BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bài tiểu luận môn Triết học
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA
TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN
CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI
GV: TS Nguyễn Ngọc Khá
TS Nguyễn Chương Nhiếp
HV: Trần Thị Hiếu Nghĩa
Học viên cao học khóa 21 chuyên ngành Đại số và lí thuyết số
TP. HỒ CHÍ MINH
THÁNG 01 NĂM 2011
MỤC LỤC
MỤC LỤC 2
LỜI CẢM ƠN 2
I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC 4
1.Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực 4
2.Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học 6
3.Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học 8
II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 9
1.Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học 9
2.Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học 10
3.Toán học là công cụ của nhận thức 11
III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY
VẬT BIỆN CHỨNG 12
1. “Cấu trúc” trong toán học 12
2.Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học 13
3.Sự phủ định của phủ định trong toán học 15
4.Bất biến và vạn biến trong toán học 16

trong thực tiễn. Hầu hết các đối tượng của toán học, không trực tiếp thì cũng gián
tiếp, xuất phát từ thực tiễn. Dù cho con người có khám phá ra hay không thì chúng
vẫn tồn tại. Ví dụ:
• Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như
trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học
sinh mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được. Ta thấy rằng
dù các số tự nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu
khác nhau nhưng bản chất là như nhau.
• Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt
tương ứng với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong
ly (hình trụ tròn) khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây
bị võng xuống,
Đối với hình học, C. Mác và Ăngghen cho rằng:
“Các kết quả của hình học không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của
các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng
mà đại bộ phận đã có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem
832, [2])
*
Điều này đã được các nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh, từ
trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm
các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mô phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng
trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,
4
* Xem trang 832 tài liệu số 2
Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế những vấn
đề toán học để dễ dàng nắm bắt hơn. Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt khái niệm
đa tạp, khái niệm hàm số:
• Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ. Khi đó vì
bình gốm không phẳng nên ta không thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên
một tờ giấy nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy.

quy luật logic trong toán học cũng xuất phát từ thực tiễn. Chúng đã được rút ra qua
5
rất nhiều sự kiện thực tế. Chẳng hạn, tính chất bắc cầu trong toán học đã đúng trong
“rất nhiều” sự kiện thực tiễn. Ở đây nói “rất nhiều” chứ không phải “tất cả” vì thế
giới là vô cùng vô tận, ta chưa biết tới ngày nào điều này sẽ không đúng nữa nhưng
hiện tại nó vẫn đang đúng.
Chúng ta có thể thử tách toán học khỏi thực tế (một cách triệt để và trước sau gì
cũng không liên quan đến thực tiễn) như dùng các kí hiệu (không thể hiện cho bất
cứ cái gì trong thực tế) và nêu ra những quy tắc, định lí, tính chất hoàn toàn không
có trong thực tế nhưng điều này không giúp ích gì lắm cho sự phát triển của toán
học bởi vì nó hoàn toàn thiên về việc tưởng tượng (mọi thứ đều phải tưởng tượng vì
nếu không tưởng tượng mà dùng những suy luận như lâu nay vẫn dùng thì lại quay
về thực tế). Nếu ta tưởng tượng điều vốn biết là không thể thành điều có thể thì
cũng là vận dụng quy luật phủ định. Một công trình mà về bản chất không liên quan
gì đến thực tiễn (hoặc phục vụ cho phát triển tư duy) thì cũng khó phát triển lâu dài.
Toán học cũng phát triển do những yêu cầu nội tại của nó. Điều này không mâu
thuẫn với quan điểm thực tế là cơ sở của lí luận vì bên cạnh quan điểm này, chủ
nghĩa duy vật biện chứng còn khẳng định tính độc lập tương đối của lí luận và khả
năng đi trước thực tế của lí luận. Sự phát triển này xuất phát từ những mâu thuẫn
nội tại trong toán học, tính trừu tượng ngày càng cao của tư duy toán học, Hình
học Lobachevsky là một ví dụ.
Trong việc dạy toán, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách
trình bày kiến thức toán học. Ví dụ: học sinh mới học toán cần có những liên hệ
thực tế (những thứ mà học sinh mắt thấy, tai nghe) để học sinh dễ nắm bắt. Khi lên
các lớp trên, tập cho học sinh quen dần với tư duy trừu tượng vì không phải lúc nào
cũng tìm được mô hình thực tế để minh họa kiến thức (lí luận độc lập tương đối với
thực tiễn) và đó cũng là việc làm cần thiết để học sinh tiếp thu các tri thức toán học
cao cấp hơn.
2. Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học
Từ chỗ toán học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được

do tính đặc thù của toán học, dùng suy luận logic để chứng minh và các chứng minh
không phụ thuộc vào sự vật, hiện tượng cụ thể.
Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết toán học ở những
hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau. Điều này dễ nhận
thấy vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực
tiễn nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau. Nhiều kết quả của toán
học không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác.
Tuy ta vẫn thấy có những công trình toán học chưa được ứng dụng gì trong thực
tiễn hiện tại nhưng nó đã được chứng minh là đúng đắn bằng lí luận toán học thì có
thể là do nó đã phát triển nhanh quá mức mà con người chưa thể ứng dụng được
(thực tiễn chưa kiểm tra được hoặc những người khác chưa nhận ra được) chứ
không hẳn nó sai và tách khỏi thực tiễn hoàn toàn. Ví dụ: hình học Lobachevsky lúc
đầu sự ra đời của nó bị cho là quái gở nhưng về sau nó được đánh giá là một phát
minh rất quan trọng. Điều này cho ta một luận điểm quan trọng trong nhận thức
toán học:
“Một lí thuyết toán học, dù kì quặc đến đâu, cũng có quyền tồn tại nếu nó đứng
vững về mặt toán học, nghĩa là nó phù hợp với logic; logic lại không phải từ trên
trời rơi xuống, mà từ thực tiễn mà ra; cho nên phù hợp với logic chính là phù hợp
với thực tiễn, nếu không phải là thực tiễn ngày nay thì là một thực tiễn trong tương
lai. Những lí thuyết kì quặc là những lí thuyết phù hợp với một thực tiễn trong
tương lai mà hiện nay chưa ai biết.” (xem 873, [4])
7
Trong toán học cần đào sâu, lật đi lật lại vấn đề, không nên nghĩ rằng cái gì
thực tiễn đã kiểm nghiệm đúng là không còn gì để làm nữa. Điều này nghĩa là luôn
luôn học hỏi, tìm tòi để hoàn thiện hơn tri thức, phát triển sâu sắc tư duy, không nên
quá tin tưởng vào điều gì. Ví dụ: trước đây người ta đã chứng minh được sự tồn tại
của hạt vật chất nhỏ nhất (lúc đó người ta nghĩ rằng nó là nhỏ nhất) là nguyên tử.
Nếu như người ta chấp nhận, không có một sự “nghi ngờ khoa học” nào thì ta
không thể biết rằng nguyên tử còn có thể chia nhỏ nữa. Hoặc nếu nghĩ rằng hình
học Euclide đã đủ để biểu thị mọi mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian

8
Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học của
giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn là tài liệu rất có giá trị trong việc học và dạy toán. (xem
[5])
Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học
vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những
vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi
không nhận ra. Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động
trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học
và trong các hoạt động thường ngày.
II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT
Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên. Ngược lại các phát
minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng.
1. Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học
Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức
không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao. Toán học có các
đối tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng.
Toán học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những
phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao. Vì thế mà tính đúng đắn
của các tri thức thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể
nào. Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các
ngành khoa học khác.
Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về
mặt lượng của các đối tượng khác nhau. Do đó, toán học cung cấp tri thức cho
những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả. Cơ học và thiên văn
học sử dụng tri thức của toán học là điều dễ thấy. Toán học được sử dụng trong
sinh học, địa lí, hóa học rất phổ biến. Ngay cả trong các lĩnh vực tưởng chừng như
không dùng đến toán học như văn học, ngôn ngữ học, mỹ thuật thì vẫn có đóng
góp của toán học. Ví dụ:

của sự vật hiện tượng.
Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định):
Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức. Nó giúp cho lập
luận được chính xác, chặt chẽ hơn.
Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân,
tích phân,… Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát triển
logic biện chứng.
“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên,
thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.” ( xem 606, [1])
Ví dụ: Nhà toán học Godel đã chứng minh được rằng trừ hai hệ hình thức đơn giản
là toán mệnh đề và toán tân từ (và các hệ hình thức tương đương với chúng) là đầy
đủ (tức không xảy ra nghịch lí) còn các hệ hình thức phức tạp hơn (hệ tiên đề về số
học, về tập hợp, ) đều không thể trở thành hệ đầy đủ (nếu ta bổ sung thêm các tiên
đề để khắc phục nghịch lí thì lại có một nghịch lí khác xảy ra).
10
Đây là một minh chứng cho một nguyên lí của nhận thức luận: quá trình tìm kiếm
chân lí không có giới hạn cuối cùng, không đạt đến tuyệt đối cuối cùng. Điều này có
nghĩa là ta không thể xây dựng một lí thuyết nào có thể giải thích và bao quát được
toàn bộ thế giới hiện thực, tuy vẫn không ngừng xây dựng được những lí thuyết
ngày càng mạnh, càng bao quát được nhiều phương diện của thế giới hiện thực. Do
đó, dù cho ta dùng một nguyên lí mạnh đến thế nào cũng không suy ra được mọi
hiện tượng của thế giới khách quan. Nghĩa là công cụ nhận thức thế giới không thể
duy nhất lí trí mà còn phải có thực tiễn.
Trong từng giai đoạn phát triển của triết học, toán học, trực tiếp hoặc gián
tiếp, đã có nhiều đóng góp quan trọng cho sự phát triển của triết học.
3. Toán học là công cụ của nhận thức
Toán học không những giúp con người kiểm chứng các nguyên tắc nhận
thức, nó còn cho ta những công cụ thật khoa học để nghiên cứu thế giới tự nhiên.
Từ lâu toán học và phương pháp của nó được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên
cứu khoa học. Loài người sử dụng toán học không chỉ để tính toán mà còn để khám

được xây dựng. Mô hình đó xây dựng được khi nó định lượng được đối tượng trong
các lĩnh vực khác. Mô hình toán học giúp tính toán và dự đoán được trước các quan
hệ số lượng. Chẳng hạn:
• Hình học fractal cho phép nghiên cứu được các phân dạng (vật thể hình học
có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại) bởi vì nó xây dựng được
phép đo đạc mới về kích thước của vật thể mà các phép đo của hình học
Euclide và giải tích không làm được.
• Tri thức về tổ hợp, xác suất thống kê được áp dụng trong sinh học để khảo
sát các tổ hợp khi lai giống cây trồng hay tính toán khả năng xuất hiện tổ hợp
kiểu nào.
Trên đây là vài ví dụ cho thấy sự cần thiết của toán học trong đời sống trong vô vàn
các hoạt động cần đến toán học và tư duy logic của con người.
Con người cần có tư duy chính xác, chặt chẽ trong các hoạt động thường
ngày và trong thời đại tin học cũng cần phải biết sử dụng những công cụ do toán
học sản sinh ra như máy vi tính, các phần mềm tin học, … Tư duy logic đóng vai
trò rất quan trọng trong đời sống thường ngày và trong các ngành khoa học. Toán
học chứa đựng trong bản thân nó những hoạt động lí trí, của lập luận trừu tượng.
Toán học đóng góp vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức nên tư duy có lí
luận chính xác, chặt chẽ. Do đó nó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư
duy.
III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN
ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG
Trong mục này ta sẽ tìm hiểu một số nội dung triết học thể hiện trong toán
học và việc vận dụng chúng trong việc học toán và trong nhận thức như thế nào.
1. “Cấu trúc” trong toán học
Vấn đề “cấu trúc” trong toán học đã được các nhà toán học quan tâm từ cuối
thế kỉ XIX đến nay. Sự ra đời của của cấu trúc toán học không chỉ đơn thuần là
đánh dấu sự xuất hiện của một khái niệm toán học mới mà còn là một sự xuất hiện
12
kiểu tư duy tiến bộ trong toán học. Nhìn sự vật hiện tượng trong tổng thể, tức là các

với nhau. Ví dụ:
• Cùng một nội dung là hình học xạ ảnh nhưng có thể được thể hiện ở mô hình
bó hoặc mô hình mặt phẳng chứa đường thẳng vô tận.
• Cùng nội dung là số phức nhưng có nhiều hình thức thể hiện:
(a;b), a bi,+

i
re , r(cos isin ).
ϕ
ϕ ϕ
+

Nhìn một khái niệm dưới nhiều hình thức khác nhau sẽ cho ta hiểu sâu sắc
nhiều khía cạnh của nội dung. Ví dụ: đường kính của đường tròn có thể nhìn dưới
các góc độ: dây cung qua tâm, dây cung mà khoảng cách từ tâm đến nó nhỏ nhất,
hai bán kính tạo một góc 180
o
, dây cung có độ dài lớn nhất,…
13
Nội dung quyết định hình thức, đây là điều tất nhiên vì nội dung quyết định
bản chất của đối tượng là cái gì và do đó nó sẽ quyết định hình thức phù hợp thể
hiện được nội dung đó. Ví dụ: Các hệ phương trình tuyến tính được biểu thị trên các
ma trận thì việc biến đổi ma trận phải thể hiện được các biến đổi như khi làm với
các phương trình tuyến tính.
Hình thức độc lập tương đối với nội dung và bị chi phối bởi nội dung nhưng
nó có tác động trở lại nội dung. Một hình thức phù hợp sẽ biểu hiện được nội dung
rất chính xác, rõ ràng. Ngược lại, nội dung cũng có thể bị hình thức che lấp. Một
hình thức cũng có thể chứa nhiều nội dung. Ví dụ:
• Cho p là số nguyên tố, p + 1 là hình thức biểu hiện còn nội dung có thể là số
tự nhiên liền sau hoặc tổng của các ước của p.

Tóm lại, cần chú ý mối tương quan giữa nội dung và hình thức. Trong toán
học cần biểu thị một nội dung ở nhiều hình thức để thấy rõ các khía cạnh khác nhau
của nội dung; cũng cần khai thác khả năng biểu thị nhiều nội dung của một hình
thức để khi gặp bài toán ta sẽ linh động sử dụng được nhiều công cụ khác nhau để
giải quyết. Càng đưa ra nhiều mô hình cho một nội dung toán học thì toán học càng
dễ được áp dụng vào trong thực tiễn.
Nhân nói về nội dung và hình thức trong toán học, chúng ta đề cập đến vấn
đề “chủ quan và khách quan trong nghiên cứu toán học”. Những gì đề bài cho là
khách quan. Những gì chúng ta được tùy chọn là chủ quan. Nếu việc ta chọn là
đúng (trong lí luận toán học) so với đề bài thì cái chủ quan này phù hợp với khách
quan và nó cũng là cái khách quan. Vấn đề là ta chọn cái gì cho có lợi? Tận dụng
điều này trong làm bài tập toán ra sao. Chúng ta cần nhận thức chính xác cái khách
14
quan, ta cần tìm ra những cái chủ quan thuận lợi và hợp với khách quan để giải
quyết bài toán. Ví dụ:
Xét bài toán
Cho hàm số
f : N N→
thỏa mãn
f (xy) f (x) f (y) 1, x, y N= + − ∀ ∈
.
Tính f (14.400), biết
( )
f 30 4=
và phương trình
f (x) 1=
có hữu hạn nghiệm thuộc N.
• Giả thiết “phương trình
f (x) 1=
có hữu hạn nghiệm thuộc N” là điều kiện

• Xét sự tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn, khi phủ định sự tiếp xúc thì
ta có tiếp xúc là trường hợp riêng của không tiếp xúc với khoảng cách từ tâm
đường tròn tới đường thẳng bằng đúng độ dài bán kính.
Sự phủ định cho ta nhiều dữ kiện hơn khi giải quyết bài toán. Đó là tư tưởng
của phép chứng minh phản chứng. Ví dụ: Xét bài toán “Cho X là không gian
Banach vô hạn chiều. Chứng minh X không thể có một cơ sở Hamel gồm một số
15
đếm được các phần tử.” Trong bài này việc giả sử ngược lại “X có một cơ sở Hamel
gồm một số đếm được các phần tử” sẽ cho ta thêm dữ kiện để giải bài toán.
Quy luật phủ định của phủ định cho phép ta nhìn thấy quá trình phát triển
của toán học là một quá trình biện chứng lâu dài. Trong đó các kiến thức toán học
mới không phải tự nhiên mà có, đó là sự kế thừa những mặt tích cực từ các kết quả
cũ và khắc phục những mặt kém của các kết quả đó. Điều này cho ta một tư tưởng
tiến công trong khoa học: các kết quả toán học dù có phức tạp đến đâu thì cũng phát
triển lần lượt từng bước chứ không đột nhiên mà có cả một công trình trong ngày
một ngày hai, nếu nắm bắt được quy luật phát triển của chúng và làm việc khoa học
thì cũng đạt được những kết quả nhất định. Trong vấn đề giúp học sinh phát triển
được tư duy toán học và tăng niềm tin vào khả năng nghiên cứu toán học, giáo sư
Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “nên hiểu rằng “mới” không phải là “mới toanh” hoàn
toàn chẳng dính gì đến cái cũ. Chẳng bao giờ có cái mới như vậy cả. Cái mới bao
giờ cũng ra đời từ cái cũ, kế thừa những mặt tích cực trong cái cũ, đồng thời hơn
cái cũ ở chỗ giải quyết được khó khăn mà cái cũ không giải quyết nổi.” (xem 105,
[4])
4. Bất biến và vạn biến trong toán học
Bất biến và vạn biến thể hiện rất rõ ràng và đa dạng trong toán học. Mỗi định
lí nói lên một quy luật tức là cái gì đó đúng ở khắp mọi nơi (bất biến) và ta dùng
định lí đó ở rất nhiều nơi (vạn biến). Mỗi một công thức là bất biến và nó được
dùng để tính những giá trị cụ thể (vạn biến). Ví dụ: công thức nghiệm của phương
trình bậc hai tổng quát là bất biến và nó dùng để tính nghiệm cho mọi phương trình
bậc hai với hệ số cụ thể (vạn biến).

(v ) : v 3; v 1 v ,n 1.
+
= = + ³
Trong toán học, nhiều kết quả
được tìm kiếm nhờ con đường quy nạp, người ta thấy các tính chất nào đó ở một vài
trường hợp cụ thể sau đó dùng suy luận logic để chứng minh. Do đó, ta nhận thấy
rằng bất biến và vạn biến đều quan trọng.
Vấn đề bất biến và vạn biến cho ta liên hệ đến việc dùng quy luật tất nhiên để
kiểm soát cái ngẫu nhiên. Cặp phạm trù tất nhiên và ngẫu nhiên biểu hiện như thế
nào trong toán học?
Toán học với sự ra đời của tư tưởng “xác suất – thống kê” đã chứng tỏ được
sự tồn tại tất nhiên của cái ngẫu nhiên. Toán học đã chỉ ra được một cách cụ thể khả
năng tồn tại của những cái ngẫu nhiên. Ví dụ: tính ra tỉ lệ người con sinh ra mắc
bệnh di truyền từ người mẹ là bao nhiêu. Trong các thí nghiệm, người ta tính ra khả
năng cho các kết quả như thế nào. Việc tính trước các khả năng cho phép con người
chủ động trong các hoạt động. Toán học với tư tưởng xác suất thống kê cho phép
con người có cái nhìn toàn diện hơn, suy xét các vấn đề ở nhiều khía cạnh khác
nhau chứ không chỉ đợi sự việc xảy ra, do đó hiệu quả công việc cao hơn.
Tất nhiên và ngẫu nhiên trong toán học cũng có thể chuyển hóa cho nhau.
Những kết quả toán học xuất hiện rời rạc ở những trường hợp cụ thể là cái ngẫu
nhiên, nhưng nếu nó được con người phát hiện và chứng minh nó đúng cho hàng
loạt trường hợp thỏa điều kiện nào đó thì nó trở thành cái tất nhiên. Ngược lại, một
kết quả được biết là đúng cho trường hợp nhỏ thì có thể chỉ là cái ngẫu nhiên của
các trường hợp lớn hơn. Nói chung, tất nhiên và ngẫu nhiên trong toán học còn tùy
vào tình huống cụ thể, từng người cụ thể (có những kết quả là tất nhiên với người
này nhưng là ngẫu nhiên với người khác).
Trong nhận thức toán học, cần thấy được vai trò của bất biến và vạn biến, tất
nhiên và ngẫu nhiên để sử dụng chúng có hiệu quả. Dùng cái tất nhiên và bất biến
để xem xét cái ngẫu nhiên và vạn biến nhưng ngược lại cũng từ những cái ngẫu
nhiên, vạn biến mà thấy được cái tất nhiên, bất biến.