BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM BÁCH KHOA
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL
CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI
TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA
CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Huế, năm 2010
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một
công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2010
Tác giả Luận văn
Phạm Bách Khoa
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trương Minh
Đức, người đã giúp đỡ tôi rất nhiều về tài liệu và hướng dẫn tận tình
trong suốt thời gian thực hiện Luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy, Khoa
Vật lý, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tình
giúp đỡ tôi, đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Chương 2 -TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH PHẢN KẾT CHÙM -
TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON CỦA TRẠNG THÁI
CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG
PHA 21
2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát 21
2.1.1 Bậc k =4n 23
2.1.2 Bậc k =4n +1 23
2.1.3 Bậc k =4n +2 25
2.1.4 Bậc k =4n +3 27
2.2 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng
quát 30
2.2.1 Bậc 4n − 1 và 4n 31
2.2.2 Bậc 4n +1 33
2.2.3 Bậc 4n +2 35
2.3 Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng
quát 37
Chương 3 -KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL
CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI
KẾT HỢP VUÔNG PHA 39
3.1 Khảo sát 39
3.1.1 Nén bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Nén bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
3.1.3 Nén bậc 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4 Nén bậc 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén
Hong-Mandel của trạng chồng chất hai trạng thái
kết hợp vuông pha 53
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

2.6 Hệ số nén S
4n+3
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ =3π/2. 29
2.7 Tham số P
4n
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 32
2.8 Tham số P
4n
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và (b)
φ = π. 32
2.9 Tham số P
4n+2
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 33
2.10 Tham số P
4n+2
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ = π 34
2.11 Tham số P
4n+3

3.5 Hệ số nén S
k
kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén S
N
kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|
2
khi φ =0.54
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan
trọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để
nghiên cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang
lượng tử, thông tin lượng tử [13] và máy tính lượng tử. Do đó, các tính
chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất được các nhà khoa học
quan tâm. Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng thái
kết hợp. Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đã đưa ra khái niệm
trạng thái kết hợp khi nghiên cứu tính chất của chùm sáng laser. Trạng
thái kết hợp là trạng thái cổ điển do trong biểu diễn Glauber-Sudarshan
[7], [8], [14], hàm phân bố xác suất P tương ứng với trạng thái này là
hàm Delta. Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson, là phân bố
mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt của chúng. Nếu
phương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thì
hàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson. Các trạng thái tuân
theo thống kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bố
xác suất P ứng với trạng thái đó là âm. Một tính chất nữa thuộc tính
chất phi cổ điển đó là tính chất phản kết chùm (anti-bunching). Nếu
một trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất rõ tính chất
phản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson.
Vào đầu thập niên 80 của thế kỷ 20, Hestrom [9], Hillery [10] và

văn này tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê
sub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát và quá trình
nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
7
vuông pha |Ψ, rồi sau đó chúng tôi so sánh tính chất nén Hillery và
Hong-Mandel của trạng thái này. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài "
Khảo sát quá trình nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất hai
trạng thái kết hợp vuông pha" để nghiên cứu.
2. Mục tiêu của đề tài
Khảo sát các tính chất của quá trình nén Hillery tổng quát và quá
trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp
vuông pha.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-
Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha.
- Khảo sát quá trình nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8
của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong Luận văn này chỉ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát
tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm
bậc cao tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng
chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với các bậc N =2, 4, 6, 8.
8
5. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này chúng tôi sử dụng một số phương pháp
cơ bản như sau:
- Phân tích, tổng hợp tài liệu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Vận dụng các kiến thức đã học để tính toán đưa ra các biểu thức

tính kết hợp, cường độ càng cao thì tính kết hợp càng lớn. Vì thế, trạng
thái dùng để mô tả nó có tên là trạng thái kết hợp.
10
Ta có toán tử sinh hạt a
+
và hủy hạt a tuân theo hệ thức giao hoán
[a, a
+
]=1, (1.1)
[a, a]=[a
+
, a
+
]=0, (1.2)
và toán tử số hạt n = a
+
a.
Trạng thái kết hợp |α được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử
hủy boson a. Do đó |α thỏa mãn phương trình
a|α = α|α, (1.3)
trong đó α là một số phức bất kỳ trong không gian phức. Khi khai triển
thông qua các trạng thái Fock | n thì trạng thái kết hợp |α được biểu
diễn dưới dạng
|α =
∞

n=0
C
n
|n, (1.4)

). (1.7)
11
Thay (1.7) vào (1.6), ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn
hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |n có dạng như sau
|α = exp(−
1
2
|α|
2
)
∞

n=0
α
n
√
n!
|n. (1.8)
Tính chất 2: Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau,
nghĩa là
α|β=0. (1.9)
Tính chất 3: Phân bố số hạt ở trạng thái |α tuân theo phân bố
Poisson (là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử số
hạt bằng nhau).
Ta có số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α
n = α|n|α = α|a
+
a|α = |α|
2
. (1.10)

n| m
∞

m=0
(α
∗
)
m
√
m!
m| n
= exp(−|α|
2
)
|α|
2n
n!
,
(1.13)
12
trong đó p(n)=exp(−|α|
2
)
|α|
2n
n!
là hàm phân bố Poisson. Hàm phân bố
Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân
bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Vì vậy, trạng thái kết hợp là
trạng thái cổ điển.

13
thái kết hợp vuông pha có dạng như sau
|Ψ =
N
√
2
(|α + e
iφ
|iα), (1.16)
trong đó trạng thái kết hợp |α biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng
thái Fock |n có dạng như sau
|α = exp(−
1
2
|α|
2
)
∞

n=0
α
n
√
n!
|n, (1.17)
và trạng thái kết hợp |iα biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái
Fock |n có dạng như sau
|iα = exp(−
1
2

iφ
(iα)
n
√
n!
|n, (1.19)
với N là hệ số chuẩn hóa.
1.2.2 Tính chất
Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha có một số
tính chất sau
Tính chất 1: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha đã được chuẩn hóa, nghĩa là [3]
Ψ|Ψ =1. (1.20)
14
Từ biểu thức (1.20), ta thu được hệ số chuẩn hóa N của trạng thái chồng
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
N =[1+e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
−
1
2
. (1.21)
Thay (1.21) vào (1.19) ta có biểu thức của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha đã chuẩn hóa khai triển theo hệ cơ sở của
các trạng thái Fock |n có dạng như sau
|Ψ =

Ψ|Ψ

=0. (1.23)
Tính chất 3: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy boson a
2
,
nghĩa là [3]
a
2
|Ψ = α
2
|Ψ. (1.24)
Tính chất 4: Phân giải đơn vị của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ được viết như sau [3]

dµ(α)|ΨΨ| =1. (1.25)
với α là số phức bất kỳ trong không gian phức nên ta chọn α = |α|e
iϕ
và hàm µ(α) được xác định theo biểu thức [3]

|α
0
|
0
2πµ

(α)N
2
d|α|α

2
. (1.27)
Nếu |ϕ = |α là trạng thái kết hợp của hai đại lượng A,B thì hệ thức
bất định của chúng đạt đến độ bất định tối thiểu
VAVB=
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]|ϕ|
2
, (1.28)
đồng thời có thể chứng minh được rằng phương sai của A cũng bằng
phương sai của B và bằng một giá trị gọi là giới hạn lượng tử chuẩn
VA= VB =
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]|ϕ|, (1.29)
Một trạng thái vật lý |ϕ của trường hạt boson cho hai đại lượng A,B
mà trong đó VA(hoặc VB) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn sao
16
cho nguyên lý bất định không bị vi phạm thì trạng thái |ϕ gọi là trạng
thái nén đối với đại lượng A(hoặc B). Trường hợp đặc biệt nếu trạng
thái nén của A(hoặc B) còn thỏa mãn điều kiện (VA)(VB) bằng độ bất


exp(
1
2
x
2
C), (1.31)
trong đó : : ký hiệu N-tích. Khai triển các hàm mũ trong (1.31) dưới
dạng chuỗi theo x và đồng nhất hai vế, ta có:
V
N
X
a
(ϕ) ≡

(∆
ˆ
X
a
(ϕ))
2N

=
N−1

j=0
(2N)
2j
C
j

:

=0nên
V
N
X
a
(ϕ)=(2N−1)!!C
N
, (1.34)
17
và do đó điều kiện để có nén bậc N kiểu Hong-Mandel là
V
N
X
a
(ϕ) < (2N−1)!!C
N
. (1.35)
Từ đây ta kết hợp với (1.31) để có biểu thức thứ hai cho điều kiện nén
bậc N kiểu Hong-Mandel
N−1

j=0
(2N)
2j
C
j
j!2
j

(N)
2j
j!

C
2

j
:(∆
ˆ
X
a
(ϕ))
N−2j
:
(N−1)!!C
N/2
. (1.38)
Rõ ràng là hiệu ứng nén theo
ˆ
X
a
(ϕ) xuất hiện khi ta có −1 ≤ S
N
< 0
và nén đạt cực đại khi S
N
= −1. Tương tự như vậy đối với
ˆ
X

k
(ϕ))
2
 <
1
4
F
k
, (1.40)
18
trong đó [15]
F
k
 = [a
k
, a
+k
]
=
k

q=1
k!k
(q)
(k − q)!q !
(a
+
)
k−q
a

(ϕ))
2
: =
1
2
{a
+k
a
k
+[e
−2ikϕ
a
2k
]−2([e
−ikϕ
a
k
])
2
}, (1.43)
với : : là kí hiệu N-tích.
Kết hợp bất phương trình (1.40) và phương trình (1.42), chúng ta nhận
thấy rằng trạng thái sẽ nén nếu :(∆

Q
k
(ϕ))
2
: < 0 . Để thuận tiện,
chúng ta đưa ra hệ số nén Hillery bậc cao

k
q=1
k!k
(q)
(k−q)!q!
(a
+
)
k−q
a
k−q

.
(1.44)
Vậy, điều kiện nén Hillery bậc cao của một trạng thái nào đó là hệ
số nén S
k
phải nằm trong khoảng −1 ≤ S
k
< 0 và trạng thái là nén lý
tưởng nếu S
k
= −1.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã đưa ra được dạng của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Xuất phát từ
trạng thái kết hợp với các tính chất của nó đặc biệt lưu tâm đến tính
chất 5 là tính chất nêu lên trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất
định cực tiểu. Từ trạng thái này, chúng tôi xây dựng trạng thái chồng
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |α và |iα. Trạng thái này
19

tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nén nào. Theo [3], ta có hệ
số nén Hillery bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
hợp vuông pha khi k chẵn và k lẽ như sau:
21
Khi k chẵn thì
S
k
=
|α|
2k

k
q=1
k!k
(q)
(k−q)!q!
(a
+
)
k−q
a
k−q
[1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
2

− (1 − i
2k
)e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
)sin(2kϕ)][1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
− [(1 + i
k
)(1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
))cos(kϕ)
− (1 − i
k
)e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
)sin(kϕ)]
2

−|α|
2
(2(−i)
k
cos(φ + |α|
2
)
− ((−i)
k
− i
k
)e
i(φ+|α|
2
)
)][1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
+ [(1 + i
2k
)(1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
))cos(2kϕ)
− (1 − i

cos(φ + |α|
2
)) + e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
))sin(kϕ)]
2

,
(2.2)
trong đó [3]
(a
+
)
k−q
a
k−q
 =
N
2
2
|α|
2(k−q)

2+e
−|α|
2
