CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013


AB AD AA AC
+ + =
   

 -Hê thức trung điểm đoạn thẳng:.89$*0%:;'12<*3+(
   =4, 
0
IA IB
+ =
 

>  
2
OA OB OI
+ =
  

 -Hệ thức trọng tâm tam giác:.?9$@ %:%12.<*3+(
   =4, 
0; 3
GA GB GC OA OB OC OG
+ + = + + =
      


 -Hệ thức trọng tâm tứ diện:.?9$@ %:A"B12.6<*3+(
   =4, 
0; 4
GA GB GC GD OA OB OC OD OG
+ + + = + + + =

4
a vaø b


H(K4,
, ,
a b c

 
E'⇔∃L%∈M,
c ma nb
= +

 

 •./
, ,
a b c

 
E'
x

*3+(
  K4, ∃L%∈M,
x ma nb pc
= + +

  


(P*J,
. 0u v =


   
  -
. 0u v u v⊥ ⇔ =
 
 

  -
2
u u=
 

II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
 ./Q<<!<R*4J*S%7$*%70%T<(?@
, ,i j k
  
9$
AUQ<<!<R(VB/QW!@9$B@7U*4<!R&X9$B
@7<!R(
Chú ý,
2 2 2
1i j k= = =
  
$
. . . 0i j i k k j= = =
     



=



= ⇔ =



 =


 

  •
0 (0;0; 0), (1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1)i j k= = = =

  

  •
a

H
( 0)b b ≠



 ⇔
( )a kb k R= ∈

. . . .a b a b a b a b= + +


  •
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
 

  •
2 2 2 2
1 2 3
a a a a= + +

   •
2 2 2
1 2 2
a a a a= + +


  •
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
a b
a b

M
∈
(Oxy)
⇔
z = 0; M
∈
(Oyz)
⇔
x = 0; M
∈
(Oxz)
⇔
y = 0

•
••
•
M
∈
Ox
⇔
y = z = 0; M
∈
Oy
⇔
x = z = 0; M
∈
Oz
⇔
x = y = 0





 
− − −

  •=;7*0%Z:;'12,
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
 
+ + +








 

  •=;7@ %?:%12.,
   
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C


 

4. Tích có hướng của hai vectơ:(Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho
1 2 3
( , , )
a a a a
=


1 2 3
( , , )
b b b b
=

(
( )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
 


 



  •
(
)
[ , ] . .sin ,
a b a b a b
=
 
 
 
   •
,
a b
 
H
[ , ] 0
a b
⇔ =
  

c) Ứng dụng của tích có hướng:
  •Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,
a b
 
$
c

E'⇔
[ , ]. 0


•
Thể tích khối hộp ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
:
. ' ' ' '
[ , ]. '
ABCD A B C D
V AB AD AA
=
  

 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\


⇔ =
 
 
 
 

 
 
   

5. Phương trình mặt cầu:
 •5%&]*C^D %I(a; b; c)/R,
   
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =

 •5
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
J
2 2 2
0a b c d+ + − >
9$5%&]* %I(–
a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 1. ./
, ,a b c

 
  /D
( ) ( ) ( )
4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1a b c= = − =

 

D
( ) ( ) ( )
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1a b c= − − = = −

 
 "D
( ) ( ) ( )
4;2;5 , 3;1; 3 , 2;0;1a b c= = =

 

HT 3. =5%m0Y
, ,a b c

 
E',
D
( ) ( ) ( )
1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2a m b m c m= = + = −

 

/D

)
2;1; 0 , 1; 1;2 , 2;2; 1
(3;7; 7)
a b c
u


= = − = −




= −




 

 /D
(
)
(
)
(
)
2
1; 7;9 , 3; 6;1 , ;1; 7
( 4;13; 6)
a b c

a b c d= − − = − − = − − = − −
 
 

/D
(
)
(
)
(
)
2;6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , (2;11; 1)
a b c d
= − = − = − = −
 
 

HT 6. ./
, ,
a b c

 
E'$
d

(.A%/7/I*E',
D
, ,
b c d ma nb
= +

(1;2; 3)
M
  /D
(3; 1;2)
M
−
  D
( 1;1; 3)
M
− −
  "D
(1;2; 1)
M
−

HT 9. _'$:/7/0%I*,
 D
(1; 3;1), (0;1;2), (0; 0;1)
A B C
   /D
(1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1)
A B C
− −

HT 10. ./0%12.(
 •.Ad/0%12.;$%7%(
 •=5%;7@ %?:∆12.(
 •_0%6I12.69$5/5$(
 D
(1;2; 3), (0; 3;7), (12;5;0)

A B
−

HT 12. =U%&'<!(Oxz, Oyz)5%0%*/0%,
D
(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)
A B C
− −
  /D
( 3;2; 4), (0;0;7), ( 5;3;3)
A B C
− −

HT 13. .0%12(a'12e%&'<!R(Oxz, Oxy) ;0%Z(
 •0%Z;'12[IT$f •=5%@70%Z( 
D
(
)
(
)

2; 1;7 , 4;5; 2
A B
− −
  /D
(4; 3; 2), (2; 1;1)
A B
− −
  D
(10;9;12), ( 20;3;4)

D
(
)
(
)
(
)
(
)

1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1
A B C D
 "D
(
)
(
)
(
)
(
)

2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6
A B C D

HT 15. .5712.6(1j2j.j6j(
 •=5%;7[k9;(
 •=0T7(
 D
(


 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1:(S) 4 % I(a; b; c) $/ R:
(S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
− + − + − =

Dạng 2: (S) 4 % I(a; b; c) $p*0%1,
  Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3:(S) W;'12J9$%a,
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
+ + +
= = =
.
– Bán kính R = IA =
2
AB

+ + − >

thì (S) có  %I(–a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d
+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 17. =5% %$/:%&]*I*,
D
2 2 2
8 2 1 0
x y z x y
+ + − + + =
   /D
2 2 2
4 8 2 4 0
x y z x y z
+ + + + − − =

D
2 2 2
2 4 4 0
x y z x y z
+ + − − + =
   "D
2 2 2
6 4 2 86 0
x y z x y z
+ + − + − − =

I A
− −

HT 20. OF5%&]*4a12J,
D
(2; 4; 1), (5;2;3)
A B
−
  /D
(0; 3; 2), (2;4; 1)
A B
− −
D
(3; 2;1), (2;1; 3)
A B
− −

 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs
HT 21. OF5%&]*;FA"B12.6J,
D
(
)
(
)
(
)
(
)




  /D
(2;0;1), (1; 3;2), (3;2; 0)
( ) ( )
A B C
P Oxy






≡




HT 23. OF5%&]*C^D4 %8$FGJ%&]*C=DJ,
D
2 2 2
( 5;1;1)
( ) : 2 4 6 5 0
I
T x y z x y z


−


0
n
≠


9$O==:CαDF*:
n

*4JCαD(
 Chú ý:
•
Nếu
n

là một VTPT của (
α
) thì
kn

(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
α
).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
   
2 2 2
0 0
Ax By Cz D vôùi A B C
+ + + = + + >


Nếu trong phương trình của (
α
) không chứa ẩn nào thì (
α
) song song hoặc chứatrục tương ứng.

•
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
+ + =

(
α
) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
 .%&'CαDCβD45, CαD,
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =

       CβD,
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =

Các hệ số

α
) // Oz hoặc (
α
)
⊃
Oz
A = B = 0

(
α
) // (Oxy) hoặc (
α
)
≡
(Oxy)
A = C = 0

(
α
) // (Oxz) hoặc (
α
)
≡
(Oxz)
B = C = 0

(
α
) // (Oyz) hoặc (
α


1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = ≠

•
(
α
)
≡
(
β
)
⇔

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = =•
(
α
)
⊥
(

A B C
α
+ + +
=
+ +


VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng 
Để lập phương trình mặt phẳng (
α
) ta cần xác định một điểm thuộc (
α
) và một VTPT của nó.
Dạng 1:(
α
) p*0%
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
4O==
(
)
; ;
n A B C
=

,
    (

,
n a b
 
=
 

 
.
Dạng 3: (
α
) p*0%
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
$IIJ%&'(
β
): Ax + By + Cz + D = 0,
(
α
):
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0

 
=
 
 

 

Dạng 6:(
α
) p*%70%Z$*4J%7a'C"D,
  VTCP
u

của đường thẳng (d) là một VTPT của (
α
).
Dạng 7:(
α
)p*Na'e*"

"
N
,
  – Xác định các VTCP
,
a b


của các đường thẳng d
1

N
(d
1
, d
2
chéo nhau),
  lXác định các VTCP
,
a b


của các đường thẳng d
1
, d
2
.
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNm
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n a b
 
=
 

 
.

n a b
 
=
 

 
.
Dạng 10:(
α
)p*%7a'C"D$*4J%7%&'CβD,
  – Xác định VTCP
u

của (d) và VTPT
n
β

của (
β
).
– Một VTPT của (
α
) là:
,
n u n
β
 
=
 
 

 
 
  
.
Dạng 12:(
α
)p*a'C"DJ$0%ZJ%7XJ,
  l Giả sử (
α
)có phương trình:
Ax z+D
0
By C
+ + =
(
)
2 2 2
0
A B C+ + ≠
.
– Lấy 2 điểm A, B
∈
(d)
⇒
A, B
∈
(
α
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách

 /D
(
)
(
)
2;7;0 , 3;0;1
M n
− =

 D
(
)
(
)
4; 1; 2 , 0;1;3
M n
− − =

 
HT 25. OF5%&'*#:;'12JJ,
D
(2;1;1), (2; 1; 1)
A B
− −
 /D
(1; 1; 4), (2; 0;5)
A B
− −
 D
(2; 3; 4), (4; 1;0)

(
)
(
)
2;1;5 ,
M Oxy
β
=
   /D
(
)
(
)
1; 2;1 , : 2 3 0
M x y
β
− − + =
 
HT 28. OF5%&'CαDp*0%Z$9]9IIJ%&';7J,
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
D
(
)
2;1;5
M
  /D
(

(1; 2; 4), (3;2; 1), ( 2;1; 3)
A B C
− − − −
  /D
(0; 0;0), ( 2; 1; 3), (4; 2;1)
A B C
− − −

HT 31. OF5%&'CαDp*0%12$*4J%&'CβDJJ,
D
( )
(3;1; 1), (2; 1;4)
: 2 3 1 0
A B
x y zβ


− −




− + − =



/D
( )
( 2; 1;3), (4; 2;1)
: 2 3 2 5 0


HT 32. OF5%&'CαDp*0%Z$*4J%&'CβDCγDJJ,
D
(
)
(
)
( 1; 2;5), : 2 3 1 0, : 2 3 1 0
M x y z x y z
β γ
− − + − + = − + + =
 
/D
(
)
(
)
(1;0; 2), : 2 2 0, : 3 0
M x y z x y z
β γ
− + − − = − − − =

HT 33. OF5%&'CαDp*0%Z$*!F:%&'CDCPDJJ,
D
(
)
(
)
(
)

( ) : 3 2 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 7 0
P x y z Q x y R x z
− + − = + − = − + =

HT 35. OF5 %&'CαDp**!F:%&'CDCPDEa*4J%&
'CMDJJ,
D
( ) : 2 3 4 0, ( ) : 2 3 5 0, ( ) : 2 3 2 0
P x y Q y z R x y z
+ − = − − = + − − =

/D
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0, ( ) : 2 0
P y z Q x y z R x y z
+ − = + − + = + + − =

D
( ) : 2 4 0, ( ) : 2 5 0, ( ) : 2 3 6 0
P x y z Q x y z R x y z
+ − − = + + + = − − + =

"D
( ) : 3 2 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 7 0
P x y z Q x y R x z
− + − = + − = − + =

HT 36. OF5%&'CαDp**!F:%&'CDCPDEa0%ZJ
%7X/rkJ,
D
( ): 2 0, ( ) : 5 13 2 0, (1;2;3), 2




− + − =



 D
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z


+ − − =




+ − + =




HT 38. _m, n0&%&'I*,•II •e* •H*
D
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z

6 6 2 0
x my z
nx y z


+ + − =




− − + =




 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
HT 39. _m0&%&'I**4J*
D
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z


− + + =




0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

•
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P)

 

BÀI TẬP
HT 40. .%&'CD$0%Z(
 •=XSZFCD(  •=5%;75F*V:ZUCD(
 •=5%;70%Z′TAJZp*CD(
D
( ) : 2 2 6 0, (2; 3;5)
P x y z M
− + − = −
 /D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)
P x y z M
+ + − = − −

HT 41. =5%Xv%&',
D
2 3 1 0
2 3 5 0
x y z
x y z


− + + =




− + + =


+ − − =




HT 42. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*0%t$%&'CD,
D
( ) : 2 2 5 0, (1;2; 2)
P x y z N
+ + − = −
  /D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)
P x y z N
+ + − = − −
 
D
( ) : 6 2 3 12 0, (3;1; 2)
P x y z N
− + + = −
  "D
( ) : 2 4 4 3 0, (2; 3; 4)
P x y z N
− + + = −

HT 43. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*%&',
D
1 0
5 0
x y z
x y z

x y z
x y z


− + + =




+ − − =



 
HT 44. =5%5wp*:%&'CDp*0%1$IIJ%&'CPDJ(=
XvCD$CPD,
D
(
)
1;2;–3 , ( ) : 2 4 4 0
A Q x y z
− − + =
(  /D
(
)

3; 1; –2 , ( ) : 6 2 3 12 0
A Q x y z
− + + =
(

):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =

(
β
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =

Góc giữa (
α
), (
β
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
1 2
,
n n
 
.

( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2


BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 47. =4v%&',
D
1 0
5 0
x y z
x y z


+ − + =




− + − =



   /D
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z


+ − + =








+ − =



  D
2 2 3 0
2 2 12 0
x y z
y z


− − + =




+ + =



 xD
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
x y z
x y z




=



 /D
0
2 12 0
7 0
45
mx y mz
x my z
α


+ + − =




+ + + =




=







= + ∈



 = +



 •tF*
1 2 3
0
a a a
≠
5
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
d
a a a
− − −
= =
được gọi là phương trình chính tắc của d.
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
 .a'dd
′
45%IT9]99$,


′ ′ ′

= +



′ ′ ′ ′
= +



′ ′ ′
= +



 
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\

•
d // d
′

⇔

0 1 0 1
0 2 0 2







 
a a cùng phương
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a⇔

0 0 0 0
,
( ; ; )

′




′

∉




, 0

 

′
=
 


 

′
≠

 
 



 



a a
a M M•
d
≡


⇔

0 0 0 0
,
( ; ; )

′




′

∈



 
a a cùng phương
M x y z d

⇔

0 0
, ,
′ ′

 
a a M M đôi một cùng phương


+ = +



′ ′ ′
+ = +



′ ′ ′
+ = +



x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(ẩn t, t
′
) có đúng một nghiệm

⇔

0 0
,
, ,

′


=

 



 

 
a a
a a M M•
d, d
′
chéo nhau
⇔

0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )

′





hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a


⇔

0 0
, ,
′ ′

 
a a M M không đồng phẳng

⇔

0 0
, . 0
 
′ ′
≠
 

 
a a M M•
d
⊥
d


= +



= +



= +




 _5, 
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0
A x ta B y ta C z ta D
+ + + + + + =
CytD  CqD

•
d // (
α
)
⇔
(*) vơ nghiệm

•
d cắt (


= +



= +



CD$%&]*(S),
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
− + − + − =
CND
 0O==:d$(S)!CD$CND%75CqD(

•
d và (S) không có điểm chung
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
d(I, d) > R

•
d tiếp xúc với (S)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
⇔
d(I, d) = R

 .a'*d
1
$d
2
(
  d
1
p*0%M
1
$4O=.
1
a

d
2
p*0%M
2
$4O=.
2
a


   
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M

) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
8. Góc giữa hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
1 2
,
a a
 
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,
a a
 
.

( )
1 2
1 2
1 2

của nó trên (
α
).


( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + + 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNi
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng 
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$4O=.


Dạng 2:dp*0%A, B,
 Một VTCP của d là
AB

.
Dạng 3:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$IIJa'∆J,
 Vì d //
∆
nên VTCP của
∆
cũng là VTCP của d.
Dạng 4:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$*4J%&'CDJ,
 Vì d
⊥
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5:d9$*!F:%&'CDCPD,

•
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A
∈

( ; ; )
M x y z
$*4Ja'd
1
, d
2
:
 Vì d
⊥
d
1
, d
⊥
d
2
nên một VTCP của d là:
1 2
,
d d
a a a
 
=
 
 
  

Dạng 7:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z

0
, H.

•
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P)
∩
(Q)
Dạng 8:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
$ea'd
1
, d
2
:

•
Cách 1: Gọi M
1

∈
d
1
, M
2

∈
d
2

  
.
Dạng 9:dr%%&'CD$eXa'd
1
, d
2
:
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo
Tìm các giao điểm A = d
1

∩
(P), B = d
2

∩
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10:dIIJ∆$eXa'd
1
, d
2
:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa





⊥



, ta tìm được M, N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.

•
Cách 2:
– Vì d
⊥
d
1
và d
⊥
d
2
nên một VTCP của d có thể là:
1 2
,
d d
a a a
 
=
 
 

và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
∈

∆
.
– Vì (Q) chứa
∆
và vuông góc với (P) nên
,
Q P
n a n
∆
 
=
 
 
  
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 13:dp*0%Z*4Jd
1
$ed
2
,

•
Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d

 /D
(0; 2;5), (0;1;4)
M a
− =

 D
(1;3; 1), (1;2; 1)
M a
− = −


 "D
(3; 1; 3), (1; 2;0)
M a
− − = −

 D
(3; 2;5), ( 2; 0; 4)
M a
− = −

 xD
(4; 3; 2), ( 3; 0; 0)
M a
− = −


HT 50. OF5%IT:a'p*0%12J,
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  

(
)
(
)
,
2;1;0 0;1;2
A B
 D
(
)
(
)
A ,
1;2; 7 1;2;4
B
−
  xD
(
)
(
)
,
2;1;3 4;2; 2
A B
− −

HT 51. OF5%IT:a'p*0%1$IIJa'∆J,
 D
(
)



 "D
2 5 2
(4; 2;2), :
4 2 3
x y z
A
+ − −
− ∆ = =

HT 52. OF5%IT:a'p*0%1$*4J%&'CDJ,
 D
(
)
, (P)
2;4;3 : 2 3 6 19 0
A x y z
− − + + =
 /D
(
)
,
1; 1;0 ( ) : ( )
A P Oxy
−
 
 D
(
)



− + − =




+ − + =



D
( ) : 3 3 4 7 0
( ) : 6 2 6 0
P x y z
Q x y z


+ − + =




+ + − =




 "D
( ) : 2 3 0

xD
( ) : 2 1 0
( ) : 1 0
P x y z
Q x z


+ + − =




+ − =



 
HT 54. OF5%IT:a'p*0%1$*4Ja'd
1
, d
2
J,
D
1 2
1 2 1
(1; 0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t

 
 
= = +
 
 
 

D
1 2
1 1
(1; 2;3), : 2 2 , : 2
3 3 3
x t x
A d y t d y t
z t z t
 
 
= − =
 
 
 
− = − − = − +
 
 
 
= − = +
 
 
 
 "D


=



− ∆ = −



=



   /D
3 2
( 4; 2;4), : 1
1 4
x t
A d y t
z t


= − +



− − = −




A y t
z t


=



− ∆ = −



= −




HT 56. OF5%IT:a'p*0%1$eXa'd
1
, d
2
J,
D
1 2
1 2 1
(1; 0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t

 
 
= = +
 
 
 

D
1 2
1 3 2 2
( 4; 5;3), : 3 2 , : 1 3
2 1 5
x t x t
A d y t d y t
z t z t
 
 
= − + = +
 
 
 
− − = − − = − +
 
 
 
= − = −
 
 
 
"D


BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
 D
1 2
( ) : 2 0
2
1
: , : 4 2
1 1 4
1
P y z
x t
x y z
d d y t
z


+ =





= −




−





 
 
= + = −

 

 

 

= − = +
 

 

 

= + = −
 

 

 


 D
1 2


= + = − −
 

 

 

  "D
1 2
( ) : 3 3 4 7 0
1 1
: 2 2 , : 2
3 3 3
P x y z
x t x
d y t d y t
z t z t


+ − + =



 
 
= − =

 


2 1 2
1 1
:
1 2 1
2 1 3
:
3 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d


− −

∆ = =


−


 + −


= =

−





−


 − + −


= =



 + +

= =





 D
1
2
1 2 2
:
1 4 3
1 2 2
:
1 4 3
4 7


   "D
1
2
1 3 2
:
3 2 1
2 2 1
:
3 4 1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d


+ + −

∆ = =


− −


 − + −


 
= − = +
 
 
 
= + = −
 
 
 
= − + = −
 
 
 
  /D
1 2
1 2 2 3
: 3 , : 1 2
2 3 4 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
 
 
= + = − +
 
 
 
= − + = +
 
 

2 3 1 2
: 3 , : 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
 
 
= + = − +
 
 
 
= − − = −
 
 
 
= + = +
 
 
 

HT 60. OF5%IT:a'd9$5F*:a'∆U%&'CDJ,
 D
2 3 1
:
2 1 3
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z




+ − + =




 D
1 1 3
:
1 2 2
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z


+ − −

∆ = =



−


− + − =



   "D

1
1 2
(0;1;1), : , :
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t


= −


− −

= = =



= +



 
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNm
 /D
1 2

6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d
+ − − + −
− − = = = =
− − −

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.

•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 62. _Tva'd
1
, d
2
J,
 D
{
1 2
1 2 4
: ; : 1 ; ; 2 3
2 1 3
x y z
d d x t y t z t
− + −

HT 63. .Adr&a'I* !*(OF5a*4*:G,
 D
{
{
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − − = = + = −

 /D
{
{
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4
d x t y t z t d x t y t z
= + = − = − = = − =

 D
{
{
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 '
d x t y t z t d x t y t z t
= − = + = − = + = − = −

HT 64. =5%0%:a'd
1
và d
2
,

HT 65. =5%m0a'd
1
và d
2
e*(K45%;70%:G,
 D
{
{
1 2
: 1 ; ; 1 2 ; : 1 '; 2 2 '; 3 '
d x mt y t z t d x t y t z t
= + = = − + = − = + = −

 /D
{
{
1 2
: 1 ; 3 2 ; ; : 2 '; 1 '; 2 3 '
d x t y t z m t d x t y t z t
= − = + = + = + = + = −

 D
1 2
2 4 0 2 3 0
: ; :
3 0 2 6 0
x y z x y mz
d d
x y x y z
 

= = − = + + + − =
 
 /D
{
: 3 2; 1 4 ; 4 5; ( ) : 4 3 6 5 0
d x t y t z t P x y z
= − = − = − − − − =

 D
12 9 1
: ; ( ) : 3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =

 "D
11 3
: ; ( ) : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =

 D
13 1 4
: ; ( ) : 2 4 1 0
8 2 3

d P y z
x y z


+ + − =


+ + =


+ + + =




HT 67. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
  Dde(P).  Ddzz(P)(  Dd⊥(P).  Dd⊂(P).
 D
1 2 3
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 1 2
x y z
d P x y z
m m
− + +
= = + − − =
−

 /D
1 3 1





+ + =



e
( ) : 2 2 2 0
P x y z m
+ + − =
;0%47/rl(
 D
2 3 0
:
3 2 7 0
x y
d
x z


+ − =




− − =


•
Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
– d(M,d) = MH.

•
Cách 3: – Gọi N(x; y; z)
∈
d. Tính MN
2
theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNN
– Tìm t để MN
2
nhỏ nhất.
– Khi đó N
≡
H. Do đó d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua điểm M

 

 
 

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt phẳng (
α
) chứa d
2
và
song song với d
1
.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường
thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
 Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 69. =XS0%1Fa'd,

= +



− = −



= −



 
 D
2 1
(1; 0;0), :
1 2 1
x y z
A d
− −
= =
   "D
2 1 1
(2; 3;1), :
1 2 2
x y z
A d
+ − +
= =
−

HT 71. .A%a'd
1
, d
2
IIJ*(=XvG,
 D
{
{
d
1 2
: 3 2 , 4 3 , 2 ; : 4 4 , 5 6 , 3 2
d x t y t z t x t y t z t
= + = + = + = + = + = +

 /D
1 2
1 2 3 2 3 1
: ; :
2 6 8 3 9 12
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− − −

HT 72. .A%a'd IIJ%&'CD(=XvG,
 D
{
: 3 2; 1 4 ; 4 5; ( ) : 4 3 6 5 0
d x t y t z t P x y z

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNY
VẤN ĐỀ 6: Góc 
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
1 2
,
a a
 
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,
a a
 
.

( )
1 2
1 2
1 2

của nó trên (
α
).


( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + +

BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 73. =4va',
 D
{
{

1 2
: 1 2 , –1 , 3 4 ; : 2 – , –1 3 , 4 2
d x t y t z t d x t y t z t
= + = + = + = = + = +






HT 74. .A%a'I**4J*,
 D
1 2
7 2 15 0 7 0
: ; :
7 5 34 0 3 4 11 0
x z x y z
d d
y z x y
 
 
− − = − − − =
 
 
 
 
+ + = − − =
 
 
 

HT 75. =5%m04va'I*/rα,
 D
{
{
0


+ − + =


+ + =


+ − =




VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác 
1. Viết phương trình mặt phẳng

•
Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN\
– Một VTPT của (P) là:
,
n AB AC
 
=
 
 
 



 
.

•
Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Lấy điểm A
∈
d
1
(hoặc A
∈
d
2
)
⇒
A
∈
(P).
– Xác định VTCP
a

của d
1
,
b

1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,
n a b
 
=
 

 
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1

⇒
M
∈
(P).

•
Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
– Xác định các VTCP
,
a b


∈




⊥






3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d

•
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
– Xác định điểm M
′
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
′
.

•
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
′
. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M
′
.
– Khi đó toạ độ của điểm M