Trường………………………………
Khoa…………………………

Lý thuyết luyện thi
đại học môn toán

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC
I. Tam thức bậc hai:



x


,
2
ax bx c 0  


a b 0
c0
a0
0

a0
0
  
















 
2
+ bx + c = 0
Gi s g trình có 2 nghim
12
x ;x
thì:
12
b
S x x ;
a

b0
0
c0





  







 Pt có 2 nghim trái du
P0

 Pt có 2 nghim cùng du
0
P0







 Pt có 2 nghim phân bi

+ cx + d = 0
Gi s m
1 2 3
x ;x ;x
thì:
1 2 3
b
S x x x ;
a
    
1 2 2 3 3 1
c
x .x x .x x .x ;
a
   

1 2 3
d
P x .x .x
a


III. Đạo hàm:
BẢNG ĐẠO HÀM
(kx)' k

(ku)' k.u'

1
(x )' .x

1 u'
uu





(sinx)' cosx

(sinu)' u'.cosu

(cosx)' sinx

(cosu)' u'.sinu

2
1
(tan x)'
cos x


2
u'
(tanu)'
cos u


2
1
(cot x)'

log x '
xlna


 
a
u'
log u '
ulna


xx
(a )' a .lna

uu
(a )' u'.a .lna

Quy tắc tính đạo hàm
(u  v) = u  v
(uv) = uv + vu
2
u u v v u
vv

  




(v  0)

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 2

Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ.
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
 Tìm tnh ca hàm s.
 Xét s bin thiên ca hàm s:
o Tính y.
o m to hàm y bng 0
hoc không xnh.
o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn
vô cc và tìm tim cn (nu có).
o Lp bng bin thiên ghi rõ du co
hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.
 V  th ca hàm s:
o m un c th i vi hàm
s bc ba và hàm s ).
 Tính y.
 m t = 0 và xét du y.
o V ng tim cn (nu có) c
th.
o nh mt s c bit c
th m c th vi các trc to 
ng h th không ct các trc to 
hoc vic tìm to  m phc tp thì có th
b qua). Có th tìm thêm mt s m thu
th  có th v 
o Nhn xét v  th: Ch ra tr i


3. Hàm số trùng phƣơng
42
y ax bx c (a 0)   
:
 Tnh D = R.
  th luôn nhn trc tung làm tri xng.
 Các d th:
m phân bit  ab < 0
a > 0
a < 0 1 nghim phân bit  ab > 0
a > 0
a < 0 4. Hàm số nhất biến
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d

   

:
 Tnh D =
 
d
R\

y
c

m ca hai tim
ci xng c th hàm s.
 Các d th:
ad – bc > 0
ad – bc < 0 5. Hàm số hữu tỷ
2
ax bx c
y
a'x b'




(
a.a ' 0,
t không chia ht cho mu)
 Tnh D =
 
b'
R\
a'

.
  th có mt tim cng là

hàm s y = f(x) tm x
0
là h s góc ca tip
tuyn v  th (C) ca hàm s t m
 
0 0 0
M x ;f(x )
.     p tuyn
ca (C) tm
 
0 0 0
M x ;f(x )
là:
y  y
0
= f (x
0
).(x  x
0
) (y
0
= f(x
0
))
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của
đƣờng cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Vip tuyn  ca
(C): y =f(x) tm
 
0 0 0

Bài toán 2: Vip tuyn  ca
(C): y =f(x), bit  có h s c.
Cách 1: Tìm to  tim.
 Gi M(x
0
; y
0
) là tim. Tính f (x
0
).
  có h s góc k  f (x
0
) = k (1)
 Gic x
0
và tính y
0

= f(x
0
). T a .
Cách 2: u kin tip xúc.
 ng thng  có dng:
y = kx + m.
  tip xúc vi (C) khi và ch khi h 
trình sau có nghim:
f(x) kx m
f '(x) k



tan
1 ka




Bi toỏn 3: Vip tuyn ca
(C): y = f(x), bit i qua m
AA
A(x ;y )
.
Cỏch 1: Tỡm to tim.
Gi M(x
0
; y
0
) l tiú:
y
0
= f(x
0
), y
0
= f (x
0
).
p tuyn ti M:
y y
0
= f (x

A
)
tip xỳc vi (C) khi v ch khi h
trỡnh sau cú nghim:
AA
f(x) k(x x ) y
f '(x) k





(*)
Gii h c x (suy ra k). T t
p tuyn .

Dng 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
u kin c ng (C
1
): y = f(x)
v (C
2
): y = g(x) tip xỳc nhau l h
trỡnh sau cú nghim:
f(x) g(x)
f '(x) g'(x)





Th k t c:
f(x) = (x x
M
).f (x) + y
M
(3)
S tip tuyn ca (C) v t M = S nghim
x ca (3)

Dng 4: Tỡm nhng im m t ú cú th v
c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x)
v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(x
M
; y
M
).
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M

tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)



Vn 2. S TNG GIAO CA
CC TH
1. th (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x).
m ca (C
1
) v (C
2
)
ta gii l
m).
S nghim cng s giao
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 5

m c th.
2. th hm s bc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
ct trc honh ti 3
m phõn bit

32
ax bx cx d 0
cú 3

trong cỏc dng sau:
Dng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m (1)

m cng: (C): y = f(x) v d: y
= m
ng thi Ox
D th (C) ta bin lun s m
ca (C) v d. T nghim ca (1) Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Thc hi, cú th t g(m) = k.
Bin lun lun theo m.

c bit: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc ba bng th
c
c ba:
32
ax bx cx d 0
(a 0) (1) th (C)
S nghim ca (1) = S m ca (C)
vi trc honh

Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc 3
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v


Trng hp 3: (1) cú 3 nghim phõn bit
(C) ct Ox tm phõn bit




Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
(h.3)
y .y <0Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim
cựng du
Trng hp 1: (1) cú 3 nghi
bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh









Cẹ CT
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
y .y <0

bit  (C) ct Ox tm phân bit có hoành
 âm








CÑ CT
CÑ CT
f coù 2 cöïc trò
y .y < 0
x < 0, x < 0
a.f(0) > 0 (hay ad > 0)
Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đồ thị hàm số
 
y = f x
(hàm số chẵn)
Gi
(C): y f(x)


3. Đồ thị hàm số
 
y = f x

Gi
 
1
(C ): y f x
,
2
(C ): y f(x)
và
 
3
(C ): y f x
. D th v (C
3
) ta thc hin
c v (C
1
) ri (C
2
) (hoc (C
2
) ri (C
1
)).
là các
nghim ca (1).
 Tìm to  m I ca AB.
 T u kii xng qua d  I 
c m  x
A
, x
B
 y
A
, y
B
 A, B.

Chú ý:
 i xng nhau qua trc hoành

AB
AB
xx
yy






 i xng nhau qua trc tung

AB


LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 7

Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phƣơng pháp: i xng nhau
qua I  m ca AB.
 ng thng d qua I(a; b), có
h s góc k có dng:
y k(x a) b  
.
  m ca (C)
và d: f(x) =
k(x a) b
(1)
 u ki d ct (C) tm phân
bit

A
, x
B
là 2 nghim ca (1).
 T u kii xng qua I  I là
m cc k  x
A
, x

00
22
ax by c
ab



3. Din tích tam giác ABC:
S =
 
2
22
11
AB.AC.sinA AB .AC AB.AC
22

 Nhận xét: Ngoài nh
tp phng kt hp vi phn hình hc
gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các
tính cht hình hc, các công c gii toán trong
hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý
Vi-et trong tam thc bc hai.
3
2

1
Cosα
1
3
2

2
2

1
2

0
Tanα
0
3
3

1
3



Cotα


3

cosx
sinx
Tan
tanx
tanx
cotx
tanx
cotx
Cot
cotx
cotx
tanx
cotx
tanx
II. Công thức lƣợng giác:
1. Công thức cơ bản:
22
sin a cos a 1

tana.cota 1

2
2
1
1 tan a
cos a


2
2

3. Công thức nhân đôi, nhân ba:
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
(cos sin )(cos sin )
          
     
sin2 2sin .cos   

3
cos3 4cos 3cos   

3
sin3 3sin 4sin   

4. Công thức hạ bậc:
22
1 cos2x
cos x 1 sin x
2
(1 cosx)(1 cosx)

  
  

22
1 cos2x
sin x 1 cos x
2
(1 cosx)(1 sinx)


cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
       
        
       

 Một số chú ý cần thiết:
4 4 2 2
sin x cos x 1 2.sin x.cos x  

6 6 2 2
sin x cos x 1 3.sin x.cos x  

8 8 4 4 2 4 4
2 2 2 4 4
42
sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x
(1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx
1
sin 2x sin 2x 1
8
   
  
  



x k2
cosx cos k
x k2
   

   

   




tanx tan x k k      


cotx cot x k k      

Trường hợp đặc biệt:

sinx 0 x k ,k    


sinx 1 x k2 k
2

     



acot x acotx c 0  
(4)
Cách giải:
- 


III. Phƣơng trình
a.sinx b.cosx c

Cách giải:
- 
2 2 2
a b c
: 
- 
2 2 2
a b c
: 

22
ab

2 2 2 2 2 2
a b c
sinx cosx
a b a b a b

  



Biến thể:
a.sinx b.cosx csiny dcosy  


2 2 2 2
a b c d  

a.sinx b.cosx csin y

c.cosy
)

2 2 2
a b c

IV. Phƣơng trình
22
a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d  

Cách giải:
Cách 1:
- Xét
cosx 0 x k2 ,k
2

     



cosx 0


t 2 Do t 2sin x
4
  

  





Ta có:
2 2 2
t sin x cos x 2sinx.cosx  

2
t1
sin x.cosx
2




2
t1
a.t b c 0
2

  



Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT
 Xut hin
3

 Xut hin
3
và góc ng giác ln
dng bin th c
 Xut hin góc ln thì dùng công thc tng
  các góc nh.
 Xut hin các góc có cng thêm
k ,k ,k
42


thì có th dùng công thc tng thành
tích, tích thành tng hoc cung liên kt, hoc
công thc c làm mt các
k ,k ,k
42



 Xut hin
2


I. Công thức sin, cos trong tam giác:
Do
A B C   
nên:
a.
sin(A B) sinC

b.
cos(A B) cosC  

Do
A B C
2 2 2 2

  
nên:
a.
A B C
sin( ) cos
2 2 2


LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 10

b.
A B C
cos( ) sin
2 2 2



VI. Các công thức tính diện tích tam giác:
a
1 1 abc
S ah bcsinA pr
2 2 4R
p(p a)(p b)(p c)
   
   

.

0
: (3) có hai nghim phân bit
2
1,2
b b b 4ac
x
2a 2a
     


II. Định lý Vi–et (thuận và đảo)
   
2
ax bx c 0  
có hai
nghim
12
x , x
thì
12
12
b
S x x
a
c
P x .x
a


0:

x
 

y
Cùng du a
0:

x


0
x



y
Cùng du a 0 Cùng du a
0:

x



 c 2: chia
32
ax bx cx d  
cho
(
x 
) (dùn  
trình tích
2
(x )(ax Bx C) 0   
.
Chú ýng hp nghic ln
 gi.
 Cách nhẩm nghiệm hữu tỉ: Nghim là
mt trong các t s c ca d vc ca a)
II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt:
1. Phƣơng trình trùng phƣơng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (
a0
)
t t = x
2
,
t0
. (5)


tx
x

 
bc hai theo t.
3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến:
(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
t
ab
tx
2


 

4. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
cộng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vi a + c = b + d
 
trình bc 2 theo t
5. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
nhân:
    
2
x a x b x c x d mx    
với ab=cd=p

) = 0
L
12
1 2 1 2
1 2 2 1
12
a a a
a a b b b
a b a b c
b b d



  








Tip theo tin hành nhm tìm các h s a
1
; b
1
;
a
2
; b

t
g(x)

.

Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
I. Các công thức:
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

2
A, A 0
AA
A, A 0








2
2
22
B 3B
A AB B A
24

    








LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 12


A B B A B    


B0
AB
B A B




  



AB
B0
B0
A B A B









2
A 0 B 0
AB
AB
  







2
B0
B0
AB
A0
AB




  


2n
2n
B0
AB
AB







II. Các dạng toán thƣờng gặp:
1. Phƣơng trình vô tỷ:
a. Dạng cơ bản:

     
f x g x f x g(x) 0   


   
f x g x
 
   
2
g x 0
f x g x



3
A B C



 
33
3
A B 3 A.B A B C   

 S dng phép th :
33
A B C

 T
3
A B 3 A.B.C C  

 Th li nghim.
b. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn
mới:
22
ax bx c px qx r    

ab
pq


Cách giit

0 

Cách gii:
* Nu
 
P x 0
 
 
P x 0
pt
Q x 0









* Nu
 
P x 0
chia hai v cho
 
Px
t
 
 
Qx

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 13

 v dng:
2
t a t a c(t b) m     

Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến
thiên.
 
22
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0      

c. Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng, hệ
nửa đối xứng:
Dạng 1: Phƣơng trình dạng
n
n
x a b bx a  

Cách gii: t
n
y bx a
:
n
n
x by a 0
y bx a 0

  




Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
   
nm
a f x b f x c   

Cách gii: t
   
nm
u a f x ,v b f x   

K:
nm
u v c
u v a b



  


d. Nhân lượng liên hiệp:
Dạng 1nh có dng:
   
f x a f x b  

Cách gii: ng liên hp ca v 
ta có h:

có nghim duy nht, ta thc hic sau:
 Chc nghim x
0
c
 Xét các hàm s y = f(x) (C
1
) và y = g(x)
(C
2
). Ta cn chng minh mt hàm s ng bin
và mt hàm s nghch bi
1
) và (C
2
)
giao nhau ti mm duy nh x
0
.
ó chính là nghim duy nht cng trình.
Chú ý: Nu mt trong hai hàm s là hàm
hng y = C thì kt lun trên v
Dạng 2: Biện luận tham số m
 t n ph 
 Chuyn m theo n ph m
 Dùng công c  nh m tha bài
toán.
f. Phương pháp đánh giá:
 yu da vào các bt
ng th dánh giá so sánh v trái và
v phi. Nghii quyt


b.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)






hoặc
f(x) 0
g(x) 0






c.
2
B0
A
1
B
AB



LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 14

Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH
I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c






Cách gii:
t
11
22
ab
D
ab

,
11
x

D 0, D 0
hoc
y
D0
: H 
trình vô nghim.
3. D = D
x
= D
y
= 0: H có vô s nghim tha
a
1
x + b
1
y = c
1
hoc a
2
x + b
2
y = c
2
.
II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất:
 
 
1
y c ax
ax by c


vi
f(x,y) f(y,x)
g(x,y) g(y,x)






Cách giit
u x y
v xy





vi
2
u 4v

IV. Hệ đối xứng loại 2:
Dạng 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0







h(x;y) 0
f(x;y) 0






Dạng 2:
f(x, y) 0
g(x,y) 0





 có m
i xng.
Cách gii:
Cách 1i xng v dng
tích gii y theo x ri th i.
Cách 2: i xng v dng
f(x) f(y) x y  
v u.

V. Hệ đẳng cấp bậc 2:
22
1 1 1 1


f(x,y) 0
(ax by c)(px qy r) 0




    


Chú ý: Mt s bài toán cn pht n ph 
chuyn v các dt. 
 
th  gii.



 a > 1: Hàm s ng bin trên


4. Một số công thức cơ bản:

0
a 1 (a 0)


n
n
1
a
a




m n m n
a .a a




m n m n
a :a a




x
(0 a 1)

: y = log
a
x

x = a
y

1. Tập xác định:
D (0; ) 

2. Tập giá trị:
G  

3. Tính đơn điệu:
 0 < a < 1: Hàm nghch bin trên D
 a > 1: Hàm s ng bin trên D
4. Một số công thức cơ bản:

a
log x
ax


lnx
ex



c
log b
log b
log a



a b a
log b.log c log c


a a a
log (bc) log b log c


a a a
b
log log b log c
c





III. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ
bản:
1.
f (x)
a
b0










3.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
0 a 1
b0
x :f(x)






















  





5.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
0 a 1







6.
f (x) g(x)
aa












3.
a
b
log f(x) b
0 f(x) a
0 a 1


  




4.
a
b
log f(x) b
f(x) a
a1

1. Phƣơng trình mũ:
a. Đưa về cùng cơ số:
Vi a > 0, a  1:
f (x) g(x)
a a f(x) g(x)  

Chú ý: ng h có cha n s thì:

MN
a a (a 1)(M N) 0    

b. Logarit hoá:

 
f (x) g(x)
a
a b f(x) log b .g(x)  

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 16

c. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
f (x)
P(a ) 0

f (x)
t a , t 0
P(t) 0


Cách gii: t
f (x) f (x)
1
t a b
t
  

d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
f(x) = g(x) (1)
 n x
0
là mt nghim ca (1).
 Dng bin, nghch bin ca f(x)
 kt lun x
0
là nghim duy nht.
 Nng bin (hoc nghch bin) thì
f(u) f(v) u v  

e. Đưa về phương trình các phương trình
đặc biệt:
 : A.B = 0 
A0
B0










2. Bất phƣơng trình mũ:
Cách gii 
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:
MN
a a (a 1)(M N) 0    3. Phƣơng trình logarit:
a. Đưa về cùng cơ số
Vi a > 0, a  1:
aa
f(x) g(x)
log f(x) log g(x)
f(x) 0 (g(x) 0)







b. Mũ hóa
Vi a > 0, a  1:
a
log f (x)
b

log B
    5. Hệ phƣơng trình mũ – logarit:
Cách gii: Kt hp các cách gii c
 logarit  trên và phn gi
h i s. Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 17

NGUYấN HM TCH PHN
BNG NGUYấN HM






1
x

ln x C

1
ax b

1
ln ax b C
a


x
a

x
a
C
lna

x

sin(ax b) C
a


2
1
cos x

tgx + C
2
1
cos (ax b)

1
tg(ax b) C
a


2
1
sin x

-cotgx + C
2
1
sin (ax b)

1
cotg(ax b) C
a

ln sinx C

Vn 1: NGUYấN HM
I. nh ngha:
Hm s

Fx
gi l nguyờn hm ca hm s

fx
trờn

a,b
nu

F x f x , x a,b


.
Chỳ ý: Nu

Fx
l nguyờn hm ca

fx
thỡ
mi hm s cú dng

f x dx F x C


II. Tớnh cht:
1.

kf x dx k f x dx; k 0


2.

f x g x dx f x dx g x dx




3.

f x dx F x C

thỡ

f u du F u C
Vn 2: TCH PHN
I. nh ngha:

b

4.

b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx


5. Nu f x 0, x a;b
thỡ

b
a
f x dx 0


6. Nu

f x g x
thỡ

bb
aa
f x dx g x dx ,
x a;b

.
b
a
f x x dx f t dt









II. Nhng phộp i bin ph thụng:
Hm s cú cha

n
(x)

t
t (x)

Hm s cú mu s
t t l mu s
Hm s cú cha
(x)

t
t (x)
hay

1
t
x


Tớch phõn cha
cosxdx

t
t sinx

Tớch phõn cha
2
dx
cos x

t
t tgx

Tớch phõn cha
2
dx
sin x

t
t cotgx
.
Tớch phõn cha
22
ax


bb
b
a
aa
uv dx uv vu dx




hay

bb
b
a
aa
udv uv vdu


c thc hin:
c 1:








u u(x) du u (x)dx (ẹaùohaứm)


P(x)
cosxdx

P(x).sinxdx


P(x)
sinxdx

P(x).lnxdx


lnx
P(x)
Chỳ ý :
Tớch phõn hm hu t:
- Nu mu l bc nht thỡ ly t chia mu
- Nu mu l bc hai cú nghi
hng thc
- Nu mu l bc hai cú hai nghing
nht thc
- Nu mu l bc hai vụ nghim ti bin s.
Tớch phõn hm lng giỏc:
- Nu sinx,cosx cú s n thỡ h bc
22
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
22



LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 19

Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA
DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Gi s cn tính tích phân
b
a
I f (x) dx

.
Bƣớc 1. Lp bng xét du (BXD) ca hàm s f(x)
n [a; b], gi s f(x) có BXD:
X
a

x
1x
2b
f(x)

+
0

a
S f(x) g(x) dx


2. Trƣờng hợp 2:
Din tích hình phng S gii hn bi các
ng
y f(x), y g(x)
là:
S f(x) g(x) dx





 
, 
là nghim nh nht và ln
nht ca f(x) = g(x).
Chú ý:
 Nu trong khong
 
; 
 
f(x) g(x)
không có nghim thì:
 
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx



, x = 0, y = c và y = d
(c < d) quay quanh trục Oy là:
d
2
c
V g (y)dy


3. Trƣờng hợp 3. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng
y = f(x),
y g(x)
, x = a và x = b
 
 
a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b    
quay
quanh trục Ox là:
b
22
a
V f (x) g (x) dx  


4. Trƣờng hợp 4. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng x = f(y),
x g(y)
, y = c và y = d
 
 

2 2 2
AB AC BC


2
AH BH.CH
2
AB
= BH.BC

2
AC CH.BC


2 2 2
1 1 1
AH AB AC



AH.BC AB.AC


b c b c
sinB , cosB , tanB ,cot B
a a c b
   

a
2(b c ) a
m AM
4



1.3 Các công thức tính diện tích:
Tam giác ABC:
ABC
1
S BC.AH p.r
2
abc 1
.AB.AC.SinA
4R 2.
p(p a)(p b)(p c)



   

Hình thang ABCD
(AB // CD), đƣờng cao DH:
ABCD
1
S (AB CD).DH
2



ABC
a3
S
4



Tam giác vuông tại A:
1
S AB.AC
2
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 21

1.4 Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác:
a. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường:
Tam giác ABC có các góc A;B;C các ci di ng a;b;c. Chu vi 2p.
Din tích S
Tính chất:
 Hai tam giác bng nhau thì các yu t ng bng nhau.
 Hai ng dng thì :
 T s gia các yu t( không k góc; và ding bng nhau và bng t
s ng dng.
 T s din tích b s ng dng.
 Hai ng dng nu có 1 yu t v  ng bng nhau thì bng nhau.
b. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông:
Do 2 tam giác vuông có góc vung bng nhau nên có s c bit so vi

c gng tròn Euler.

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 22

2. Kiến thức hình học 11:

Quan hệ song song:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
Mng thng và mt mt phng
c gi là song song nu chúng
m chung.
a / /(P) a (P)   

a
(P)

Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d không
nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với đường thẳng a nằm trên
mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
song song với mặt phẳng (P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

(Q)
(P)

ĐL3: Nu mng thng song
song vi 2 mt phng ct nhau thì
nó song song vi giao tuyn ca hai
mt ph
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a








a
d
Q
PBài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là song
song nm
chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)   

với mặt phẳng kia.
(P)/ /(Q)
a / /(Q)
a (P)






a
Q
P

LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 23

ĐL3: Cho 2 mt phng song song.
Mt phng nào ct mt phng này
t mt phng kia và 2
giao tuyn song song vi nhau.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


  




a b A



  





d
a
b
P

ĐL2: (định lý 3 đƣờng vuông
góc): Cho đường thẳng a có hình
chiếu trên mặt phẳng (P) là đường
thẳng a’. Khi đó một đường thẳng b
chứa trong (P) vuông góc với a khi
và chỉ khi nó vuông góc với a’.
a (P),b (P)
b a b a'
a' a / (P)



  









Q
P
a

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vuông góc với (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d



   





d
Q
P

P
a

ĐL4: Nu hai mt phng ct nhau
và cùng vuông góc vi mt phng
th ba thì giao tuyn ca chúng
vuông góc vi mt phng th ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)



  





a
R
Q
PBài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC

1.
 
 

P / / Q
aQ
aP








4.
 
 
   
aP
P / / Q
aQ









5.
 
   

song song:
Khong cách ging thng a và mt phng (P)
song song vng thng a là khong cách t m O
bt k thung thn mt phng (P)
a
H
O
P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khong cách gia hai mt phng song song là khong
cách t m thuc mt phn mt phng kia.
H
O
Q
P

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau :
Khong cách ging th dài
n vuông góc chung cng th
B
A
b
a