HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 10
DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của
chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năng
giống như trong Cơ học cổ điển. ở đây, ta sẽ dùng hai phương
pháp để nghiên cứu chuyển động như vậy: phương pháp giải tích
thông thường và phương pháp các toán tử sinh và huỷ.
1.Giải bài toán về dao động tử bằng phương pháp giải tích
Xét chuyển động của một hạt lượng tử trong trường thế năng có dạng:
2
2
( ) (10.1)
2
m
U x x
ω
=
Đồ thị hàm thế năng như vậy là đường parabole đi qua gốc toạ độ và
nhận trục tung làm trục đối xứng

HONG DUC UNIVERSITY

.
Khi đó, (10.2) trở thành
(10.3)
λϕϕξ
ξ
ϕ
2
2
2
2
=+
d
d
Tiếp theo, đặt
(10.4) f
d
d
=
ξ
ϕ
ϕ
1

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó, (10.3) có dạng:
(10.5)
λξϕ
ξ
2

ξ
ξ
ξ
ξ
qp
d
c
baf
Với f như vậy, ta có:
(10.6)








Θ+−=
32
1
ξξξ
c
a
d
df

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
trong đó là đại lượng cùng bậc với x khi và:

ξ
ξ
ξξ
ξ
Do đó, vế trái của (10.5) sẽ bằng:








Θ+++++
ξ
ξξ
1
22
222
aacbaa
So sánh với vế phải của (10.5), ta được:
a
2
= 1, 2ab = 0; b
2
+ 2ac + a = -2
λ
.

HONG DUC UNIVERSITY

1
2
1
ξξ
λ
ξ
ff
Mặt khác, từ (10.4)
ta có
ϕ
ln
là nguyên hàm của f. Với f = f
1
, ta có
ϕ
=
ϕ
1
sao cho:









Θ+


2
1
2
+=






+−
e
Trong đó và nghịch biến theo
( )
1
1
≈
ξθ
ξ
Tương tự, với a = -1, ta có 2c + 1 = 2
λ
hay c =
λ
- 1/2 và
(10.8)






2
2
2
+=






−
−
e

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong đó cũng gần với 1 và nghịch biến theo
Nghiệm tổng quát của (10.3) khi đủ lớn là:
( )
ξθ
2
ξ
ξ
( ) ( )
(10.10)
ξθξξθξϕ
λ
ξ
λ
ξ

±∞→
ξ
+∞→
ϕ
Vì vậy phải có C
1
= 0.
Do đó, nghiệm với đủ lớn có dạng:
ξ
( )
(10.11)
ξθξϕ
λ
ξ
2
2
1
2
2
.
2






−
−
= eC

( )
ξ
ξ
ξξ
ξ
ϕ
ξξ
d
dF
eFe
d
d
22
22
−−
+−=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
22222
2
2
22222
1
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ

2
222
21
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξ
ξ
ϕ
ξξξ
d
Fd
e
d
dF
eFe
d
d
−−−
+−+−=HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
nên (10.3) trở thành:
( )
( ) ( )
( )
ξλ

d
Fd
Ta tìm nghiệm của (10.13) dưới dạng chuỗi:
(10.14)
∑
∞
=
=
0k
k
k
aF
ξ
Khi
đó:
∑
∞
=
−
=
0
1
k
k
k
ka
d
dF
ξ
ξ

2
2
2
0
2
2
2
2111
k
k
k
k
k
k
k
k
k
akkakkakk
d
Fd
ξξξ
ξ
)()(
Do đó, (10.13) trở thành:
( )( ) ( )
[ ]
(10.15) 012221
0
2
=−−+++

+
21
122
2
λ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Thay thế trở lại (10.14), ta dược:
( )( )
( )( )






+
−−
+
−
++
+






+

Như vậy, F có dạng:
( ) ( ) ( )
(10.17)
ξξξ
1100
FaFaF +=
trong đó
( )
ξ
0
F
là hàm chẵn,
( )
ξ
1
F
là hàm lẻ.
Bây giờ ta chứng minh rằng
λ
phai có dạng một số bán nguyên, tức là
2
1
+= n
λ
với n là số tự nhiên.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Thật vậy, vi
( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(10.19)



−−=
−+=
ξξξ
ξξξ
FFFa
FFFa
11
00
2
2
Do
( )
ξ
F
, và cùng với nó là
( )
ξ
−F
, chỉ ngang cấp với







HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Nhưng nếu
λ
không bán nguyên thi mọi hệ số trong
( )
ξ
0
F
đều khác 0
và bắt đầu từ một vị trí nào đó sẽ cùng dấu
Nếu vậy,
( )
ξ
0
F
sẽ có cấp cao hơn bất kỳ biểu thức nào có dạng
n
ξ
Vi vậy, phai tồn tại n,
λ
sao cho
2
1
+= n
λ
Khẳng định này vẫn đúng nếu giả thiết a
1
≠ 0

2
−
=
với
( )
ξ
n
H
là các đa thức Hermite
( ) ( )
( )
(10.22)
22
1
ξξ
ξ
ξ
−
−= e
d
d
eH
n
n
n
n

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Phương pháp các toán tử sinh và huỷ

iQPipx ==
ˆ
ˆ
;
ˆˆ

(10.2)
ϕϕ
ωϕ
Ex
m
dx
d
m
=+−
2
2
2
22
22


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó hamiltonian (toán tử năng lượng) của dao động tử được viết lại
như sau:
2222
ˆ
2
ˆ

(
2
ˆ
22
QPH +=
ω

Biểu diễn tóan tử hamiltonian dưới dạng sau:
HH
ˆ
ω
=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tiếp theo, đặt:
( )
PiQa
ˆ
ˆ
ˆ
+=
2
1
( )
PiQa
ˆ
ˆ
ˆ
−=

+
PQQPiPQ
PPQiQPiQaa

[ ]
{ } { }
1
2
1
2
1
2222
−+=−+=
+
PQQPiPQaa
ˆ
ˆˆ
,
ˆˆ
ˆ
ˆˆ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Suy ra:
(10.24) 1
ˆˆ
=
+
aa

ˆ
ˆ
2
1
ˆˆ
22
−+=
+
PQaa

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, với
ω
ε

E
=
, phương trinh cho trạng thái dừng sẽ là:
(10.26)
εϕϕ
=






+
+

2
1
ˆˆˆ
2
1
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
1
aaaaaaHa
( ) ( )
=−=−=
++++++
aaaaaaaa
ˆ
2
1
ˆˆˆˆ
2
1
ˆˆˆ
++






−= aaa
ˆ

ˆ
H
Nếu
ε
ϕ
là nghiệm của (10.27) thi:
εε
ϕεϕ
++
= aHa
ˆ
ˆ
ˆ
1
h
ay
( )
εε
ϕεϕ
++
=− aaH
ˆˆ
ˆ
1
1
tức là
( )
( )
(10.28)
εε

sang trạng thái với nang lượng mới là
ω
+E
Do đó, nếu ta gọi
ω

là lượng tử nang lượng của dao động tử thi có thể gọi
+
a
ˆ
là toán tử sinh lượng tử nang lượng
hay ngắn gọn hơn ta gọi là toán tử sinh.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Theo như vừa nói thi ta có
1+
+
=
εε
ϕϕ
qa
ˆ
Gia sử các hàm
ε
ϕ
đã được chuẩn hoá, ta tim hệ số q. Vi:
εεεε
ϕϕϕϕ
++++

1
Haa
ˆ
ˆˆ
ha
y:
εε
ϕεϕ






+=
+
2
1
aa
ˆˆ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
nê
n:
2
1
2
1
2

2
1
ˆ
+
+
+=
εε
ϕεϕ
a

Tương tự:
(10.30)
1
.
2
1
ˆ
−
−=
εε
ϕεϕ
a

nên ta có thể gọi
a
ˆ
là toán tử huỷ (huỷ lượng tử nang lượng).