TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
TIỂU LUẬN MÔN
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh
Lớp: TOÁN !B
Nhóm thực hiện: + Nguyễn Thị Thắm
+ Nguyễn Ngọc Đan
+ Lưu Huỳnh Đức
+ Vũ Đông Quân
+ Nguyễn Mi Sa
+ Lê Ngô Yến Phương
+ Dương Hồ Kim Trâm
+ Nguyễn Xuân Quang
1
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU..............................................................................................................................4
Chương 1:......................................................................................................................................5
NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ.........................................................................5
BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ................................................................................7
BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH.......................9
BÀI 4: CHIẾU VECTƠ............................................................................................................11
BÀI 5: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ......................................................................13
BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ......................................................................14
.....................................................................................................................................................16
BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ............................................................................17
BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ..............................................................................................19
Chương 2:....................................................................................................................................25
ĐƯỜNG BẬC HAI.....................................................................................................................25
BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN................26
BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ..................................................................................29

+Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian)
Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ
một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các
chương sau. Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi
đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức.
Chương 2:Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các
khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến,
tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ,
kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và có
phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải.
Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với
nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào
khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc
hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu.
Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá
trình thực hiện tiểu luận này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng
tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc
thông cảm. Mọi thắc mắc và góp ý xin liên hệ email
Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc.
4
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Chương 1:
NHẮC LẠI KIẾN THỨC
VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ
Trong thực tế, các đại lượng ta gặp thường có 2 loại : có hướng và vô hướng
 Những đại lượng như : “khối lượng”, “chiều dài”, “thể tích” là những đại lượng vô
hướng. Xác định chúng chỉ cần “đổ lớn” (ví dụ: khối lượng cuốn tiểu luận là 300g …)
 Những đại lượng như “vận tốc”, “gia tốc”, “lực” là những đại lượng có hướng, chúng
xác định khi biết PHƯƠNG, CHIỂU, và ĐỘ LỚN. Để biểu diễn những đại lượng như
vậy, ta đưa ra khái niệm về Vectơ

Trên hình:
a
r
=
b
r
,
a
r
và
b
r
ngược hướng với
c
r

Ta thấy rằng, các vectơ bằng nhau chỉ khác nhau ở vị trí gốc. Nếu đem chúng lại chung
gốc thì chúng “trùng nhau”. Trong nhiều trường hợp ta chỉ chú đến phương, chiều và môđun
của vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc.
Từ đó đưa đến khái niệm vectơ tự do : là vectơ mà gốc có thể đặt tùy trong không gian
Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên trên đầu để gọi tên cho vectơ tự do
Trên hình:
a
r
=
b
r
,
a
r

BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ
I / Phép cộng trừ Vectơ :
1/ Định nghĩa:
Tổng của 2 vectơ
a
r
và
b
r
là vectơ
c
r
được xác
định như sau:
Buộc vectơ
a
r
ở điểm A,
a
r
=
AB
uuur
. Buộc vectơ
b
r
ở điểm
B,
b
r

đó
c
r
được xác định là vectơ đường chéo hình bình hành
có 2 cạnh là OA, OB , với gốc là O :
c
r
=
OC
uuur
(Quy tắc này
phù hợp với quy tắc tổng hợp 2 lực trong Vật Lí )

2/ Tính Chất :
+ Giao Hoán :
a
r
+
b
r
=
b
r
+
a
r
+ Kết hợp : (
a
r
+

=
a
r
7
O
B
a
b
c
A
CC
+++ +
a
b
c
d
e
e
+++ +
a
b
c
d
e
a
r
-
b
r
=

(-1)
a a= −
r r
(2)
( ) ( )p qa pq a=
r r
(3)
( )p a b pa pb+ = +
r r
r r
(4)
( )p q a pa qa+ = +
r r r
(5)
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
+ Cộng với phần tử đối. Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : là 2 vectơ cùng
phương, ngược chiều, môđun bằng nhau. Ví dụ:
AB
uuur
và
BA
uuur
đối nhau. Ta ghi :
AB
uuur
= -
BA
uuur
.
Ta có tính chất :

-
b
r
Chú ý :
Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta có thể suy ra
4/ Nhân một vecto với một số:
+ Định nghĩa:
Tích của một vectơ
a
r
với một số
p
là một vectơ kí hiệu
pa
uur
, có môđun bằng
p
.
a
r
,cùng
hướng với
a
nếu
p
>0, ngược hướng với
a
nếu
p
<0

a a a a
r r r r
và n số
1 2 3
, , ,...,
n
k k k k
. Ta gọi vectơ
1 1 2 2 3 3
....
n n
k a k a k a k a+ + +
r r r r

là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ
1 2 3
, , ....,
n
a a a a
r r r r
với các hệ số
1 2 3
, , ,...,
n
k k k k
.
1/ Các vectơ độc lập tuyến tính:
Hệ vectơ
1 2 3
, , ....,

k a k a k a k a+ + + =
r
r r r r
II/ Định lý về điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính:
Các vectơ
1 2 3
, , ....,
n
a a a a
r r r r
(n>1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong
các vectơ ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chứng minh:
+ Điều kiện cần: Giả sử các vectơ
1 2 3
, , ....,
n
a a a a
r r r r
phụ thuộc tuyến tính; ta có
1 1 2 2 3 3
.... 0
n n
k a k a k a k a+ + + =
r
r r r r
trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn
0
i
k ≠

n
a
r
=
1 1 2 2 3 3 1 1
....
n n
l a l a l a l a
− −
+ + +
r r r r
⇔

1 1 2 2 3 3 1 1
....
n n n
l a l a l a l a a
− −
+ + + −
r r r r r
= 0
Vậy tồn tại hệ số thứ n là -1
≠
0. Vậy các vectơ
1 2 3
, , ....,
n
a a a a
r r r r
phụ thuộc tuyến tính.

, ,e e e
r r r
như sau:
!( , , ):x y z∃
1 2 3
a xe ye ze= + +
r r r r
IV/ Các ví dụ:
Vd1: Hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ độc lập tuyến tính. Hai
vectơ cùng phương trong mặt phẳng là 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính.
• Hãy chứng minh ví dụ trên ?
( Hãy áp dụng định lý điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính cho 2 vectơ
1 2
,a a
r r
)
Ta cần chứng minh: Hai vectơ
1 2
,a a
r r
phụ thuộc tuyến tính
⇔
Chúng cùng phương. Thật
vậy.
o Ta chứng minh điều kiện cần:
Giả sử
1 2
,a a
r r
phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có

phụ thuộc tuyến tính.
Vd2: Trong không gian, 3 vectơ bất kỳ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính. 3
vectơ đồng phẳng thì phụ thuộc tuyến tính.
10
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 4: CHIẾU VECTƠ
I/ Định nghĩa:
Trục là một đường thẳng trên đó đã chọn một vectơ đơn vị. Hướng của vectơ là hướng
của trục.
Cho một trục
∆
với vectơ đơn vị
e
r
, một mặt phẳng P không song song với
∆
và một
vectơ
v
r
=
AB
uuur
tùy ý trong không gian. Qua A và B dựng các mặt phẳng
,
A B
P P
song song với P
cắt
∆

∆
=
uuur
Ta còn gọi p là độ dài đại số của A’B’ và ký hiệu k=
' 'A B
.
II/ Các tính chất:
1/ Tính chất 1: Các vectơ bằng nhau thì có chiếu (trên cùng trục với cùng phương) bằng
nhau.
a b pr a pr b
∆ ∆
= ⇒ =
r r
r r
11
P
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
2/ Tính chất 2: Chiếu của các vectơ tổng bằng tổng của các chiếu vectơ.
( )p pr a b pr a pr b
∆ ∆ ∆
= + = +
r r
r r
III/ Định lý:
Chiếu vuông góc của một vectơ (chiếu lên trục
∆
theo phương P
⊥ ∆
) bằng môđun cua
vectơ nhân với cosin góc giữa trục và vectơ.

ϕ
r
r
Chú ý: Tích vô hướng của vectơ là một số chứ không phải là một vectơ.
• Hệ quả: Từ định nghĩa của tích vô hướng ta có ngay:
+ Bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương vô hướng của nó.
+Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r
r r
II/ Tính chất:
1/ Tính chất 1: (Tinh giao hoán)
. .a b b a=
r r
r r
2/ Tính chất 2:
.( . ) ( . ). .( . )p a b p a b a p b= =
r r r
r r r
3/ Tính chất 3: (Tính phân phối)
.( ) . .a b c a b a c+ = +
r r
r r r r r
13
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 6: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I/Định nghĩa:
Tam diện tạo bởi ba vectơ
OA
uuur

1/
c
r
⊥

a
ur
và
c
r
⊥
b
r
;
2/
c
r
=
a
r
b
r
.
sin( )
α
,ở đây
α
là góc giữa hai vectơ a và b.
3/ Tam diện tạo bởi ba vectơ
a

b
r
= -
b
r
∧
a
ur
.
Chứng minh:
Nếu
a
ur
và
b
r
cùng phương thì dựa vào hệ quả 1 ta thấy ngay đẳng thức trên là đúng.
14
O
C
A
B
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Bây giờ giả sử
a
ur
và
b
r
không cùng phương. Môđun của hai vectơ


cùng phương vì cùng vuông góc với vectơ
a
ur
và
b
r
. Cuối cùng, hai vectơ
a
ur
∧
b
r
và
b
r
∧
a
ur

ngược hướng vì các tam diện tạo bởi ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
a
ur
∧

a
ur
và
b
r
cùng phương thì đẳng thức trên rõ
ràng là đúng. Bây giờ giả sử
a
ur
và
b
r
không cùng phương. Gọi
α
là góc giữa hai vectơ
a
ur
và
b
r
. Nếu p>0 thì p
a
ur
cùng phương với
a
ur
. Do dó p
a
ur
∧

∧
b
r
ngược hướng với
a
ur
∧
b
r
,tức là
cùng phương với p
a
ur
∧
b
r
. Mặt khác, góc giữa p
a
ur
và
b
r
là
π α
+
. Ta có
( ) .sin( ) sin( )p a b p a b pa b pa b
α π α
∧ = = + = ∧
uur r r r

Giả sử
v
r
≠
0
r
, Mỗi vectơ
u
r
điều phân tích được thành tổng của hai vectơ
'u
ur
va
"u
uur
. Trong đó
'u
ur
vuông góc với
v
r
còn
"u
uur
cùng phương với
v
r
. Gọi
α
là góc giữa hai vectơ


Các vectơ
'u
ur
va
u
r
,
v
r
đồng phẳng nên
'u v∧
ur r
cùng phương với
u v∧
r r
. Cuối cùng, dễ
thấy rằng hai vectơ ấy cùng hướng.
Bây giờ ta chứng minh
( ) ( ) ( )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
r r r r r r uur

Nếu
0c =
r r
thì đẳng thức rõ ràng đúng, Nếu
0c ≠
r r
thì ta có thể phân tích
a

. Như vậy
( ' ') ( " ")a b a b a b+ = + + +
r r uur ur uur uur
. Theo nhận xét 2 ta chỉ cần chứng minh đẳng thức
( ) ( ) ( )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
r r r r r r uur

Gọi
e
r
là vectơ đơn vị cùng hướng với
c
r
, nghĩa là
e
r
=
1
c
c
r
r
. Nhờ tính chất 2 ta chỉ cần
chứng minh
( ' ') ( ' ) ( ' )a b c a c b c+ ∧ = ∧ + ∧
uur ur r uur r ur uur
= là xong.
Theo nhận xét 1 thì muốn nhân có hướng một vectơ với một vectơ đơn vị vuông góc vói
nó, người ta quay vectơ thú nhất một góc
2

uur ur r uur r ur uur

Tính chất 3 đã được chứng minh.
16
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ
I/Định nghĩa:
Cho ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
. Nhân có hướng hai vectơ
a
ur
,
b
r
ta được vectơ
a
ur
∧
b
r
, rồi nhân
vô hướng vectơ ấy với

r
.
a
ur
∧
b
r
Chú ý: tích hỗn tạp của ba vectơ là một số.
II/ Ý nghĩa hình học của tích hỗn tạp của ba vectơ:
Cho ba vectơ không đồng phẳng
a
ur
,
b
r
,
c
r
. Ta có
( , , )a b c
r r r
=
c
r
(
a
ur
∧
b
r

r r
= S , ở đây S là diện tích đáy hình hộp ấy. Như vậy
( , , )a b c
r r r
=
c
r
.
a
ur
∧
b
r
=
= S.h=V. V là diện tích hình hộp
Nếu các vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
tạo nên một tam diện nghịch thì góc giữa
c
r
và
a
ur

Chú ý: nếu ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
ấy tạo nên một tam diện thuận ( nghịch ) thì ba vectơ
b
r
,
c
r
,
a
ur
và ba vectơ
c
r
,
a
ur
,
b
r
cũng tạo nên một tam diên thuận (nghịch ). Do đó
a
ur

Cần: Cho ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng. nếu
a
ur
và
b
r
cùng phương thì
a
ur
∧
b
r
= 0, do đó
a
ur
∧
b
r
.
c
r

r
⊥

c
r
. Như vậy
a
ur
∧
b
r
.
c
r
= 0
Đủ: Giả sử
( , , )a b c
r r r
= 0. Nếu ba vectơ
a
ur
,
b
r
,
c
r
không đồng phẳng thì theo định lí 7, tích hỗn
tạp
( , , )a b c

I/ Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc:
Để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian người ta
thường dùng hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc.
1)Trong mặt phẳng:
Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc gồm hai đường thẳng vuông góc x’Ox và y’Oy, trên đó
chọn hai vectơ đơn vị
1 2
à e v e
ur uur
. Hai đường thẳng ấy được gọi là hai trục tọa độ.
• x’Ox :là trục hoành.
• y’Oy: là trục tung.
•
1 2
,e e
ur uur
: là các vectơ cơ sở.
• Điểm O là gốc tọa độ.
2)Trong không gian :
Ba đường thẳng x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc vơi nhau từng đôi một trên đó chọn ba
vectơ đơn vị
1 2 3
, ,e e e
ur uur ur
. Ba đường thẳng ấy được gọi là ba trục tọa độ:trục hoành, trục tung và
trục cao.
•
1 2 3
, ,e e e
ur uur ur

trong mặt phẳng Oxy
Nếu ta có hai điểm
1 1 1 2 2 2
( , ) à ( , )A x y v A x y
. Khi đó ta có:

1 2 2 1
1 1 1 1 2
2 2 1 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
à :
( ) ( )
: ( ) ( )
A A OA OA
M
OA x e y e
OA x e y e
OA OA x x e y y e
Hay A A x x e y y e
= −
= +
= +
=> − = − + −
= − + −
uuuur uuuur uuur
uuur ur uur
uuuur ur uur
uuuur uuur ur uur
uuuur ur uur

= (
2 1 2 1
,x x y y− −
)
Tích của một vectơ với một số
Trong mặt phẳng Oxy cho vecto
a
r
=(x,y)]thì
k
a
r
=(kx, ky)
Chú ý: nHai vectơ
a
r
(
1 2
,a a
) và
b
r
(
1 2
,b b
) khác vectơ O cùng phương khi và chỉ khi:

1 2
1 2
a a

(x, y, z)
=> k
a
r
=(kx, ky, kz)
CHÚ Ý:Hai vectơ
a
r
(
1 2 3
, ,a a a
) và
b
r
(
1 2 3
, ,b b b
)cùng phương khi và chỉ khi:

3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
= =
IV/Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ theo tọa độ của chúng:
Trong mặt phẳng Oxy cho
a
r

1 2
,e e
ur uur
là những vectơ đơn vị)

1 2
e e
uruur
= 0

1 1 2 2
.a b a b a b⇒ = +
r r
MỘT VÀI HỆ QUẢ
Trong mặt phẳng Oxy
•
1 1 2 2
0a b a b a b⊥ ⇔ + =
r r

21
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
•

2
2
2 2
1 2
.a a a a a a= = = +
uur

+ +
Tương tự trong không gian Oxyz,
1 2 3 1 2 3
( , , ) à ( , , )a a a a v b b b b
r r

•
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
uur
• cosα =
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a b a b a b
a a a b b b
+ +
+ + + +
V/ Toạ độ tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ) à ( , , )a a a a v b b b b
r r
Ta có:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
a a e a e a e
b b e b e b e

e e e e e e e e e
e e e e e e e e e
∧ = ∧ = ∧ =
∧ = − ∧ = − ∧ = −
ur uur ur uur ur ur ur ur uur
uur ur ur ur uur ur ur ur uur
22
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Do đó:
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
( ) ( ) ( )a b a b a b e a b a b e a b a b e∧ = − + − + −
r r ur uur ur
Ta thấy:
3 3
2 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ,
a a
a a a a
a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
− = − = − =
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ,
a a
a a a a
a b

AB
uuur
=(1,1,2),
AC
uuur
=(2,0,1)

1
2
ABC
S AB AC= ∧
uuur uuur
=
2 2 2
2 2 2
1 2 21 11
1
01 1 2 20
2
1 14
1 3 ( 2)
2 2
+ +
= + + − =

VD2:mCho vecto
(0,1,1) à (1,2,3)a v b
r r
. Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vecto đó và
đường cao ứng với cạnh đáy

⇒ = =
uur
(với
a
h
là đường co của hình bình hành ứng với cạnh đáy
a
r
)
VI/ Biểu thức của tích hỗn tạp của ba vectơ theo tọa độ của chúng:
Cho ba vecto
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , ) à ( , , )a a a a b b b b v c c c c
r r r
.
Ta có:
( )
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
3 3
2 1 1 2
1 2 3
2 3 3 1 1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, ,
.
:( , , )

1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
=
24
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Chương 2:
ĐƯỜNG BẬC HAI
25

Trích đoạn BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN

---