TÍCH PHÂN HÀM
TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
MỘT BIẾN
Chương 3:
Chương 3:
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Tích phân suy rộng
§4. Ứng dụng tích phân xác định
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
I. NGUYÊN HÀM
1. Đ nh nghĩa:ị
Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b).
Nếu tồn tại
hàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b), thì
F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu có
thêm F’( a + 0 ) = f(a)
, F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nói
F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b].
Ví dụ :
* F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx,
∀
x
∈
R.
Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx.
2. Các đ nh lí v nguyên hàm:ị ề
Đ nh lí 1:ị

* x gọi là biến số tích phân.
III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
(Giáo trình)
IV. BẢNG TÍCH PHÂN CÁC HS THƯỜNG GẶP:
(Giáo trình)
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.Ph ng pháp đ i bi n s :ươ ổ ế ố
a) Đổi biến dạng u = u(x):
Đ nh líị :
Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với
x ∈( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b)
ta có :
∫ ∫
= duugdxxf )()(

Ví dụ: Tính các tích phân sau đây:
,
3
2
∫
+x
xdx
dxe
x
∫
−1
b) Biến đổi dạng x = ϕ(t)
Đ nh líị :
Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b]
và x = ϕ(t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t

∫
xdxxcos
Chú ý:
Khi tính những tích phân dạng
∫
dxxgxf )()(
với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không
cùng loại
ta thường dùng phương pháp tích phân
từng phần.
Cụ thể như sau:
a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm
sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x); dv = g(x)dx.
b) Nếu f(x) là hàm đa thức & g(x) là những hàm
như
hàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt
u = g(x), dv = f(x)dx.
VI. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP:
1.Tích phân hàm h u t :ữ ỉ
a) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản:
( i )
=
+
∫
bax
dx
( ii )
=
+
∫

2
2
2
2
cbb
xcbxx
−
−






+=++
( iv )
:
)(
2
∫
++
+
cbxx
dxBAx
Biến đổi
cbxx
Ab
B
cbxx
bxA

xP
m
n
∫
)(
)(
i) B c Pn(x) < Qm(x) (n < m)ậ
Sau đó đưa tích phân đã cho về dạng:
∫
u
du
và tích phân dạng ( iii ).
* Phân tích Q
m
(x) thành tích các nhị thức, tam
thức bậc 2 hoặc các thừa số chung của chúng:
) ())( ()()(
22
2
211
2
12211
CxBxACxBxAbxabxaxQ
m
++++++=
βα
* Phân tích
22
2
211

n
++
+
++
++
+
++
++
+
+
+
++
+
++
+
=
ββ
β
α
α
( Ph ng pháp này g i là h s b t đ nh ).ươ ọ ệ ố ấ ị
Ví dụ:
Tính
∫
−1
3
x
xdx
ii) B c Pn(x) ≥ Qm(x) (n ≥ m)ậ
Ta chia Pn(x) cho Qm(x), phân tích

x
x
xx
dx
x
x
xdxdx
x
xx
∫ ∫∫
+
+=
+
+
⇒
11
2
33
4
2. Tích phân các hàm l ng giác:ượ
a) Dạng
∫
dxxxR )sin,(cos
(với R(*,*) là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx)
Ph ng pháp: ươ
Đặt
2
x
tgt =
Khi đó

Ví dụ :
∫
+1sin x
dx
2
x
tgt =
,
1
2
2
t
dt
dx
+
=⇒
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
Đặt

,
Tính
c) Dạng

dx
x
x
∫
sin
cos
5
Tính
dx
xx
x
3
sin
2
sinsin
∫
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Cho hình thanh cong aABb giới hạn bởi tục Ox, hai
đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x), trong
đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ( hình vẽ ).
Hãy xác định diện tích hình thanh cong aABb ?
x
y
A
B
0
ξ
a=x
0

1
< x
2
< …< x
n
= b
Từ các điểm đó, ta dựng đường thẳng song song với
trục Oy. Khi đó hình thang cong aABb được chia thành
n hình thang cong nhỏ.
Trong mỗi đoạn [ x
i-1
, x
i
] ( i = 1, 2, 3, …, n ) ta lấy
tuỳ ý một điểm ξ
i,
, khi đó tung độ tương ứng là f(ξ
i
).
Dựng hình chữ nhật có một cạnh là ∆x
i
= x
i
– x
i-1
và
một cạnh là f(ξ
i
). Thì diện tích của nó là f(ξi).∆xi
Do đó diện tích của tổng n hình chữ nhật đó là :

i
ii
n
xfS
1
)(lim
ξ
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đ nh nghĩaị
Giả sử f(x) là hàm xác định trên [a, b]. Chia [a, b]
thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia a = x
0
< x
1
<
… < x
n
= b.
Trên từng phân đoạn [ x
i-1
, x
i
] ta chọn điểm ξ
i
tuỳ ý,
ni ,1=
.
i
n
I

a
n
Idxxf
∫
∞→
= lim)(
In : gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a, b ].
[a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, a : cận dưới, b : cận trên.
∫
b
a
: dấu tích phân xác định
f(x) : hàm dưới dấu tích phân
x : biến số tích phân
Chú thích 1:
Cho f(x) là hàm xác định tại a.
∫
=
a
a
dxxf 0)(
Chú thích 2:
Cho f(x) xác định trên đoạn [ a, b ]
∫ ∫
−=
a
b
a
b
xfdxxf )()(

y
f(x)
S
IV. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH
1.Đ nh lí 1.ị
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên
đoạn đó.
Người ta cũng chứng minh được rằng nếu f(x) có một
điểm gián đoạn loại một ( x = c ) trên đoạn [a, b] thì nó
khả tích trên đoạn ấy và ta có :
∫ ∫ ∫
+=
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
Mệnh đề trên vẫn đúng nếu f(x) có một số hữu hạn
điểm gián đoạn loại một trên đoạn [a, b].
V. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
( Giáo trình )
VI. CÁC ĐỊNH LÍ.
1. Đ nh lí v giá tr trung bình c a TPXĐ:ị ề ị ủ
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b ] thì ∃ ít nhất một điểm
c ∈ [a, b] sao cho:
∫
−=