trường Đại
họ
c Sư phạm TP.HCM dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Nó có thể
dù
ng làm tài liệu học tập và tham khảo cho các sinh viên. Tiểu luận được chia làm 3
ph
ần:
-
Không gian vectơ.
- Đường bậc hai.
- M
ặt bậc hai.
V
ới nhiều bài tập về các dạng toán hình học giải tích là một công cụ hữu hiệu
củng cố lại kiến thức cho người đọc. Từ đó, là nền tảng để cho người đọc nâng cao và
Phép quay………………………………………………………………………………….…… 9
2.2. Kết luận……………………………………………………………………………….…… 9
Vấn đề 3: Phân loại đường bậc hai, các dạng phương trình chính tắc……………………… .10
Vấn đề 4: Sự tương giao của một đường thẳng và đường bậc hai……………………………. .21
Vấn đề 5: Tâm, cách xác định tâm của đường bậc hai.
Phương tiệm cận, đường tiệm cận, cách xác định đường tiệm cận…………………….…….…23
Tâm………………………………………………………………………………………… ….23
Phương tiệm cận, đường tiệm cận……………………………………………………………. 25
Vấn đề 6: Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai………………………………………….26
Vấn đề 7: Đường kính liên hợp và cách xác định đường kính liên hợp
của đường cong bậc hai…………………………………………………………………… ….29
Vấn đề 8: Viết phương trình đường cong bậc hai với những điều kiện cho trước…………… 30
Vấn đề 9: Bài tập tổng hợp……………………………………………………………………. 34
Chủ đề 3: Mặt bậc hai………………………….…………………………………… ………42
Vấn đề 1: Định nghĩa mặt bậc hai và lý thuyết mặt bậc hai……………………………. .…… 42
1. Định nghĩa……………………………………………………………………………… … 42
2. Tâm của mặt bậc hai……………………………………………………………………. .… 42
3. Phương tiệm cận………………………………………………………………………. …….42
4. Mặt phẳng tiếp xúc………………………………………………………………………. ….42
5. Phương trình đường kính liên hợp với một phương………………………………………. 42
Vấn đề 2: Các vấn đề liên quan đến những mặt bậc hai đặc biệt………………………… … 43
1. Phương trình các mặt sau nhận O làm tâm đối xứng……………………………………. ….43
2. Một số mặt thường gặp…………………………………………………………………… 44
a. Elipxôlit:……………………………………………………………………………… …….44
b. Mặt hypebololit 1 tầng và mặt parabolôit hyperbolic (mặt yên ngựa)………………… … 44
3. Ví dụ và bài tập…………………………………………………………………………… 46
Vấn đề 3: Tìm giao tuyến của hai mặt bậc hai………………………………………………. 47
Vấn đề 4: Giao tuyến của một mặt bậc hai với 1 mặt phẳng………………………………… 49
Vấn đề 5: Lập phương trình mặt bậc hai với các điều kiện cho trước…………………… … 51
Vấn đề 6: Bài tập về đường sinh thẳng của đường bậc hai……………………………… ……52
;
0 0 ; 0
a b b a a b c a b c
a a a a a
5. Trừ vectơ:
OB OA AB
6. Tích một số thực với một vectơ:
b ka b k a
và
,
a b
cùng hướng nếu
0
k
,
a b
ngược hướng nếu
0
, ,
a b c
đồng phẳng , :
m n R c ma nb
9. Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:
Với
, ,
a b c
không đồng phẳng và vectơ
e
,có duy nhất 3 số thực x
1
, x
2
, x
3
:
2
1 2 3
e x a x b x c
10. Định lý : với M là trung điểm AB và G là trọng tâm của
ABC
(1;0), (0;1)
i j
là các vec tơ đơn
vị trên các trục. Ta có:
1
i j
và
. 0.
i j
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 2
2. Tọa độ của vectơ:
( ; ) . .
u x y u x i y j
3. Tọa độ của điểm:
( ; ) ( ; ).
OM x y M x y
Trong đó x là hoành độ, y là tung độ của M.
4. Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy, cho
( ; ), ( ; )
1 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1) .
2) cos( ; ) .
.
3) 0.
a a a
a b a b
a b
a a b b
a b a b a b
1 1 2 2
) , .
d a b a b a b
B A B A
AB x x y y
g) Khoảng cách:
2 2
( ) ( ) .
B A B A
AB AB x x y y
h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k khác 1)
.
MA k MB
. Khi đó, tọa độ của M tính bởi:
. .
,
A B A B
M M
x k x y k y
x y
l k l k
● M là trung điểm của AB, ta có:
, .
2 2
A B A B
c). Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (giao của các trung trực) :
I(a ; b) là tâm của
ABC AI BI CI R
(R là bán kính của
ABC
). Giải hệ
2 2 2 2
AI BI BI CI
suy ra tọa độ tâm I.
d). Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ( giao của các đường phân giác trong của các góc của tam
giác).
Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm
chia đoạn theo tỉ số k :
Vì
1
DB AB
k
AC
DC
2 2
a b c
S a h bh c h
S ab C ac B bc A
abc
S pr p p a p b p c
R
S AB AC AB AC AB AC
Trong đó:
1 2
1 2 2 1
1 2
det( , )
a a
AB AC a b a b
b b
với
1 2 1 2
( ; ), ( ; ).
AB a a AC b b
Một đường thẳng d hoàn toàn được xác định khi biết
0
M d
và một vectơ chỉ phương
u
hoặc
một vectơ pháp tuyến
n
của d.
2). Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a). Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng
2 2
0, 0.
Ax By C A B
Chú ý: d có vtpt
( ; ), ( ; ) ( ; ).
n A B vtcp u B A u B A
b). Hệ quả: Phương trình đường thẳng d qua
0 0 0
( ; )
M x y
và có vtpt
b). Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Phưowng trình chính tắc của đường thẳng d qua
0 0 0
( ; )
M x y
và có vtcp
( ; )
u a b
là:
2 2
0 0
, 0.
x x y y
a b
a b
IV). VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM ĐƯỜNG THẲNG.
1). Vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
Cho 2 đường thẳng
2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
B C B C C A C A d d
2). Chùm đường thẳng :
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 4
Hai hay nhi
ều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I.
Nếu
1 1 1 1 2 2 2 2
: 0, : 0
d A x B y C d A x B y C
cắt nhau tại I
1 2 2 1
( )
A B A B
thì phương trình của
chùm đường thẳng tâm I là:
2 2
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) 0, 0.
m A x B y C n A x B y C m n
V). GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT
ĐƯỜNG THẲNG.
1). Góc giữa 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng
1 1 1 1 2 2 2 2
: 0, : 0
d A x B y C d A x B y C
( ; )
M x y
đến
: 0
d Ax By C
là:
0 0
2 2
2 2
( , ) , 0.
Ax By C
d M d A B
A B
b). Hệ quả: Nếu
1 1 1 1 2 2 2 2
: 0, : 0
d A x B y C d A x B y C
cắt nhau tại I
1 2 2 1
( )
A B A B
thì
phương trình các phân giác tạo bởi d
1
và d
( ; ; ) ( ; ; )
M x y z OM x y z
x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ của
M
hay
OM
● Các kết quả: trong hệ Oxyz cho
; ;
A A A
A x y z
và
; ;
B B B
B x y z
và
1 1 1
; ;
a x y z
và
Hệ quả:
●
2 2 2
1 1 1
a x y z
●
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
cos ;
x x y y z z
a b
x y z x y z
●
1 2 1 2 1 2
. . . 0
a b x x y y z z
●
1 2 1 2 1 2
B A B A B A
AB x x y y z z
●Điểm M chia AB theo tỉ số k (k≠1)
1
OA kOB
MA kMB OM
k
(k≠1). Khi đó tọa độ của
M là:
1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
M
x x
x
y y
y
z z
z
VII). TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG:
Tích có hướng của hai vectơ:
■ Định nghĩa: Cho
1 1 1
; ;
a x y z
, 0
a b
● ,
a b a
và ,
a b b
●
, . .sin ,
a b a b a b
●Diện tích tam giác:
1
,
a b c
đồng phẳng
, . 0
a b c
A, B, C, D đồng phẳng
, . 0
AB AC AD
.
VIII). KHOẢNG CÁCH
1). Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm
0 0 0
; ;
M x y z
đến mp
: 0
Ax By Cz D
d M
u
3). Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
1
qua M
1
và có VTCP
u
và
2
đi qua M
2
và có VTCP
v
, Khoảng cách giữa
1
có VTCP
1 1 1
; ;
u a b c
và
2
có VTCP
2 2 2
; ;
v a b c
.gọi là góc giữa
1
và
có VTCP
; ;
u a b c
và mp
có
VTPT
; ;
n A B C
nếu
là góc giữa
và
hoặc
0
Aa Bb Cc
3). Góc giữa hai mặt phẳng:cho mp
1
có VTPT
1 1 1 1
; ;
n A B C
và mp
2
có VTPT
2 2 2 2
; ;
Đặc biệt:
1 2 1 2 1 2 1 2
0
A A B B C C
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 7
Chủ đề 2: ĐƯỜNG BẬC 2.
Vấn đề 1: Định nghĩa đường bậc 2.
1.1. Cho hàm số
2 2
( ; ) x 2 2 2 0
F x y A Bxy Cy Dx Ey F
. Với
( ; ; ) (0;0;0).
A B C
1.2. Trong (Oxy), tập hợp các điểm M(x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình F(x;y)=0. Khi đó ta nói
O’(x
0
;y
0
)
1 1 2
2 1 2
( ; )
( ; )
e a a
e b b
M(x’;y’)
●Lưu ý: (x
0
; y
0
) là tọa độ điểm O’ trong mục tiêu 1, tương tự, tọa độ
1 1 2 2 1 2
( ; ), ( ; )
e a a e b b
là tọa
' ( '; ')
O M x y
, (O’(0;0)).
Do đó:
1 2
' '
O M x e y e
.
+ Ta có:
' '
OM OO O M
0 1 0 2 1 2
' '
x e y e x e y e
0 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 2
'( ) '( )
x e y e x a e a e y be b e
0 1 1 1 0 2 2 2
( ' ') ( ' ')
x a x b y e y a x b y e
M(x;y;z)
O’(x
0
;y
0;
z
0
)
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
( ; ; )
e a a a
e b b b
e c c c
M(x’;y’;z’)
Ta có:
1 1 1 2 2 3 3
0 1 0 2 0 3 1 2 3
' ' '
x e y e z e x e y e z e
0 1 0 2 0 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
'( ) '( ) '( )
x e y e z e x a e a e a e y b e b e b e z c e c e c e
0 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 3 3 3 3
( ' ' ') ( ' ' ') ( ' ' ')
x a x b y c z e y a x b y c z e z a x b y c z e
(2)
Từ (1) và (2) ta được:
0 1 1 1
0 2 2 2
0 3 3 3
' ' '
' ' '( )
' ' '
x x a x b y c z
y y a x b y c z II
z z a x b y c z
2
= 0, b
1
= 0).
Ví dụ: Cho (C): ax
2
+ 2bxy + cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0. (*)
Bằng cách dời trục gốc O đến một điểm I thích hợp bằng phép tịnh tiến, hãy đưa phương
trình về dạng không có số hạng x, y.
Cần giải quyết:
- Tìm I để đưa phương trình sau khi tịnh tiến không còn x, y.
- Viết phương trình mới sau khi tịnh tiến.
Giải:
'
0 0
'( ; )
( ) ( ' ' ').
OO
T
O x y
Oxy O x y
Suy ra:
0
0
'
'
x x x
0
+2by
0
+2d)x’+(2bx
0
+2cy
0
+2e)y’+ax
0
2
+2bx
0
y
0
+cy
0
2
+2dx
0
+2ey
0
+f=0. (2).
Để phương trình (*) tịnh tiến không chứa số hạng x, y thì:
0 0
0 0
2 2 0
(3)
2 2 0
ax by d
bx cy e
.
Tổng quát:
Cho (C) có phương trình F(x; y)=0. Tìm điểm I sao cho khi tịnh tiến (C) tới điểm I thì ta
được phương trình (C) mới không chứa số hạng x, y. Và viết phương trình (C) mới sau khi tịnh tiến.
Cách làm:
+ Ta giải hệ:
0 0
0 0
( ; ) 0
( ; ) 0
x
y
F x y
F x y
3
( ; ).
1
3 3
5 8 1 0
3
x
y
x
F x y
I
F x y
y
Và phương trình (C ) sau khi tịnh tiến tới I là:
2 2
e
e
e
e
1
2
(cos ;sin )
( sin ;cos )
e
e
Áp dụng công thức (I), ta có:
'cos 'sin
'sin 'cos
x x y
y x y
Oxy Ox y
.
Ta có:
'cos 'sin
'sin 'cos
x x y
y x y
(2).
Thay (2) vào (1), ta được:
a(
'cos 'sin
x y
)
2
+ 2b(
'cos 'sin
x y
Để phương trình sau khi quay không chứa x’y’ thì
2 2
(2 2 )sin cos 2 (cos sin ) 0 ( )sin 2 2 cos2 cot2
2
a c
c a b a c b
b
(vì
sin 2 0
nếu
sin 2 0
thì
cos2 1
mà khi
sin 2 0
thì
cos2 0
2.2. Kết luận:
- Dùng phép tịnh tiến tịnh tiến (C) đến I thì được phương trình mới không chứa x, y. (1).
- Dùng phép quay một góc
với
cot 2
2
a c
b
ta được phương trình mới không chứa số hạng xy.(2)
Vì vậy khi kết hợp cả 2 phép (1), (2) ta được phương trình (C) mới không chứa x, y, xy.
0
0
Elip (thực, ảo) 2 đường thẳng ảo cắt nhau tại điểm thực.
0
Parabol 2 đường thẳng (thực, ảo) song song nhau.
2 đường thẳng thực trùng nhau.
0
Hypebol 2 đường thẳng rhực cắt nhau.
Ví dụ 1: Xác định các đường bậc 2 sau thuộc loại gì:
2 2
1). 6 6 2 1 0
x xy y x y
2 2
4). 4 4 2 2 1 0
x xy y x y
2 2
2).3 2 3 4 4 4 0
x xy y x y
2 2
. Vậy (C ) là hypebol.
2 2
2).3 2 3 4 4 4 0
x xy y x y
.
2
ac b
=9 > 0,
3 1 2
1 3 2 64 0
2 2 4
. Vậy (C ) là elip.
2 2
3). 4 3 2 2 0
x xy y x y
.
2
ac b
= -1 < 0,
1 2 1
=0.
9 3 3
3 1 1 0
3 1 0
. Vậy (C) là 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
2 2
6).4 4 4 2 1 0
x xy y x y
.
2
ac b
=0.
4 2 2
2 1 1 0
2 1 1
. Vậy (C) là 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
*Dạng 1: Chứng minh (C) là một cặp đường thẳng: ax
2
+ 2bxy + cy
x xy y x y
(2)
Giải:
1). Xem (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y, ta có:
2 2
(1) 2(1 3 ) 9 6 0.
y x y x x
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 12
2 2
3
' (1 3 ) 9 6 1
3 2
y x
x x x
y x
. Đây là cặp đường thẳng song song.
2). Xem (2) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y, ta có:
2 2
(2) 2(1 2 ) 4 4 1 0.
y x y x x
2 2
2 5 7 6 0
x axy y x y
.
Ta có:
5
1
2
2 2 5
7 1
1 0 2 2 7 0
2 8
5 7 12
5 7
6
2 2
a
a
a a
2 2 5
2 2 7 0
5 7 12
a
a
a
thì thỏa mãn ycbt.
*Phương pháp 2: Đưa phương trình (C) tổng quát về dạng chính tắc của nó.
Các dạng chính tắc của đường bậc 2 trong 2 hệ trục:
STT Afin Tên đường Trực chuẩn
1
2 2
1
x y
(E) thực
2 2
2 2
1
x y
a b
2
2 2
1
x y
(E) ảo
2 2
2 2
1
x y
a b
2 2
2 2
0
x y
a b
6
2
2 0
x y
(P)
2
2 0
x pxy
7
2
0
x
2 đường thẳng thực trùng nhau
2
0
x
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 13
8
2
Cách 2: (Dùng trong hệ tọa độ Afin).
Trong hệ tọa độ Afin, ta có thể đem (*) về dạng không chứa số hạng xy bằng phép biến đổi
trục tọa độ.
TH1: Khi a = c = 0.
(*) 2 2 2 0
bxy dx ey f
(1)
Ta đặt:
' '
' '
x x y
y x y
thay vào (1) ta được phương trình mới không chứa số hạng xy.
TH2: Khi
( ; ) (0;0).
a c
0
a
thì
2 2
(*) ( 2 ) 2 2 0
b
Đặt
b
X x y
a
Y y
ta được phương trình mới không chứa số hạng XY.
Bằng cách thực hiện biến đổi hệ trục tọa độ thích hợp ta luôn giả sử rằng phương trình bậc 2
tổng quát có dạng: ax
2
+ cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0. (**)
1.Khi
, 0
a c
.
(**) : ax
2
+ cy
2
+ 2dx + 2ey + f = 0
Đặt
2 2
e d
f k
c a
.
2 2
(2) ' '
ax cy k
(3)
1.1.
0.
k
2 2
' '
(3) 1
x y
Suy ra
2 2
(4) 1.
X Y
(Elip thực).
1.1.2.
0, 0.
k k
a c
2 2
' '
(4) 1
x y
k k
a c
(Lúc này
0, 0.
k k
a c
)
2 2
Suy ra
2 2
(5) 1.
X Y
(Elip ảo).
1.1.3. Trường hợp
0, 0.
k k
a c
2 2
' '
(4) 1
x y
k k
a c
. (Lúc này
0.
k
c
).
Đặt
'
.
'
x
X
(4) 1
x y
k k
a c
. (Lúc này
0
k
a
).
Đặt
'
.
'
x
X
k
a
y
Y
k
c
. Suy ra
2 2 2 2 2
(6) 0 0.
X Y X i Y
(2 đường thẳng ảo cắt nhau).
-Trường hợp a, c < 0.
2 2
(6) ' ' 0.
ax cy
(Lúc này
0, 0.
a c
).
2 2
' ' 0.
ax cy
(7).
Đặt
. '
. '
X a x
Y c y
0.
X Y
(2 đường thẳng thực cắt nhau).
-Trường hợp a< 0, c >0.
2 2
(6) ' ' 0.
ax cy
(Lúc này a> 0).
Đặt
. '
. '
X a x
Y c y
. Suy ra
2 2
0.
X Y
(2 đường thẳng thực cắt nhau).
2. Khi a = 0 hoặc c = 0.
2.1 Gi
'
'
d
x x
a
e
y y
c
. Ta được
2
2
(8) ' 2 ' 0.
d
ax ey f
a
(9)
2.1.1.
0.
e
a a a
. Ta được
2
(10) 2 0.
X Y
(Parabol).
2.1.1. e = 0.
2
2
(9) ' 0.
d
ax f
a
(11)
Đặt
2
.
d
f l
a
l
a
. Ta được
2
(12) 1 0.
X
(2 đường thẳng ảo song song).
2.1.1.3.
0.
l
2
2
'
(11) ' 0 1 0.
x
ax l
l
a
(13).
Đặt
'
x
X
l
a
T ST P
2
1 1 1 1
( ); ).
S A C A C P AC AC B
Rồi từ (*) ta đưa về dạng chính tắc của nó.
● Khi (C) là parabol, để đơn giản nó, ta tiến hành các bước sau:
+ Quay 1 góc
để làm mất số hạng xy.
+ Ta thay
'cos 'sin
'sin 'cos
x x y
y x y
vào (C) ban đầu. Khi ấy phương trình (C) trong hệ trục mới:
2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
Ta quay (C ) một góc
sao cho
2
32 7 3 4
cot 2 tan 2 6tan 4(1 tan ).
52 4 3
2
tan 2
2tan 3tan 2 0
1
tan
2
Ta chọn
2 1
tan 2 sin ,cos .
5 5
(1).
Thay (1) vào (C ) ta được:
2 2
32 52 7
( ' 2 ') ( ' 2 ')( 2 ' ') ( 2 ' ') 180 0
5 5 5
x y x y x y x y
2 2
100 ' 225 ' 900 0.
x y
2
' '
1
9 4
x y
(Hypebol).
Cách 2: Kiểm tra được (C ) có dạng là hypebol nên phương trình sau khi rút gọn là
2 2
1 1
' ' 0.
A x C y
32 26 0
26 7 0 162000.
25 900 0
20 20
C A
X X
A C
Chọn
1 1
20, 45.
A C
Suy ra (C ):
2
2 2
' '
20 ' 45 ' 180 0 1.
9 4
x y
x y
(Hypebol).
Vẽ hình:
2 2
).5 6 5 32 0.
b x xy y
x y
x y
(elip).
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 18
Cách 2:
16 0.
5 3 0
3 5 0 512 0.
0 0 32
Suy ra (**) là elip.
Ta có:
2
1 1 1 1
10; 16.
A C A C AC ac b
Suy ra
1 1
,
A C
là nghiệm của phương trình:
1 1
2
1 1
(***)
3
cot
4
2 2
4
tan 2 6tan 4(1 tan ) 2tan 3tan 2 0
3
1 1
tan 2 sin ;cos .
5 5
Chọn trục mới sao cho Ox sao cho
1 1
sin ;cos .
5 5
1
( ' 2 ')
5
1
(2 ' ')
5
(1)
2 2
2).9 12 4 24 16 3 0.
x xy y x y
(2)
2 2
3).16 24 9 160 120 425 0.
x xy y x y
(3)
Giải:
1).
' '.
O
Q
Oxy Ox y
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 19
2
3
tan
7 24
4
cot 2 tan2 7.2tan 24(1 tan )
4
24 7
tan
1
(4 ' 3 ')
5
1
(3 ' 4 ')
5
x x y
y x y
(*)
Thay (*) vào (1), ta có:
2 2
625 ' 1250 ' 2500 ' 1250 0 ' 2 ' 4 ' 2 0
y x y y x y
2 2
' 4 ' 4 2 2 ' 4 6 2 ' ( ' 2) 2(3 ')
y y x x y x
(2)
Đặt
' 3
2
Chọn
2
tan
3
2 3
sin ;cos
13 13
Chọn
2 3
sin ;cos
13 13
.
Suy ra
1
Đặt
13 ' 4
'
X x
Y y
2
13 0
X
(2 đường thẳng thực song song).
Cách 2:
2 2
9 12 4 24 16 3 0
x xy y x y
2 2
(3 2 ) 8(3 2 ) 16 13 0 (3 2 4) 13 0.
x y x y x y
Đặt
3 2 4
X x y
Y y
suy ra
2
2 0
X Y
(Parabol).
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ afin. Hãy xác định phương trình chính tắc và tên các đường
bậc 2 sau:
2 2
).5 4 8 32 56 80 0
a x xy y x y
2 2
). 5 4 2 2 0
d x xy y x y
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 20
2 2
).5 12 22 12 19 0
b x xy y xy
2 2
).4 12 9 2 3 2 0
5
14
10
5
X x y
Y y
suy ra
2 2
2 2
5 20 0 1
4 20
X Y
X Y
Đặt
'
2
'
2 5
X
X
5 5
x y y y
2 2
6 146 12.5
5( ) ( ) 19 0
5 5 146
x y y y
2 2
2 2
2 2
6 146 2.15 15 15
5( ) ( ) 19 0
5 5 73 73 73
x y y y
2 2
2
6 146 15 101476
5( ) ( ) 0
5 5 73 73
x y y
Đặt
6
5( )
5
146 15
( )
101476
73
'
101476
X
X
Y
Y
suy ra
2 2
' ' 1
X Y
(Hypebol).
2 2
). 4 4 4 3 7 0
c x xy y x y
Đặt
2
3 7
4 2
X x y
Y x y
suy ra X.Y=0 (2 đường thẳng thực cắt nhau).
2 2
).4 12 9 2 3 2 0
e x xy y x y
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 21
2 2
1 1 9
(2 3 ) (2 3 ) 2 0 (2 3 ) 2. (2 3 ) 0
2 4 4
x y x y x y x y
2 2
1 9 4 1
(2 3 ) 0 (2 3 ) 1
2 4 9 2
x y x y
Đặt
2 1
(2 3 )
Giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ:
2 2
0
0
2 2 2 0
( ) :
ax bxy cy dx ey f
I x x t
y y t
2 2
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0
I a x t b x t y t c y t d x t e y t f
2
0.
Pt Qt R
Biện luận:
1 2 1 2
2
1 2 1 2
1 2
1
0: ( ) { ; },( )
0 4 0: ( ) { ; },( )
0: ( ) { ; }.
0 ( )
0
0 0
0 ( )
0 ( )
d C M M M M
P Q PR d C M M M M
d C M M
P
R d C
Q
P Qt R
R d C
Q d C M
P d C M M
là 2 điểm ảo liên hợp.
Ví dụ 1: Tìm giao của đường thẳng và các đường cong sau:
2
).( ): 4 4 4 0
a C x xy x y
và Ox, Oy.
2
).( ): 2 4 6 3 0
b C x xy x y
và
: 3 0.
d x y
Giải: a).
2 2
2
4 4 4 0 4 4 0
( ):
0
0 0
x
x xy x y x x
Ox C
y
y y
Vậy
2
( ) (0;4).
Oy C M
b).
Tiểu luận Hình Học Giải Tích
Trang 22
2 2
2 2
2 4 6 3 0 2 4 6 3 0
( ):
3 0 3
1
(3 ) 2.3 4.3 6 3 0
6
1
3
2
x xy x y x xy x y
d C
x y x y
y
y y y y
x y
x
tại 1 điểm duy nhất.
b). Viết phương trình đường thẳng qua (2; 0) cắt
2 2
( ):3 7 2 6 4 5 0
C x xy y x y
tại 1 điểm
duy nhất. Tính góc giữa 2 đường thẳng đó.
c). Tìm m để
2 2
( ): 2 5 9 0
C x mxy y x
cắt
:2 7 0
d x y
tại 1 điểm duy nhất.
Giải:
a). d qua O có dạng
x t
y t
2 2
Chọn
1
2
1
1
3
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn ycbt:
1
1
3
2
x t
x t
y t
y t
(2;0) 19.
R F
Để d cắt (C) tại 1 điểm duy nhất
2 2 2
(3 7 2 ) (18 18 ) 19 0
t t
có nghiệm duy
nhất
2 2
3 7 2 0
18 18 0
Chọn
3
1
1
2
Copyright: Tài liệu đại học ©