1
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

BGĐT –TOÁN 1
PHÉP TÍNH VI –TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)
2
ĐỀ CƯƠNG

80Ứngdụngtíchphân8
328Tổngcộng
30Tíchphân7
86Khảosáthàmsố6
41KhaitriểnTaylor –Mac Laurint5
21Đạohàm4
19Hàmsố-Hàmsơcấp–Tínhliêntục3
31Giớihạnhàmsố2
20Dãysốvàgiớihạndãysố1
SỐSLIDENỘI DUNGSTT
Mônhọc: Toán1 MSMH: 006038 Số tínchỉ: 2
Thờilượngtrênlớp: 3 tiết/tuầnx 14 = 42 tiết/Họckỳ
3
GIÁO TRÌNH

Giáotrình:
1/ Giảitíchhàmmộtbiến-BM Toán ứngdụng– ĐHBK
2/ Giảitíchhàmmộtbiến–TácGiả: Đỗ CôngKhanh
3/ Toánhọccaocấp(Tậphai) -Nguyễn ĐìnhTrí(chủ biên)
Ý kiến đónggópxingửivề:
Địachỉ Website: />Trongquátrìnhthựchiệnbàigiảng, tácgiảđãthamkhảobài

…x
1
: số hạng thứ 1, …, x
n
: số hạng tổng quát.
VD: Dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, …, n , … Þ Số hạng tổng
quát: x
n
= n với n ³ 1.
VD: Dãy nghịch đảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, …, 1/n , …
Þ Số hạng tổng quát: x
n
= 1/n, n ³ 1.
VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … Þ Số hạng tổng quát: x
n
= (–1)
n –1
,
n ³ 1 (hoặc x
n
= (–1)
n
, n ³ 0: Cóthể đánh số lại dãy số!)
Dãy số cósốhạng đầu tiên, nhưng không cósốhạng chót!
4
1. BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

Mô tả (bằng lời): Đặc tính các số
hạng của dãy. VD: Dãy số tự
nhiên, dãy số chẵn, số lẻ …


Các vídụdãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra
công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy
{ } { }
þ
ý
ü
î
í
ì
³=
þ
ý
ü
î
í
ì
-³-=-
þ
ý
ü
î
í
ì
+-

+-
=
þ
ý

,
6
π
cos,,0,
2
1
,
2
3
,10,
6
π
cos
6
π
cos
,3,,3,2,1,03,33
,
3
)1()1(
,,
27
4
,
9
3
,
3
2
3

n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
6
1. VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI

Dãy số cóthể được xác định qua cách mô tả (bằng lời):
(a) Dãy {s
n
}, với s
n
–dân số của Việt Nam vào năm thứ n
(b) Ký hiệu c
n
–chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy
của số pÞDãy {c

n
xa
n
(
)
2
1
2
1
/
n
yb
n
n
-
+=
0.56250.48484
0.460.49025
0.38890.47373
0.750.44442
–0.5 0.33331
y
n
x
n
n
1
x
2
x

–L|
sẽ rất bénếu chọn n đủ lớn
8
2. NGƠN NGỮ GIẢI TÍCH: e – N
0

4 :95.401.0/
0
=
>
Û
=
<
-
NnLxa
n
Chọn
e
VD trước: Þ=
+
=
2
1
,
1
2
2
2
L
n

/
0
=
Þ
=
N
b
e
15
001
.
0
0
=
Þ
=
N
e
Trả lời:
Ngơn ngữ Giải tích: Khoảng cách |x
n
–L| rất bénếu n đủ lớn
· |x
n
–L| rất bé Û"e > 0 sẽ có|x
n
–L| < e (n thỏa đk nào đó)
· n đủ lớn Û Tìm được số tự nhiên N
0
& chỉ xétn > N

n
=
¥
®
lim
L
e
-
L
e
+
L
1
x
1000
x
2
0
+N
x
1
0
+N
x
Vídụ: Câu (c) vídụ trước cho phép thiết lập:
2
1
1
2
lim

(kể từ n > N
0
) Î đoạn [L – e, L + e] ® Minh họa:
00
:,0lim NnLxNLx
nn
n
>
"
<
-
$
>
"
Û
=
¥
®
e
e
Định nghĩa:Dãy số {x
n
} tiến đến L (hoặc cógiới hạn làL):
Khi dãy số tiến đến L: ta nói dãy hội tụ (vàcógiới hạn làL)
Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ
10
3. MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY HỘI TỤ

Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các điểm (n, x
n

} cógiới
hạn vô cùng. Nhưng Giới hạn vô cùng vẫn làphân kỳ!
00
:
,
lim
N
n
M
x
N
M
x
nn
n
>
"
>
$
"
Û
¥
=
¥
®
00
:
,
lim
N

VD: Dãy x
n
= 1/n chặn trên bởi 1 và dưới bởi 0 Þ Bị chặn!
Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn Þ Không có giới hạn vô cùng
13
4. PHẫP TON & TNH CHT CA GII HN

Nu {x
n
}, {y
n
} lcỏc dóy s hi t v a, b lhng s thỡ:
(
)
( )
[ ]
00limlim
0lim
lim
lim
lim
limlimlim
lim
lim
lim
>>=
ạ=
ì=
+
=

n
nn
n
n
n
n
n
nn
n
xpxx
y
y
x
y
x
yxyx
y
b
x
a
by
ax
vaứ neỏu
neỏu
f: hm s cp ị f(lim x
n
) = lim f(x
n
). VD:
n

n
n
=
Ơ
đ
vdóy {a
n
} cúa
n
= f(n) " n ị
Nh vy, khi tỡm gii hn dóy s, ta cúth thay n bng x:
(
)
(
)

f(n))

daùng
ụỷ

a

khi
duứng

chổ
n
(
lim

ị Vy ta cú
0,0
1
lim >=
Ơđ
r
n
r
n
15
5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN

Chuyển về các giới hạn cơ bản & thay vào biểu thức cần tính
giới hạn (nếu giátrị biểu thức xác định)
ï
î
ï
í
ì
=Þ<<
¥=Þ>
¥®
¥®
0lim10
lim1
n
n
n
n
aa

n
n
a
n
nn
nn
n
b
3
5
2
25
lim/
+
×
-
¥®
Giải:
(
)
( )
(
)
( )
2
1lim1
1lim2
11
12
lim/

1
5325
5215
lim/ =
+
-
¥®
n
n
n
n
n
b
VD: Tìm
n
n
n
1
sinlim
¥®
Giải:
1
sin
lim1
1
sinlim
0
01
==
®

Ơ
đ
Ơ
đ
azx
Nnzyx
n
n
n
n
nnn
limlim
0
a
y
y
n
n
n
n
=
$
ị
Ơ
đ
Ơ
đ
lim
&
lim

ử
ỗ
ố
ổ
Ơđ
10
lim/
n
n
n
n
b
!
lim/
Ơđ
(
)
n
a
n
n
1
lim/
-
Ơđ
Gii:
(
)
(
)

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
K
K
20
2
110
/ >"
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
<
ữ
ứ
ử
ỗ

>
+
=
nn
x
n
n
x
Cách 2:
()
( )
() (
)
10
3
2
':1,
3
2
2
+>Þ¯Þ<
+
-
=³
+
= nfnff
x
fx
x
xf

> …> x
n
> x
n+1
> …
18
6. TIấU CHUN DY N IU B CHN

Tiờu chun Weirstrass: Dóy tng & chn trờn thỡhi t
Dóy gim & chn di thỡhi t
ồ
=
=++++=
n
k
n
k
n
x
1
2222
11
3
1
2
1
1 L
VD: Kho sỏt tớnh hi t ca
Gii: Bc 1: Tớnh n iu
( )

1 K
2
1
2
1
1
1
3
1
2
1
2
1
11 <-=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
-
++
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-+

n
K
Cỏch gii c bn
da trờn kthc lp 9 (!), c Erdos gi: Cminh ca Chỳa
19
6. S e

Mnh : Dóy s
1
,
1
1
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+= n
n
x
n
n
tng vbchn trờn
H qu:
n
n
n
ữ
ứ

nn
xx
n
n
nn
Bthc Cụsi cho (n+1) s dng: n s = (1 + 1/n), 1 s = 1 ị (1)
Bc 2: Chn trờn: Khai trin nh thc Newton vbin i:
ủpcm:3
2
1
2
1
2
2
1
1
1
!
11
1
!2
1
2
1
<++<
ữ
ứ
ử
ỗ
ố

n
= a Û Mọi dãy con của {x
n
} đều ® a:
a
x
k
n
k
=
¥
®
lim
{
}
¥
=
<
<
<
¥
®
k
k
knn
n
n
n
x
x

VD: Chứng tỏ dãy {x
n
} = {(–1)
n
} phân kỳ. Giải: Xét x
2n
& x
2n+1
VD: Dãy con:
{
}
{
}
1
2
2
/
/
+
n
n
x
b
x
a
1
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG – ĐHBK

BGĐT –TOÁN 1
BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ