BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Phương pháp sử dụng
tính chất hàm lồi 1
Mu
.
cLu
.
c
Mo
.
’
o
.
.
ccu
’
ada
˜
ybˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c sinh bo
.
’
i ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m) 5
1.2 Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Karamata 11
1.3 Gi´o
.
o
.
ng 2 Phu
.
o
.
ng pha´p lu
.
.
acho
.
n tham sˆo
´
24
2.1 Ca´c da
.
ng toa´n ch´u
.
a tham sˆo
´
d¯ ˆo
.
clˆa
.
p 25
2.1.1 Tham sˆo
´
chı
’
thuˆo
.
a tham phu
.
thuˆo
.
cva`o tham sˆo
´
kha´c 36
2.3 Ba`i tˆa
.
p 42
Chu
.
o
.
ng 3 Phu
.
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
ng tı´nh chˆa
´
tcu
’
a ha`m d¯o
.
3.2.2 Ca´c d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng trung bı`nh suy rˆo
.
ng 50
3.3 Tı´nh d¯o
.
nd¯iˆe
.
ucu
’
a ha`m ca´c d¯a th´u
.
cd¯ˆo
´
ix´u
.
ng so
.
cˆa
´
p 55
Chu
.
o
Kˆe
´
t luˆa
.
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an 73
Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o 74
2
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c (BD
-
T) la` mˆo
.
a la` mˆo
.
t
cˆong cu
.
d¯ ˘a
´
clu
.
.
c, v´o
.
inh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng trong nhiˆe
`
ulı
˜
nh vu
.
.
c kha´c nhau cu
’
a toa´n ho
.
.
nnhu
.
mˆo
.
tda
.
ng toa´n kha´ quen thuˆo
.
c, nhu
.
ng d¯ˆe
’
tı`m ra l`o
.
i
gia
’
i khˆong pha
’
i la` mˆo
.
tviˆe
.
cdˆe
˜
da`ng.
Ly´ thuyˆe
´
tBD
.
ng pha´p ch´u
.
ng minh BD
-
T la` phˆa
`
nnˆo
.
i
dung quan tro
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
p trong nhiˆe
`
u ta`i liˆe
.
u.
Mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng phu
.
o
ccˆa
`
nch´u
.
ng minh) BD
-
T A<B(tu
.
o
.
ng tu
.
.
v´o
.
iBD
-
T A>B, A≤
B, A ≥ B). Nˆe
´
u tı`m d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
uth´u
.
c C sao cho A<C<B, thı` ta no´i r˘a
T
th ´u
.
nhˆa
´
td¯u
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
BD
-
Tth´u
.
hai. Viˆe
.
cch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
cBD
-
Tth´u
.
hai cho
’
la`m ch˘a
.
tBD
-
Tla`rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
D
-
o´cu
˜
ng la` nˆo
.
i dung ma` luˆa
.
n v˘an na`y d¯ˆe
`
cˆa
.
p.
Luˆa
.
n v˘an da`y 74 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa
`
nmu
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
ng tı´nh chˆa
´
tcu
’
a ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m) .
D
-
ˆay la` phu
.
o
.
ng pha´p co
.
ba
’
nva` quan tro
.
ng nhˆa
´
nd¯o´ng go´p cu
’
a luˆa
.
n
v˘an, chu
’
yˆe
´
u la` viˆe
.
ccu
.
thˆe
’
ho´a ly´ thuyˆe
´
tcu
’
aphu
.
o
.
ng pha´p na`y b˘a
`
ng nh˜u
.
ng vı´ du
.
va` ba`i tˆa
’
a ca´c BD
-
Td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cta
.
orat`u
.
nh˜u
.
ng minh ho
.
a na`y. Trong phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng, luˆa
.
n v˘an cu
˜
`
uBD
-
T kha´c.
Chu
.
o
.
ng 2: Phu
.
o
.
ng pha´p lu
.
.
a cho
.
n tham sˆo
´
.
Co´ thˆe
’
minh ho
.
ay´tu
.
o
.
’
ng cu
.
.
cbˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c
√
a +
√
b +
√
c ≥ ab + bc + ca.
Nhu
.
vˆa
.
y, v´o
.
i k ≥
1
2
thı` BD
-
T sau d¯ˆay luˆon d¯u´ng
a
k
+ b
c tı`m d¯u
.
o
.
.
csˆo
´
k (k<
1
2
) nho
’
nhˆa
´
t sao cho BD
-
T trˆen vˆa
˜
n d¯u´ng cho ta mˆo
.
t
phu
.
o
.
ng pha´p d¯ˆe
’
la`m ch˘a
.
tBD
ng, la` tham sˆo
´
d¯ ˆo
.
clˆa
.
p ho˘a
.
c co`n phu
.
thuˆo
.
cva`o mˆo
.
t tham sˆo
´
kha´c.
Chu
.
o
.
ng 3: Phu
.
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
cˆa
.
p, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` ta`i liˆe
.
u [1].
Phˆa
`
nd¯o´ng go´p cu
’
a luˆa
.
nv˘ano
.
’
chu
.
o
.
ng na`y chu
’
yˆe
´
u la` viˆe
.
chˆe
.
tcu
’
a
phu
.
o
.
ng pha´p b˘a
`
ng nh˜u
.
ng vı´ du
.
va` ba`i tˆa
.
pcu
.
thˆe
’
. Kha´ nhiˆe
`
uBD
-
Tm´o
.
id¯u
.
o
.
.
.
c.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y d¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nmˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng pha´p la`m ch˘a
.
tBD
-
Td¯a
.
isˆo
´
’
.
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
ccu
’
aTiˆe
´
nsy
˜
giu´p d¯˜o
.
, cung cˆa
´
p ta`i liˆe
.
u, go
.
.
imo
.
’
cho ta´c gia
’
nhiˆe
`
uy´tu
.
o
.
’
ng hay va`
truyˆe
`
nd¯a
.
t nhiˆe
`
ukiˆe
´
ng viˆen ta´c gia
’
vu
.
o
.
.
t qua nh˜u
.
ng kho´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo
.
csˆo
´
ng. Chı´nh
vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh va`su
.
.
kı´nh phu
.
c sˆau s˘a
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´
n Ban Gia´m Hiˆe
.
u
4
tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Quy Nho
.
n, Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
nlo
.
.
i trong th`o
.
i gian ta´c
gia
’
tham gia kho´a ho
.
c.
D
-
ˆo
`
ng th`o
.
i ta´c gia
’
cu
˜
ng xin ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
nd¯ˆe
´
n thuˆa
.
nlo
.
.
id¯ˆe
’
ta´c gia
’
co´ nhiˆe
`
u th`o
.
i gian nghiˆen c´u
.
uva`
hoa`n tha`nh d¯ˆe
`
ta`i.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’
su
.
.
quan tˆam va`d¯ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
D
-
˜
ng nhu
.
vˆe
`
n˘ang lu
.
.
cnˆen ch˘a
´
cch˘a
´
n trong luˆa
.
n v˘an
co`n nhiˆe
`
uvˆa
´
nd¯ˆe
`
chu
.
ad¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nva` kho´ tra´nh kho
a quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng go´p y´ cu
’
aba
.
n
d¯ o
.
cvˆe
`
luˆa
.
n v˘an na`y.
Quy Nho
.
n, tha´ng 02 n˘am 2008
Ta´c gia
’
5
Chu
.
o
.
ng 1
Phu
.
o
td¯˘a
’
ng th´u
.
c
sinh bo
.
’
i ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m)
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t, v´o
.
i hai sˆo
´
thu
.
.
c a ≥ b, ta su
.
’
du
.
cch´u
.
ng minh:
D
-
i
.
nh ly´ 1.1.1. Gia
’
su
.
’
cho tru
.
´o
.
c ha`m sˆo
´
y = f(x) co´ f
(x) ≥ 0 (ha`m lˆo
`
i) trˆen
I(a; b) va` gia
’
su
.
’
x
2
2
:
x
1
= u
0
<u
1
<u
2
< < u
n
<
x
1
+ x
2
2
(1.1)
va` da
˜
ysˆo
´
gia
’
mdˆa
`
n {v
j
+ v
j
= x
1
+ x
2
, ∀j =0, 1, , n (1.3)
ta d¯ˆe
`
uco´
f(u
0
)+f(v
0
) ≥ f (u
1
)+f(v
1
) ≥ ≥ f (u
n
)+f(v
n
). (1.4)
No´i ca´ch kha´c: Da
˜
y
f(u
j
˜
m) trˆen
I(a; b) va` gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
∈ I(a; b) v´o
.
i x
1
<x
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
ysˆo
´
gia
’
mdˆa
`
n {v
k
} trong
x
1
+ x
2
2
; x
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< <v
1
No´i ca´ch kha´c: Da
˜
y
f(u
j
)+f(v
j
)
, j =0, 1, , n, la` mˆo
.
tda
˜
y t˘ang.
Nhˆa
.
n xe´t r˘a
`
ng, d¯ˆe
’
co´ d¯u
.
o
.
.
cnh˜u
.
ng kˆe
´
ng trˆen I(a; b) hai da
˜
y {u
k
} va` {v
k
} thoa
’
ma
˜
nnh˜u
.
ng d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
ad¯i
.
nh lı´. Sau d¯o´ la` viˆe
.
c tı`m nh˜u
.
ng ha`m sˆo
´
y = f (x)co´
f
(x) ≥ 0 ho˘a
.
n gia
’
n nhˆa
´
t. Ba
.
nd¯o
.
c co´ thˆe
’
tı`m ra nh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
’
kha´c, phong phu´ho
.
n.
V´o
.
i hai sˆo
´
thu
.
.
c cho tru
.
´o
’
mcu
’
a d¯oa
.
n[x
1
x
2
]la`
x
1
+ x
2
2
trˆen tru
.
csˆo
´
giu´p ta xˆay du
.
.
ng
d¯ u
.
o
.
.
c hai da
˜
1.1.
u
0
= x
1
,u
1
= x
1
+
x
2
− x
1
2.(n +1)
, ,u
n
= x
1
+ n
x
2
− x
1
2(n +1)
=
(n +2)x
1
+ nx
2
2
2(n +1)
.
Bˆay gi`o
.
, xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=x
2
; x ∈ R.
Ta co´
f
(x)=2> 0; ∀x ∈ R.
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
7
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.1.
x
2
1
+
2x
1
+2nx
2
2(n +1)
2
···
≥
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
2
+
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
2
≥
3
> 0; ∀x>0.
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.2.
1
x
1
+
1
x
2
≥
2(n +1)
(2n +1)x
1
+ x
2
+
2(n +1)
x
x
1
+ x
2
; ∀x
1
,x
2
> 0,n≥ 1.
Bˆay gi`o
.
, xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
√
x; x>0.
Ta co´
f
(x)=−
1
4x
√
x
> 0; ∀x>0.
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
2nx
1
+2x
2
2(n +1)
+
2x
1
+2nx
2
2(n +1)
···
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
+
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
≤
x
1
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
8
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.4.
sinx
1
1+sinx
1
+
sinx
2
1+sinx
2
≤
sin
(2n +1)x
1
+ x
2
2(n +1)
1+sin
2
2(n +1)
+
sin
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
1+sin
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
≤ 2
sin
x
1
+ x
2
2
1+sin
x
1
+ x
2
2
; ∀x
1
r˘a
`
ng kˆe
´
t qua
’
(1.4) va` (1.5) vˆa
˜
nd¯u´ngnˆe
´
u thay (1.3) bo
.
’
imˆo
.
t gia
’
thiˆe
´
tma
.
nh ho
.
n.
Ta co´ ca´c kˆe
´
t qua
’
sau d¯ˆay:
D
i x
1
<x
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
trong
x
1
;
x
1
+ x
2
2
:
x
2
2
; x
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< <v
1
<v
0
= x
2
sao cho
x
1
+ x
2
= u
0
+ v
0
j
)+f(v
j
)
, j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo
.
tda
˜
y gia
’
m.
Ch´u
.
ng minh. V´o
.
imˆo
˜
i j ∈{0, 1, ··· ,n},t`u
.
ca´c gia
’
thiˆe
´
t, ta co´
u
j
<u
j+1
<
.
t
u
j+1
−u
j
=
j+1
v
j
− v
j+1
= δ
j+1
.
Thˆe
´
thı`
0 <
j+1
δ
j+1
; ∀j ∈{0, 1, , n}.
Bˆay gi`o
.
,v´o
.
j
; u
j+1
);
f(v
j
) −f (v
j+1
)=f
(d
j+1
)(v
j
−v
j+1
)=f
(d
j+1
)δ
j+1
,v´o
.
i d
j+1
∈ (v
j+1
; v
j
); ∀j ∈{0, 1, , n},
hay
f(u
j
)+f(v
j
) ≥ f(u
j+1
)+f(v
j+1
); ∀j ∈{0, 1, , n}.
Ta co´ d¯iˆe
`
u pha
’
ich´u
.
ng minh.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ta co´
D
-
i
.
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
trong
x
1
;
x
1
+ x
2
2
:
x
1
= u
0
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< ···<v
1
<v
0
= x
2
sao cho
x
1
+ x
2
= u
0
+ v
0
≥ u
1
+ v
)
, j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo
.
tda
˜
y t˘ang.
10
Bˆay gi`o
.
,v´o
.
i hai sˆo
´
thu
.
.
c cho tru
.
´o
.
c x
1
<x
2
, hı`nh a
’
nh cu
’
a ca´c d¯iˆe
1
x
2
]la`
x
1
+ x
2
2
trˆen tru
.
csˆo
´
giu´p ta xˆay du
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c hai da
˜
y {u
k
} va` {v
k
} thoa
’
ma
= x
1
+
x
2
− x
1
2
2
, ,
u
n
= x
1
+
x
2
− x
1
2
2
+ ···+
x
2
− x
1
2
n+1
=
(2
= x
2
−
x
2
− x
1
2
2
−···−
x
2
− x
1
2
n+1
=
(2
n
− 1)x
1
+(2
n+1
− 2
n
+1)x
2
2
n+1
.
˜
nnh˜u
.
ng d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
aD
-
i
.
nh lı´ 1.1.3 va`D
-
i
.
nh lı´ 1.1.4, ch˘a
’
ng
ha
.
n:
Vı´ du
.
1.3.
u
0
= x
1
x
2
−x
1
2
2
(n +1)
+
x
2
− x
1
2
3
(n +1)
+ ···+
x
2
− x
1
2
n+1
(n +1)
=
(n + 1)2
n+1
−(n −1)2
, ··· ,v
n
= x
2
− n
x
2
− x
1
2(n +1)
=
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
.
Cuˆo
´
i cu`ng, v´o
.
iviˆe
.
ccho
.
n ca´c ha`m sˆo
´
y = f(x)co´f
(x) ≥ 0 ho˘a
m, ngoa`i ca´c d¯i
.
nh lı´ nˆeu trˆen, ca´c da
.
ng cu
’
aBˆa
´
t
d¯ ˘a
’
ng th´u
.
c Karamata co`n cho ta nh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p la`m ch˘a
.
tbˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
crˆa
´
t
.
11
1.2 Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Karamata
D
-
i
.
nh ly´ 1.2.1. (Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Karamata)
Cho ha`m sˆo
´
y = f (x) co´d¯a
.
o ha`m cˆa
´
p hai ta
.
imo
.
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
x
1
≥ x
2
≥···≥x
n
,
a
1
≥ a
2
≥···≥a
n
va`
≥ a
1
+ a
2
+ + a
n−1
x
1
+ x
2
+ + x
n
= a
1
+ a
2
+ + a
n
Khi d¯o´, ta luˆon co´
n
k=1
f(x
k
) ≥
n
k=1
f(a
k
ba
’
nvˆe
`
d¯ a
.
isˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh, ta co´ thˆe
’
ch´u
.
ng minh kˆe
´
t qua
’
sau d¯ˆay
D
-
i
.
nh ly´ 1.2.2. (I.Schur)
D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
.
n
x
1
≥ a
1
x
1
+ x
2
≥ a
a chu´ng co´mˆo
.
t phe´p biˆe
´
nd¯ˆo
’
i tuyˆe
´
n tı´nh da
.
ng
a
i
=
n
j=1
t
ij
x
j
; i =1, 2, ··· ,n,
12
trong d¯o´
t
kl
≥ 0,
n
j=1
tky`α
1
,α
2
, ··· ,α
n
co´tˆo
’
ng b˘a
`
ng α>0.
V´o
.
imˆo
˜
i i =1, 2, ···,n, ta d¯˘a
.
t
α
i
α
= a
i
Thˆe
´
thı` ma trˆa
.
n (a
ij
); i, j =1, 2, ···,n,co´thˆe
2
,
3
la` 3 sˆo
´
du
.
o
.
ng co´tˆo
’
ng b˘a
`
ng 1. Cho
.
n k thoa
’
ma
˜
n
0 k min{
1
1
(1 −
1
)
;
1
−k
i
+1 ;nˆe
´
u i = j
a
ij
= k
i
j
;nˆe
´
u i = j.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
D
-
i
.
nh lı´ 1.2.5, ta co´
D
-
i
.
1
,x
2
, ··· ,x
n
la` ca´c sˆo
´
thuˆo
.
c [a;b], thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
x
1
x
2
··· x
n
,
a
1
a
2
··· a
1
+ a
2
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n−1
a
1
+ a
2
+ ···+ a
n−1
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
= a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
Khi d¯o´, ta luˆon co´
n
n
trong D
-
i
.
nh lı´ 1.2.1 va`D
-
i
.
nh lı´ 1.2.2 bi
.
pha´ v˜o
.
,cˆa
`
n pha
’
i co´ nh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
’
ma
.
nh ho
.
n
d¯ ˆe
’
(x) > 0 v´o
.
imo
.
i x ∈ (a; b).
Gia
’
su
.
’
a
1
,a
2
, ··· ,a
n
va` x
1
,x
2
, ··· ,x
n
la` ca´c sˆo
´
thuˆo
.
c [a;b], d¯ˆo
`
ng th`o
.
x
1
≥ a
1
x
1
+ x
2
≥ a
1
+ a
2
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
≥ a
1
+ a
2
sao cho f
(x) ≥ 0 v´o
.
imo
.
i x ∈ [a; b] va` f
(x) < 0 v´o
.
imo
.
i x ∈ (a; b).
Gia
’
su
.
’
a
1
,a
2
, ··· ,a
n
va` x
1
,x
2
, ··· ,x
n
n
va`
x
1
a
1
x
1
+ x
2
a
1
+ a
2
x
1
iv´o
.
i ca´c da
.
ng cu
’
abˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Karamata, viˆe
.
c tı`m ra ca´c
c˘a
.
pda
˜
y {a
k
} va` {x
k
} thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
su
.
’
cho tru
.
´o
.
cda
˜
ysˆo
´
gia
’
m
x
1
≥ x
2
≥ ≥ x
n
.
Khi d¯o´, luˆon tˆo
`
nta
.
ida
˜
ysˆo
´
khˆong ˆam α
.
y, ta chı
’
cˆa
`
ncho
.
nda
˜
y α
1
,α
2
, ··· ,α
n−1
nhu
.
sau
0 α
1
x
1
− x
2
2
, 0 α
2
x
≥ x
2
≥···≥x
n
.
Ngoa`i ra, v´o
.
imo
.
i n ≥ 2, ta co´
x
n−1
− x
n
2
=
1
2
.
Vˆa
.
y, nˆe
´
ucho
.
nda
˜
ysˆo
´
α
thı`, ta co´
x
1
− α
1
≥ x
2
+ α
1
− α
2
≥···≥x
n−1
+ α
n−2
−α
n−1
≥ x
n
+ α
n−1
.
Bˆay gi`o
.
, xe´t ha`m lˆo
`
i f(x)=x
2
; x ∈ R.Thˆe
´
2
2
+
x
2
+
1
4
2
+ ···
+
x
n−1
+
1
2(n −2)(n −1)
2
+
x
n
+
1
2(n − 1)
n
la` ca´c sˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng.
Ta xe´t bˆo
.
b =
b
1
,b
2
, ··· ,b
n
la` bˆo
.
hoa´n vi
.
cu
’
ada
˜
i
,v´o
.
i
k
1
,k
2
, ··· ,k
n
la` hoa´n vi
.
na`o d¯o´cu
’
a (1, 2, ··· ,n).
Bˆay gi`o
.
, ta la
.
i xe´t bˆo
.
c =
c
1
,c
2
, ··· ,c
,ln
a
2
n
a
1
xˆe
´
p theo th´u
.
tu
.
.
gia
’
mdˆa
`
n. V´o
.
imˆo
˜
i i ∈{1, ···,n},co´thˆe
’
coi c
i
= ln
a
2
k
cr˘a
`
ng c˘a
.
pda
˜
y {c
k
} va` {b
k
} thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
aD
-
i
.
nh
lı´ 1.2.1.
Bˆay gi`o
.
, xe´t ha`m lˆo
`
n
1+
a
2
1
a
2
1+
a
2
2
a
3
···
1+
a
2
n
a
1
v´o
.
imo
1+a
n
1+
a
2
1
a
2
1+
a
2
2
a
3
···
1+
a
2
n
a
1
4
1
···
v´o
.
imo
.
isˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng a
1
,a
2
, ··· ,a
n
.
Ta thˆa
´
yr˘a
`
ng, v´o
.
’
ng th´u
.
c kha´c. Ch˘a
’
ng ha
.
n, xe´t ha`m lˆo
`
i f(x)=
√
1+e
x
,
x ∈ R, ta d¯u
.
o
.
.
c
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.7.
√
1+a
1
a
1
,
v´o
.
imo
.
isˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng a
1
,a
2
, ··· ,a
n
.
16
Hˆe
.
qua
’
1.2.2.
√
2
n
a
1
1+
a
4
1
a
3
a
4
2
+
1+
a
4
2
a
4
a
4
3
+ ···+
1+
a
1.8. Tru
.
´o
.
chˆe
´
t, ta co´ nhˆa
.
n xe´t r˘a
`
ng: Nˆe
´
u hai da
˜
ysˆo
´
{x
k
,y
k
∈
I(a; b); k =1, 2, ···,n} thoa
’
ma
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
ukiˆe
.
ncu
’
aD
-
i
.
nh lı´ 1.2.1.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, xe´t hai bˆo
.
sˆo
´
(x
1
,x
2
, ··· ,x
n
)va`(y
1
,y
2
, ··· ,y
ng th´u
.
c na`y theo vˆe
´
, ta co´
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
x
1
≥
y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
y
1
.
Suy ra
x
1
≥ y
1
.
Bˆay gi`o
o
.
ng tu
.
.
, ta co´
x
1
+ x
2
≥ y
1
+ y
2
.
Tiˆe
´
ptu
.
c qua´ trı`nh tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ta co´
x
1
+ x
o
.
.
c kh˘a
’
ng d¯i
.
nh.
Bˆay gi`o
.
,xe´ta
1
,a
2
, , a
n
la` ca´c sˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng. V´o
.
imˆo
˜
i i ∈{1, , n}, ta d¯˘a
Khi d¯o´
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
=1.
Khˆong mˆa
´
t tı´nh tˆo
’
ng qua´t, gia
’
su
.
’
a
1
≥ a
2
≥ ≥ a
n
. Khi d¯o´
≥
a
i
a
j
=
y
i
y
j
.
Nhu
.
vˆa
.
y, theo nhˆa
.
n xe´t trˆen, c˘a
.
pda
˜
ysˆo
´
{x
k
} va` {y
k
} thoa
’
ma
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.8.
a
1
a
2
+ a
3
+ ···+ a
n
+ +
a
n
a
1
+ a
2
+ ···+ a
n−1
a
2
1
a
2
2
+ a
o
.
ng a
1
,a
2
, ··· ,a
n
.
Hˆe
.
qua
’
1.2.3.
a
1
a
2
+ a
3
+ ···+ a
n
+···+
a
n
a
1
+ a
2
+ ···+ a
1
a
4
2
+ a
4
3
+ ···+ a
4
n
+ ···+
a
4
n
a
4
1
+ a
4
2
+ ···+ a
4
n−1
···,
v´o
.
imo
.
isˆo
´
cr˘a
`
ng, ca´c kˆe
´
t qua
’
cu
’
aD
-
i
.
nh lı´ 1.2.1
va`D
-
i
.
nh lı´ 1.2.4 vˆa
˜
n d¯u´ng ma` khˆong cˆa
`
nd¯ˆe
´
n gia
’
thiˆe
´
t
x
1
2
··· x
n
trong ca´c D
-
i
.
nh lı´ 1.2.3 va`D
-
i
.
nh lı´ 1.2.5.
Khi d¯o´, ta quy u
.
´o
.
cgo
.
i ca´c d¯i
.
nh lı´ tu
.
o
.
ng tu
.
.
lˆa
`
nlu
kˆe
´
t qua
’
vˆe
`
ca´c da
.
ng D
-
i
.
nh lı´
Karamata mo
.
’
rˆo
.
ng ma` ba
.
nd¯o
.
c co´ thˆe
’
tham kha
’
o.
Ho
.
nn˜u
.
tda
˜
y
ca´c tam gia´c cu
˜
ng d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p trong [1]. D
-
ˆay chı´nh la` mˆo
.
tphu
.
o
.
ng pha´p kha´
h˜u
.
uhiˆe
.
nvˆe
`
vˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y.
Vı´ du
.
1.9. Xe´t tam gia´c ABC. Khˆong mˆa
´
t tı´nh tˆo
’
ng qua´t, co´thˆe
’
gia
’
su
.
’
A ≥ B ≥ C.
D
-
˘a
.
t A
=2A − B, B
=2B − C, C
.
t tam gia´c. Ho
.
nn˜u
.
a, ta co´
A
≥ A
A
+ B
≥ A + B
A
+ B
+ C
= A + B + C
Do d¯o´, hai bˆo
.
da
˜
ysˆo
´
{A, B, C} va` {A
,B
’
sau
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.9. Gia
’
su
.
’
tam gia´c ABC co´ go´c l´o
.
n nhˆa
´
t nho
’
ho
.
n hai lˆa
`
n
go´c nho
’
nhˆa
´
t. Thˆe
´
’
ba
.
nd¯o
.
c
co´ thˆe
’
a´p du
.
ng.
19
1.3 Gi´o
.
i thiˆe
.
umˆo
.
tsˆo
´
h`am lˆo
`
iv`ah`am l˜om
1.3.1 Mˆo
.
tsˆo
´
ha`m lˆo
`
i
; x ∈ R, α>0.
f(x)=
1
1+e
αx
; x ≥ 0, α ≥ 1.
f(x)=
e
x
+
1
e
x
2
; x ∈ R.
f(x) =ln
1+
1
x
; x>0.
f(x) =ln
1+e
αx
; x ∈ R, α>0.
, k<0.
f(x) =tan
k
x ; x ∈
0;
π
2
, k ≥ 1.
f(x) =arcsinx ; x ∈ (0; 1).
f(x) =arctan(e
x
);x<0.
f(x) =arctan
x
S − x
; S>0, x ∈ (0; S).
1.3.2 Mˆo
.
tsˆo
´
ha`m lo
˜
m
f(x)=x
α
; x>0, 0 <α<1.
f(x)=(S − x)
α
f(x) =ln(1- cosx);x ∈ (0; π).
f(x) =cosx tanx ; x ∈
0;
π
2
.
f(x) =arcsin
x
1+x
; x ≥ 0.
f(x) =arcsin
x
S + x
; S>0, x>0.
f(x) =arctanx ; x>0.
1.4 Ba`i tˆa
.
p
Ba`i tˆa
.
p 1.1. Cho a, b, c > 0.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng v´o
.
i α>0,taco´:
2c + a
3
α
≤
2(4a + b)
9
α
+
2(4b + c)
9
α
+
2(4c + a)
9
α
≤···
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
+
9
b + c
2
≥
1
2a + b + c
4
+
4
a +2b + c
4
+
9
a + b +2c
4
≥···
Hu
.
´o
.
α
+
1+c
2
α
≥
1+ab
α
+
1+bc
α
+
1+ca
α
≥ 3
3+
3
√
a
2
b
1 −b +
√
1 − c ≤
1 −
√
ab +
1 −
√
bc +
1 −
√
ca
≤
1 −
4
√
ab
2
c +
1 −
4
√
bc
2
a +
1 −c ≤
1 −
√
ab +
1 −
√
bc +
1 −
√
ca
≤
a + b − 2ab
a + b
+
b + c − 2bc
b + c
+
c + a −2ca
c + a
Hu
.
´o
.
ng dˆa
a
2
bc +2
8
√
ab
2
c +3
12
√
abc
2
≥···
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha´m sˆo
´
f(x)=e
x
; x ∈ R
Ba`i tˆa
.
p 1.7. Cho a, b, c > 0.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
4
a +
9
√
c
4
a
4
b ≥···
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=e
x
; x ∈ R
Ba`i tˆa
.
p 1.8. Cho a, b, c > 0.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng v´o
.
i α, β > 0 va` α + β =1,taco´:
a + b + c ≥ a
a
2αβ
b
β
2
≥···
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=e
x
,x∈ R
Ba`i tˆa
.
p 1.9. Choa, b, c du
.
o
.
ng. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
√
ab +
8
c
2
+
9
√
c
8
a
2
≤···
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=e
x
,x∈ R
22
Ba`i tˆa
.
p 1.10. Cho a, b, c khˆong nho
’
ho
.
n 1. Ch´u
1+
3
√
b
2
c
+
3
√
c
2
a
1+
3
√
c
2
a
≤
9
√
a
4
b
4
c
1+
9
√
a
√
c
4
a
4
b
≤···.
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
e
x
1+e
x
; x ≥ 0
Ba`i tˆa
.
p 1.11. Cho a, b, c khˆong nho
’
ho
.
n 1. Ch´u
.
ng minh r˘a
β
+
c
α
a
β
1+c
α
a
β
≤
a
α
2
.b
2αβ
.c
β
2
1+a
α
2
.b
2αβ
.c
β
2
+
b
α
2
≤···
Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
e
x
1+e
x
; x ≥ 0
Ba`i tˆa
.
p 1.12. Cho a, b, c l´o
.
nho
.
n 1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a
a − 1
+
c
2
a
3
√
c
2
a − 1
≥
9
√
a
4
b
4
c
9
√
a
4
b
4
c − 1
+
9
√
b
4
c
4
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
e
x
e
x
− 1
; x>0
Ba`i tˆa
.
p 1.13. Cho a, b, c l´o
.
nho
.
n 1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng v´o
.
i α, β > 0 va` α + β =1,
ta co´:
a
a − 1
+
b
b − 1
+
c
− 1
≥
a
α
2
.b
2αβ
.c
β
2
a
α
2
.b
2αβ
.c
β
2
− 1
+
b
α
2
.c
2αβ
.a
β
2
b
α
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
e
x
e
x
− 1
; x>0
Ba`i tˆa
.
p 1.14. Cho a, b, c ∈ (0; 1).Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤
1 −
√
ab
1 −
√
bc
1 −
√
.
ng dˆa
˜
n: Xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=ln(1 −x);x ∈ (0; 1)
Ba`i tˆa
.
p 1.15. Cho a, b, c ∈ (0; 1).Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤
1 −
√
ab
1 −
√
bc
1 −
√
ca
≤
a + b −2ab
acho
.
n tham sˆo
´
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t ta xe´t ba`i toa´n sau
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u a, b, c la` 3 sˆo
´
khˆong ˆam co´tˆo
’
ng b˘a
`
ng 3, thı` ta co´
√
a +
√
b +
√
c ≥ ab + bc + ca
a +
√
b +
√
c) ≥ 9
Su
.
’
du
.
ng bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
cgi˜u
.
a trung bı`nh cˆo
.
ng va` trung bı`nh nhˆan (thu
.
`o
.
ng go
.
ila`
bˆa
´
td¯˘a
´
cu
’
aca´cbˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
cd¯iˆe
`
ucˆa
`
nch´u
.
ng minh.
Nhˆa
.
n xe´t r˘a
`
ng, bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
i k ≥
1
2
thı` bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c sau d¯ˆay luˆon d¯u´ng
a
k
+ b
k
+ c
k
≥ ab + bc + ca.
Copyright: Tài liệu đại học ©