Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
2
Chương 4 . GIỚI HẠN
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

= 0
Đònh lí : Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) . Nếu |u
n
|
≤
v
n
, n
∀
và limv
n
= 0 thì limu
n
= 0

B. Giải Toán
Dạng toán : Tìm giới hạn 0 của dãy số
Cách 1 : Sử dụng các tiêu chuẫn a, b, c, ,d ,e kết hợp với đònh lí .
Cách 2 : Dùng định nghĩa
Ví dụ 1 : Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0 .
a) u
n
=
3
1
n

=
3
11
,
nn
≤
n
∀
.
Mà lim
1
0
n
=
, do đó theo đònh lí trên thì limu
n
= 0
b) Vì | cosn
2
| ≤ 1 , n∀ nên | u
n
| ≤
1
n
, n
∀

Mà lim
1
n

2n
+ 3
2n
≥ 2.
2n 2n 2n
2.3 26=
=> 0 < u
n
≤
n
n
2n
26 1
6
26
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Mà lim
()
n
1
0
6
= , do đó theo đònh lí trên limu
n
= 0
Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa, chứng minh

n
<
ε Ù n > 7 và n >
2
ε
. Như
vậy nếu gọi n
0
là số nguyên > 7 và >
2
ε
, thế thì với mọi
ε
> 0 cho trước , ta có : | u
n
| < ε , ∀ n > n
0
. Theo
đ
ịnh nghĩa limu
n
= 0
Chẳng hạn v
ới ε = 0, 001 thì n
0
> 7 và n
0
>
2
200

n
=
2
n1
n3
+
+

4.2 . u
n
=
nn
2n
n(n 2)
(2n 2)
+
+

4.3. u
n
=
n
nn n
15
2(9 16)+

4.4. u
n
=
sinn.cosn

n
. Mà lim
1
0
n
=
nên limu
n
= 0
b) |u
n
| =
11 2 21
nn2n(n2)2nn
−= <=
++
. Mà lim
1
0
n
=
nên limu
n
= 0
c) Vì 0 < q =
1
4
π
< nên limu
n

, thế thì với mọi
ε
> 0 cho trước , ta có : | u
n
| < ε , ∀ n > n
0
.
Theo đ
ịnh nghĩa limu
n
= 0
4.2 . | u
n
|=
n
nn
2n 2n
2n n 2n n 2n
n(n 2)
(n 2n) (n 1) 1
(2n 2) 2 (n 1) 2 (n 1) 2
+
++
⎛⎞
=≤=
⎜⎟
+++
⎝⎠

Mà lim

Mà lim
n
1
0
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
nên limu
n
= 0 .
4.4. | u
n
| =
sinn.cosn 1 1
5n 5 5n 1 n
≤≤
++

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
4
Mà lim
1
0
n
= nên limu
n
= 0 .

n
= 2.3
n
, suy ra : | u
n
|
≤

n
n
n
2.3 3
2.5 5
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Mà lim
n
3
0
5
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
vì 0 <
2
1

uL=
b) N
ếu u
n
≥ 0 với n∀ thì L ≥ 0 và lim
n
uL=

Đònh lí 2 : Giả sử limu
n
= L , limv
n
= M và c là một hằng số . Khi đó :
a) * lim(u
n
+ v
n
) = L + M * lim(u
n
– v
n
) = L – M
* lim(u
n
.v
n
) = LM * lim(cu
n
) = cL
b) N

q + u
1
q
2
+ . . . = limS
n
=
1
u
1q
−

B. Giải Toán
Dạng 1 : Tìm giới hạn bằng định nghĩa .
limu
n
= L Ù lim(u
n
– L) = 0

Ví dụ 1 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a) lim
2
1
7
n
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

lim(u 2) lim
n
−=

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
5
Mà
sin n 1
nn
1
lim 0
n
⎧
≤
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
nên
sin n
lim 0
n
= , suy ra limu
n
= 2
Dạng 2 : Tìm giới hạn của


c)
2
2n 13
(n 5)
−
+

Giải a) Ta có :
2
222
n
2
222
2n n 1
nnn
u
3n 5n 1
nnn
−+
=
+−
( chia tử và mẫu cho n
2
) =
2
2
11
2
nn

22
33
2n 1 3 n 1 3
.21
nn nn
4n 5) 5
4
nn
−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=
−
⎛⎞ ⎛⎞
−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Vì lim
22
2
1133
2 lim2 lim 2 ;lim 1 lim lim1 (0 1) 1
nnnn
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
−= − = −= − =−=
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠

+
⎜⎟
⎝⎠
( chia tử và mẫu cho n
2
) =
2
0
0
1
=

Dạng 3 : Dạng sử dụng công thức : lim q
n
= 0 nếu | q| < 1
Ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa a
n
với a lớn nhất . Nhớ các quy tắc :
a
n + m
= a
n
. a
m
;
n
nm
m
a
a

2n n 2n 1
3155
4.3 2.15 7.5
++
−
−+
++

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
6
Giải a) Ta có : limu
n
=
n
nn
nn
nn n
nn
2
5.2 6.3
56
3
33
lim lim
3.2 2.3
2
3. 2
33
3

do
2
01
3
<<)
b) Tr
ước hết ta đưa về các lũy thừa dạng q
n
với | q| < 1 . Ta có :
u
n
=
nn n
nn n
3.9 15 25.25
7
4.9 2.15 .25
5
−+
++

Chia từ và mẫu cho 25
n
: limu
n
= lim
nn
nn
915
3. 25

⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
do 0 <
915
1
25 25
<
< )
Ví dụ 4 : Tính các tổng vô hạn các số hạng của cấp số nhân sau :
a)
S = 1 -
11

24
+− b) S = sin
2
x + sin
4
x + sin
6
x + . . . (x ≠ k
2
π
+
π )
Giải : a) p dụng công thức : S =
1
u
1q
−

1q 1sinx cosx
===
−−

*
Dạng 4 : Tìm giới hạn bằng cách thiết lập công thức u
n
theo n
Ví dụ 5 : Tìm limu
n
biết u
n
=
22 2 2
111 1

112 233 n n
++++
+++ +

Giải
Ta rút gọn u
n
bằng cách nhận xét số hạng tổng quát

2
1111
kkk(k1)kk1
==−
++ +

n
đònh bởi :
1
n
n1 n
u1
1
uu ;n1
2
+
=
⎧
⎪
⎨
⎛⎞
=+ ≥
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩

Chứng minh u
n
= 2 - 2
n
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

•
Giả sử u
k
= 2 – 2.
k
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, th
ế thì theo giả thiết quy nạp : u
k+1
= u
k
+
k
1
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ư u
k+1
= 2 – 2.
k
1
2
⎛⎞

⎝⎠
= 2 – 0 = 2
Ghi chú : Ta có thê thiết lập trực tiếp công thức (1) bằng nhận xét u
n
– u
n – 1
là một cấp số nhân công bội
1
2

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.7. Chọn câu đúng :
3n sin(2n 4)
lim
2n
++

a) 1 b) 2 c) 0 d)
3
2

4.8. Chọn câu đúng : lim
2n 1
3n
−
−
=
a)
2
3

4.11. Chọn câu đúng : lim
n1 2n1
n4 n1
35
225
+−
+−
−
+
=
a) – 5 b) – 1/5 c) 3/16 d) đáp số khác

4.12. Chọn câu đúng : Tổng vô hạn của cấp số nhân sau - 4 + 2 – 1+ . . .bằng :
a) 16 b)
16
3
c) 6 d) đáp số khác
4.13. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
sin(2n 1)
lim 3
n
+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
b)
2
2n 3 cosn

+−

d)
3
32
2
nnn
n2n32n7
−+
−++−
e)
3
2
nn7n1
(2n 1)
−
++−
+

4. 15. Tìm giới hạn các dãy số sau :
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
8
a)
nn1
nn
4.3 7
2.5 7
+
+

xx −+− d)
4.17. Trong mặt phẳng Oxy , một ốc sên bò từ gốc O theo phương Ox 1 m , rồi quẹo trái theo phương Oy
rồi lại quẹo trái theo ph
ương Ox và cứ thế , khoảng cách bò lần sau bằng nữ a khoảng cách trước đó . Hỏi
bò mãi thì ốc sên sẽ đ
ến vò trí nào ?
4. 18. Biểu diễn các số thập phân tuần hòan sau đây dưới dạng phân số , ví dụ :
38
1,151515
33
= . là số
thập phân tuần hòan có chu kì là 15
a) 0, 123123123. . . b) 1, 272727 . . .

4.19. Cho một góc xOy = 30
0
. Từ điểm A trên Ox với OA = 1 , đựng AA
1
vuông góc Oy . Tiếp theo dựng
A
1
A
2
vuông góc Ox , rồi A
2
A
3
vuông góc Oy và cứ thế mãi mãi .
Tình đ
ộ dài đường gấp khúc AA

−− −

d)
11 1 1

n1 2 2 3 n n1
⎛⎞
+++
⎜⎟
++ ++
⎝⎠

*
4. 22. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
11 1

21 12 32 23 (n 1)n nn 1
+++
++ +++

b)
22 22 22
23 n

(2 1) (3 1) (n 1)
+++
−− −
22n 2
+
−= ==> =

4.8. (d) lim
1
2
2n 1 2
n
lim 2
3
3n 1
1
n
−
−
===−
−−
−

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
9
4.9. (b) lim
2
22
22
2
1
3(2 )

1
nn
++ −
++
( chia T và M cho
3
n)
=
0
0
1
=

4.11. (a) lim
n1 2n1
n4 n1
35
225
+−
+−
−
+
=
n
nn
n
nn
31
1
3


4.13. a) Ta có : lim (u
n
– 3) =
sin(2n 1)
lim
n
−+

Mà
sin(2n 1) 1
nn
1
lim 0
n
⎧
−+
≤
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
nên lim(u
n
– 3) = 0 => limu
n
= 3

lim(u 2) 0 lim u 2−==> =

4. 14. a) limu
n
=
1
3
(Chia tử và mẫu cho n
2
)
b) limu
n
= 0 ( Chia tử và mẫu cho n
4
)
c) limu
n
=
2
3
2.3.3 2
2.5 5
= ( Chia tử và mẫu cho n
4
)
d) limu
n
=
3
11

7
01
5
2. 1
7
⎛⎞
+
⎜⎟
+
⎝⎠
==
+
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
10
b) limu
n
= lim
n
n
2
3
03
3
04

+−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=
9
2
=

4. 16. a) S =
1 10000
1000.
1
9
1
10
=
−
b) S =
22
11
1.
1cosx sinx

2816
−
lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu
1
2
, công bội -
1
4
. Suy ra tung độ c
ủa ốc sẽ tiến đến vị trí la :
11 2
.
1
25
1
4
=
+

V
ậy ốc sên sẽ bò đến điểm
42
;
55
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

4. 18. Ta viết số thập phân dưới dạng một tổng vô hạn :
0,123 + 0, 123123 + 0, 123123123 . . . .

Các tam giác OAA
1
, OA
1
A
2
. . . là các tam giác nữ a đều , cho ta :
23
12
112
AA
AA
3

AA AA 2
=== , suy ra các
đoạn AA
1
, A
1
A
2
, A
2
A
3
. . . lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu AA

www.saosangsong.com.vn
11
4. 20. Các cạnh hình vuông này bằng
1
2
cạnh hình vuông
tr
ước nó . Do đó các chu vi hình vuông lập thành một cấp số
nhân số hạng đâu là 4 ( chu vi hình vuông ABCD) , công bội
là
1
2
, v
ậy tổng các chu vi là : 4.
1
1
1
2
=
−
42
4(2 2)
21
=+
−
(m )
*4. 21. a) Tử là tổng n + 1 số hạng của một cấp số cộng với u
1
= 1 , d = 3 và mẫu là tổng của n + 1 số
hạng c

1
= 1 , q = 2 và của
mẫu là tổng c
ủa n + 1 số hạng của một cấp số nhân với v
1
= 1 , q’ = 5 . Vậy : u
n
=
n1
n
n1
n
12
3.
12
13
2.
13
+
+
−
−
−
−
=
n
n
1
2
2

mà
1111
(k 1)(k 1) 2 k 1 k 1
⎛⎞
=−
⎜⎟
−
+−+
⎝⎠

=> u
n
=
111111111 1 1

213 24 35 46 n1n1
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
−+−+−+− + −
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
−+
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦

=
1111
1
22nn1
⎡⎤

6
) + . . .+ ( a
n-2
- a
n
) + ( a
n – 1
– a
n + 1
)

= a
1
+ a
2
- a
n
– a
n + 1

d) u
n
=
()
1n11
1223 nn1
nn
+
−
−+ − + −− + +=

+

=> limu
n
= 1
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
12
b) Ta có :
22
22 22 22 2 2
kk1(k1)(k1)1.11
.
44
(k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)
⎛⎞
+−−
=− =−
⎜⎟
−+− +− −+
⎝⎠
=> u
n
=
=
222222 22 2 2
1111111 1 1 1 1

4
132435 (n2)n(n1)(n1)

= 2 , u
2
=
3
2
, u
3
=
31 4
3
3
2
−
=
. Ta chứng minh : u
n
=
n1
n
+
, n
∀
bằng phưong pháp quy nạp
. Suy ra : limu
n
= lim
n1
1
n
+

n
→ -
∞

CHÚ Ý : (1) lim n
k
= +
∞
, lim
m
k
n= +
∞
, k , m : số nguyên dương .
(2) N
ếu lim u
n
= 0 và u
n
≠ 0 , n∀ thì lim
n
1
|u |
=
+∞
(3) N
ếu lim u
n
= + ∞ ( hoặc – ∞ ) thì lim
n

∞

lim(u
n
. v
n
)

+ ∞ ? +
∞
-
∞

lim
n
n
u
v
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠+
∞+
∞
(L > 0)

∞
∞
( đã xét một phần ở §2.Dạng 2 ) , gọi là dạng vô đònh . Ta thường phải sử dụng các thuật toán để khử
các dạng này , được trình bày trong phần sau .

B. Giải Toán
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
13
Dạng 1 : (dạng
∞
∞
)
Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
3
(2n 1)(3n 1)
(2n 4)
−+
−
b)
2
2
4n n 1
(2n 1) (n 6)
−−
−+
c)
32

b) Chia tử và mẫu cho n
3
(lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu), ta được :

23
n
2
41 1
0
nn n
lim u lim 0
16
2.1
(2 ) (1 )
nn
−−
===
−+

c) Xét u
n
=
2
32
2n 7n 9
nnn8
++
−++
> 0 , n∀
Ta có : lim u

nếu k m
−
−
⎧
=
⎪
⎪
++
⎪
=<
⎨
++
⎪
∞>
⎪
⎪
⎩

Ví dụ 2 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
3
32
2
8n n 1
nn
++
+
b)
3
2

11
lim 8
8
nn
2
11
lim 1
n
++
==
+

b) Chia tử và mẫu cho n
2
=
4
n , ta được :
limu
n
=
34
2
11 6
nn n
lim
1
2
n
++
+

Tương tự :
33
22
33
3
P(n) Q(n)
P(n) Q(n)
P(n) P(n)Q(n) Q(n)
−
−=
++Ví dụ 3 Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
22
nn28 n4n5++ − − + b)
2
4n 20n 1 2n 5
+
+− −
c)
3
32
( 8n n 1 2n 2007)+−−+
Giải a) Ta có :
limu
n
= lim
22

(4n 20n 1) (2n 5) 24
lim lim
4n 1 2n 5 4n 20n 1 (2n 5)
++−+ −
=
++ − + ++ + = lim
2
24
0
n
0
22
20 1 5
42
nn n
−
==
+
++++

c) imu
n
= lim(
3
32
( 8n n 1 2n) 2007+−− +
= lim

=
11
2007 2007
444 12
+=
++Ví dụ 4 : Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
3
nnn8+−+ b)
n7 3n2+− +
c)
5
4n 1 3n 2
−
−+

Giải :
a) Ta có limu
n
= lim
3
n(
2
3
11 8
1
n

Ghi chú : Ở câu (a) , tuy là dạng vộ đònh ∞ -
∞
nhưng dãy số u
n
=
3
nn
+
tiến đến vô cục “ nhanh hơn “
dãy số v
n
= n – 8 nên lim(u
n
– v
n
) = + ∞ .
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
15
Những giá trị của u
n
và v
n
tương ứng với các giá trị rất lớn của n trong bảng dưới đây cho thấy điều đó :

N 100 1000 10000
u
n
1000,04 31.622 1000000
v

- v
n
2,637 2,513 2,501
b) limu
n
=
72
lim n( 1 3 )
nn
+− +

Vì lim
72
nvàlim1 3 130
nn
⎛⎞
=+∞ + − + = − <
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
nên
n
lim u
=
−∞

c) Chia tử và mẫu cho
n
5
n

++ + + − −
( nhân tử và mẫu cho lượng liên hiệp )
= lim
2
2
5n 9 4n 5 2n 1
.
4n 4
n3 n n
+++−
+
++ +

= lim
2
51
9
42
5
nn
n
.
4
31
4
11
n
nn
++−
+

31
21
nn
51
12
nn
+− +
+−+
=
21
1
12
−
=−
−

Cần nhận biết hai dãy số an + b và an + b’, hoặc an
2
+ bn + c và an
2
+ b’n + c’ . . . ( tức các đa thức
cùng bậc và hệ số của bậc cao nhất bằng nhau ) là hai dãy số‘ “ đồng tài ngang sức “

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.24. Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến +
∞
?
(I)
2n 7 n 4+− + (II)
22

4.27. Chọn câu đúng :
lim
(
)
2
4n 2n 7 2n 3)++−+ =
a) 7/2 b) – 5/2 c) 0 d) +
∞

4.28. Chọn câu đúng : lim
22
nn1 n2n7
n7 n3
+−− + +
+− +
=
a) 0 b) – 1 c) +
∞
d) –
∞

4. 29. Tìm giới hạn các dãy số sau :
a)
3
2
2n 4
nn1
−
++
b)

a)
2
2
nn5
2n 1 4n 4n 3
−+
+− + +
b)
3
3
42
n1n
n1n
+−
+
−

c)
2
2
2n 4n n
2n n 8n
−+
−+
d)
3
3
2
n5 8n n1
n2 n 7

e)
3
23 2
4n 1 n 7 2n 1++−+
*4.33. Cho dãy số u
n
= 1 +
11 1

23 n
+++. Chứng minh limu
n
= +
∞

D. Hướng Dẫn – Đáp Số
4.24.(a) *
n
74
lim u lim n 2 1
nn
⎛⎞
=+−+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= +
∞

*

n
lim u lim
31
n2 1
nn
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎝⎠
=
31
21
−
−

4.26. (b)
n
44
2n 4
lim u lim n
nn3 n3n1
−+
=
+++ + +
= - 2

+−− + +
+− +
=
22
n8 n7 n3
lim .
4
nn1 n2n7
−
−+++
+−+ + +

= lim
22
8
1
n7 n3
n
.
4
11 27
11
nn nn
−−
++ +
+− + ++
= - 1 . ( +
∞
) = -
∞

.
b) limu
n
=
34
n2 1
nn
⎛⎞
+− + =+∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
vì lim
34
n;lim2 1 211
nn
⎛⎞
=
∞+−+=−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

c) limu
n
= lim
1
0
34
n2 1

23
3
13 13
(1
nn
n
n
−−−+ = 0 – 1 = - 1
e) Chú ý :
636
39 48
nnvànn== , ta được :
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
18
limu
n
= lim
6
9
6
1
n1
n
⎛⎞
−=+∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠



d) limu
n
= 1 e) limu
n
= 2
4. 31. a) limu
n
= lim
2
2
5 2n 1 4n 4n 3
.
2
nn5
−++++
−
++
= lim
2
2
143
24
5
nnn
.
2
5
11
n

nn
++
⎛⎞
+−+ −
⎜⎟
⎝⎠
=
2
3

c) lim u
n
= lim
1
24
n
8
21
n
−+
−+
= 0
d) limu
n
= lim
3
23
2
511
18

44
4n 8
lim u lim(2n 1) 2 2
22
2n n 1 2n 3n 1
−−
=+ ==−
−++ + +

c)
n
22
515
lim u lim(3n 1)
2
nn7 nn2
=− =
+++ ++

d)
Ở đây
2
4n n+ “ đồ ng tài ngang sức” với
2
4n 2n= , còn
3
32
8n 3n+ thì “ đồ ng tài ngang sức” với
3
3


Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
19
e) Ở đây
2
4n n+ “ đồ ng tài ngang sức” với
2
4n 2n= , còn
3
32
nn1
+
+ thì “ đồng ngtài ngang sức
với
3
3
nn=

333
23 3 3 2
n
limu1lim(4n1n72nn72nn72n)=+ + + − + + + −
= 1 +
33
32 3
lim n 7( 4n 1 2n) 2n( n 7 n)
⎡⎤
++−++−
⎣⎦

11
22
11111
34442
111111111
567888882

111

21 22
−
=
+>+=
+++>+++=
++ >
+

Cộng , ta được :
m
2
m
u1
2
>+ . Theo đ
ịnh nghĩa , ta suy ra : limu
n
= +
∞
.
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . HÀM SỐ LIÊN TỤC


0
xx
lim f(x)
→
= + ∞ ( -
∞
) Ù ∀ (x
n
), limx
n
= x
0
=>
n
lim f(x ) = +
∞
( -
∞
)
2. Gi
ới hạn tại vô cựïc .

x
lim f(x)
→+∞
= L Ù
∀
(x
n

+∞
c)
k
x
nếu k chẵn
lim x
nếu k lẻ
→−∞
+∞
⎧
=
⎨
−∞
⎩

d)
0
xx
lim C C
→
= ( C : hằng số )
3. Đònh lí về gi
ới hạn :
Đònh lí 1 : Biết
0
xx
lim f(x)
→
= L ,
0


f(x)
g(x)
=
L
M

Đònh lí 2 : Biết
0
xx
lim f(x)
→
= L , thế thì :
a)
0
xx
lim f(x) L
→
= b)
0
3
3
xx
lim f(x) L
→
=
c) N
ếu f(x) ≥ 0 ,
0
xx∀≠ thì L ≥ 0 và

0
xx
lim f(x)
→
= f(x
0
)
¾ Các đònh lí 1 và 2 trên vẫn đúng khi thay x
0
bằng
±
∞
.
B. Giải Toán .
Dạng 1 : Tìm
0
xx
lim f(x)
→
biết hàm số f(x) là hàm số lập bởi các phép tóan như cộng , trừ , nhân
chia … các hàm số đa thức và xác đònh tại x
o
.
Khi đó giới hạn là f(x
0
) .
Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :
a) f(x) =
2x 1
x2

3
x0
803
limf(x) f(0) 5
10
→
−+
=
==
+Dạng 2 : Tìm
()
()
→∞x
fx
lim
gx
trong đó f(x) và g(x) là các đa thức hay biểu thức tiến tới vô cựïc khi
x tiến tới vô cựïc .
• Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất , rồi dùng :
k
x
1
lim 0
x
→∞
=


−
−+
d)
x
lim
→−∞

32
2x 9x 1 3x 2
4x x 1 x 1
−
+− +
−
−++−

Giải
a)
3
xx
2
15
2
xx
lim f(x) lim
1
3
x
→+∞ →+∞
−+
=

−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
( Chiatử và mẫu cho x
4
= (x
2
)
2
= x
3
. x )
Chương 4. Giới hạn
www.saosangsong.com.vn
21
=
()
2
3
300
9
(2 0) (5 0) 40
−+
=
−+

c)
2
xx
2

4
xx
xxx
→−∞ →−∞
−−+−−
−
=
+− − +
−
=
29
3
4
−
=
−

Dạng 3 : Tìm giới hạn vô cực .
Chú ý : a)
o
n
01n1
x
o
nếu a 0
lim (a x a x )
nếu a 0
−
→+∞
+∞ >

xx
lim
→
[f(x)g(x)] = +
∞
,
0
xx
lim
→
[f(x)]
n
= +
∞

c) Nếu
0
xx
lim
→
f(x) = 0 và
0
xx
lim
→
g(x) = L
≠
0 thì :
*
0

lim ( 1 3x 2x)
→−∞
−−
c)
x
lim
→+∞
(
2
xx1 4x5++− −
) d)
x1
lim
→
(
2
2x 1
.( 3x 2 4x 5)
(x 1)
+
−
−+
−
e)
2
x
2x 4x
lim
3x 1
→+∞

22
xx
11 4
lim f(x) lim x( 1 )
xx xx
→+∞ →+∞
5
=++−−
= +
∞
vì
22
xx
11 45
lim x và lim 1 1 0 1
xx xx
→+∞ →+∞
⎛⎞
=+∞ + + − − = − =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

d)
2
x1
2x 1
lim
(x 1)
→

xx
+
1
−
= + ∞ vì giới hạn của tử là 2 , của mẫu là 0

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.34 Chọn câu đúng :
2
2
x1
2|x| x x
lim
xx1
→
++
−+
=

a) 0 b) 1 c) 2 d) +
∞

4.35. Chọn câu đúng :
x
5x 2
lim
4x 1 x 3
→+∞
−
=


a)
1
21
+
b) 0 c) 21
−
d) +
∞

4.38. Chọn câu đúng :
2
x
lim (5 x 4x x 6)
→−∞
−+ ++ =

a)
56−
b) 0 c) +
∞
c) –
∞4.39. Chọn câu đúng :
23
22
x
(2x 4) (3 x)

lim
(2x 3) x x 3
→+∞
++
−+ +
=
a)
1
4
b)
2 c) 0 d) +
∞

4.42. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
2
x0
xx1
lim
|x 3|
→
++
−
b)
2
4
x3
x1
lim

23
a)
2
2
x
2x 3x 5
lim
xx4
→−∞
−+
++
b)
22
22
x
(2x x 1)(x 1)
lim
(3x 1)
→+∞
+− −
−

c)
2
3
3
x
2x 1 x x
lim
8x x 1

2
x
2|x| x x 1
lim
xx4
→−∞
+
++
+−

4.44.
Tìm các giới hạn sau :
a)
2
x1
x33x
lim
2x | x 1|
→−
+−
−
b)
x
lim ( 5 2x x 5)
→−∞
−
−+
c)
x
lim

sinx
lim
x2
→+∞
+
b)
2
2
x
cosx sin3x
lim
xx4
→+∞
+
++

c)
2
x
x(1sinx)(1 cosx)
lim
(2 sinx cosx)(x x 1)
→+∞
++
++ ++
d)
2
x
lim (sin x x x 3
→+∞

2
xx
19x 19
lim f(x) lim
2x 5 4x x 6
→−∞ →−∞
+
==
+− ++
19 19
22 4
=
+4.37. (
d)
xx
13
lim ( 2x 1 x 3) lim x 2 1
xx
→+∞ →+∞
⎛⎞
+− + = + − +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= +
∞


4.40.( b)
22
x2 x2
x2x x2x
lim lim
x4x4 (x2)
→→
++ ++
=
−+ − −−
= -
∞
vì tử
6,mẫu 0 và 0→→<

4.41.(b) Chia tử và mẫu cho x
2

3
xxx= :
3
xx
2
21
2
x
x
lim f(x) lim
13 3
(2 ) 1


c)
2
x1
cos2 sin 1
lim f(x) f(1)
2
11
→
Π+ Π
== =
+
d)
3
x2
cos2 1 1
lim f(x) f(2)
2
tan( / 4) 1
→
π
=
==
π+

4. 43. a)
x
lim f(x) 2
→−∞
= b)

113
3
3
xxx
lim f(x) lim
2
711
2
xxx
→−∞ →−∞
−+ −
=
=
+− +

e)
2
xx
24
5
1
5
x
lim f(x) lim (2 )
31
x
1
xx
→+∞ →+∞
+

22
xx
31 95
lim f(x) lim ( x) 4
xx xx
→−∞ →−∞
⎛⎞
=− ++−−+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= +
∞
vì (- x) → +
∞
và số hạng còn lại → 2
d) Số hạng đầu → - ∞ , số hạng sau → - 1 nên f(x) → -
∞

e) Chia tử và mẫu cho x
x= x
3
, giới hạn là
20 2
3
3
−
=
4. 45.


x
lim f(x)
→+∞
= 0
c) Vì
2sinxcosx
(1 sin x)(1 cosx) (bđt Cô si)
2
++
++≤ −
nên
2
x
f(x)
2(x x 1)
≤
++
mà
2
x
|x|
lim 0
2(x x 1)
→+∞
=
++
=>
x
lim f(x)
→+∞

0
xx
lim f(x)
+
→
= L Ù ∀ x
n
∈ (x
0
; b) , limx
n
= x
0
=> limf(x
n
) = L
( f(x) có
giới hạn phải là L khi x → x
0
)
2. Cho f(x) xác đònh trên khỏang (a ; x
0
) :

0
xx
lim f(x)
−
→
= L Ù ∀ x

0
bởi x → x
o
+
hay x
o
-
.
5.
k
xO
1
lim
x
+
→
=+∞ ( k ∈ Z
+
) ,
2k 2k 1
xO xO
11
lim ; lim
xx
−−
+
→→
=+∞ =−∞
B. GIẢI TOÁN
Dạng 1 : Tìm giới hạn phải , trái

−
→
−
−
c
)
2
x2
x23x
lim
(x 4)
+
→
−+
−

Giải a) Hàm số f(x) xác đònh trên ( 1 ; 3) . Ta có :
x1 x1 x1
x1 1 1
lim f(x) lim lim
x1. x3 x3 2
++ +
→→ →
−
===
−−+ −+b) Chú ý khi x 2
−

lim
(x 4)
+
→
−+
−
= + ∞
Ví dụ 2 : Cho hàm số f(x) =
2
2
x1
với x 1
xx2
x2xvớix1
−
⎧
>
⎪
+−
⎨
⎪
−≤
⎩

Tìm gi
ới hạn phải và trái của f(x) tại x = 1 . Hàm số có giới hạn tại x = 1 không ?
Giải
• Ta có :
x1 x1 x1
x1 1 1

C. Bài Tập Rèn Luyện
4.46. Tìm các giới hạn sau :
a)
x3
x
lim
x3
+
→
−
b)
x1
x1
lim
x1
−
→−
−−
−
c)
2
2
x2
x6x8
lim
x5x6
−
→
−
+

x1
x4x3
lim
|1 x |
+
→
−+
−
b)
2
45
x3
x3x
lim
3x x
−
→
−
−
c)
22
x1
11
lim
x1x3x2
+
→
⎛⎞
−
⎜⎟