Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển
Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của
phân bố Maxwell) :
Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :
( , ),( , ),( , )
x x y y z z
v v dx v v dy v v dz

Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng
( , )v v dv
.
Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng
( , )d

Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau :
a)
2
3
22
2
1
/
( ) ( )
n
n
n
kT
m
vn
Hướng dẫn
 Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :
( ) ( , , )
i
mv
m
kT
ii
kT
dW v e dv i x y z
2
2
2

 Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
()
mv
m
kT
kT
dW v e v dv
2
3
2
2
2
4

 Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
()

kT m m
2
1
1
2
2
2
22
2
2
. Từ đó ta được :
n
nn
nx
n
kT kT
mm
v x e dx
1
3
2 2 2 2
2
22
2
0
.
Trong đó :
()
ax
a x e dx

v
2
3
2 2 5 2 2 3
24
. Từ
đó ta tìm được :
()
kT kT kT
m m m
vv
2
2
3 8 8
3

d) Ta có
.v v v v v v v v
2 2 2
2 2 4 2 2 2 4 2
2
. Áp dụng kết quả câu a) với
n 2
và
n 4
ta có :
()
kT kT
mm
v

()
mv
m
kT
kT
dW v v e dv
2
3
2
2
2
4
, ta thấy để xác xuất
()dW v
cực đại thì hàm
()
mv
m
kT
kT
f v v e
2
3
2
2
2
4
phải đạt cực đại.
Ta có :
()


0 0 0

()fv

max
f

0 0

Từ đó ta thấy rằng
()fv
đạt cực đại khi
kT
m
v
2
, nói cách khác vận tốc có xác suất lớn
nhất là
kT
m
v
2
0
.
Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm
Gamma :
( ) ( ) ( ), ( ) ! ( )a a a a n n n1 1 1
và
( )=

Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng
( , )
( , )
H p q
kT
p q Ae
. Đối với dao động tử điều
hòa tuyến tính
qx
và
( , )
p
mx
m
H x p E
2
22
22
là năng lượng của dao động tử , do
đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng :
()
E
kT
E Ae
. Từ điều
kiện chuẩn hóa
()E dE
0
1
, ta có :

E E E E
kT kT kT kT
kT
E kT Ee kT e dE e d kT e kT
1
00
00

Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm
N

nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ
thức :
cp

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN

a
1
0
ta tìm được :
i
cp
kT
kT
i
c
e dp
3
8
. Thay vào (1) ta được :

!( ) !( )
N
N
N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
33
3
33
1
11


Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do
F
, entropy
S
, nội năng
U
, nhiệt dung đẳng tích
V
C
, thế Gibbs , enthalpy
H
, nhiệt dung đẳng áp
P
C
. Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức
liên hệ giữa tích phân trạng thái
Z
và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với
bài tập trên ta có :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T3

ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
3

H
P
T
P
C Nk4

Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn
nguyên tử gồm
N
nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ
với nhau bởi hệ thức :
3
( : )cp c const

Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ :
N
i
i
H cp
3
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
cp
HN
kT kT
ii
NN

4
44
33
. Thay vào (1) ta được :

!( ) !( )
N
N
N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
33
33
1
11
44
22

Trong đó :
!( )
N
N
k
c
N
N


ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
1

Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
0
.
U
V
T
V
C Nk
;
ln ln lnF PV NkT V T NkT

H U PV NkT NkT NkT2
;
H
P
T
P

33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
cp
cp
kT kT
i
e dp e p dp
4
4
2
0
4
. Đặt :
//
//
cp
kT kT
kT c c
x p x p dp x dx
4

N N N
kT kT
cc
NN
i
Z V V V T
NN
3 4 3 4
34
33
44
33
1
11
22

Trong đó :
/
()
!( )
N
N
k
c
N
N
34
3
4
3

33
44

Hay
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
3
0
4
.
ln
ln ln ln
Z
TT
V
U F TS kT NkT V T NkT
22
33
44

U
V
T
V
C Nk
3
4
;

H ap
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
i
ap
HN
kT kT
ii
NN
i
V
Z e d dr e dp
NN
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :
()
i
V
dr V
là thể tích của hệ
i
ap
ap
kT kT

1
33
3
0
44
.Thay vào (1) ta được :
//
/
( ) ( )
!( ) !( )
N
N
N N N
kT kT
ca
NN
i
Z V V V T
NN
3 4 3
3
4
33
4
33
1
11
22

Trong đó :

ln ln ln
Z
TT
V
U kT NkT V T NkT
22
33

Các đại lượng nhiệt động khác :
ln ln ln lnF kT Z NkT V T
3

ln
ln ln ln ln .
FZ
T T T
VV
S k Z kT Nk V T NkT
33

Hay :
ln lnS S Nk V Nk T
0
với
lnS Nk Nk
3
0
.
U
V

N
p
i
m
i
H mgz
2
2
1
. Tích phân trạng thái của hệ :
()
!( ) !( )
ii
mgz p
HN
kT kT mkT
ii
NN
i
V
Z e d e dr e dp
NN
2
2
33
1
11
22
(1)
Mặt khác :

0
42
. Thay vào (1) ta được :

/
[ ( )( ) ]
!( )
N mgh
kT
N
i
kT
Z e mkT
mg
N
32
3
1
1
12
2

//
[ ( )( ) ] ( )
!( )
mgh mgh
N N N N
kT kT
N
kT

5
2
1

Nội năng :
ln
[ ln ln( ) ln ]=
mgh
Z
kT
TT
V
U kT NkT T e
22
5
2
1=
mgh
kT
mgh mgh
kT kT
mgh Nmgh
e
kT
ee
NkT NkT
T

mgh mgh
kT kT
mgh mgh
mgh
kT kT
kT
V
sh
ee
C Nk Nk
22
2
2
2
22
2
55
22

Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh
L
có chứa
N
phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ
T
.
Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ
i
N

( ) |
i
mgL
kT
L L L
mgz
mgz mgz
L
kT kT
kT kT kT
i
mg mg
V
e dr dx dy e dz L e L e
22
0
0 0 0
1

/
()
i
p
p
mkT mkT
i
e dp p e dp mkT
2
2
2 3 2

N
kT
L e mkT L T e
mg
N
2 3 2 2 5 2
3
1
1 2 1
2

Trong đó :
/
[]
!( )
NN
k
mg
N
mk
N
32
3
1
2
2
. Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình
là :
ln lnZZ
dL

e
P L T e
e
22
52
2
33
21
1( / )
[ + ]= [ + ]
mgL mgL
kT kT
mgL kT
mg
NkT NkT
L kT V
L
ee
2
2 1 2 1
33
3
11
(với
VL
3
)

j
j
jj
p
H m gz
N
m kT
kT kT
j j i i
NN
i
V
jj
Z e d e dr e dp
NN
2
2
33
1
11
22

Mặt khác :
( ) ( )
( ) | ( )
j i j j m gh
j
kT
jj
h

[ ( )( ) ]
!( )
j
j
j
j
m gh
N
kT
kT
jj
mg
N
i
j
Z e m kT
N
32
3
1
1
12
2/
/
[ ( )( ) ] ( )
!( )
jj

N
N
k
jj
mg
N
j
mk
N
32
3
1
2
2
.Tích phân trạng thái của hệ là :
j
j
ZZ
2
1
. Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là :
ln ln
ln
jj
ZZ
Z
dh
V V h dV
T
TT

22
5
2
11
1
1

Hay :
jj
m gh
j
kT
N m g
j
e
P
2
1
1
1

 Nội năng của hệ :
ln
ln
j
Z
Z
TT
V
V

11
1
1

Hay :
()
jj
m gh
j
kT
N m gh
j
j
e
U N kT
2
5
2
1
1
. Gọi
d
E
là động năng trung bình của hệ, theo định lý
phân bố đều động năng ta có :
()
dj
j
E N N kT N kT
2


là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được :
()
( ) ( )
jj
m gh
j
kT
N m gh
tt
cj
j
e
EE
z N kT
Mg N m N m g N m N m g
2
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1
1

Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối
tâm của chúng bằng :
sin
()
p
q
I
p

2
2
22
00
. Sử dụng tích phân Poisson :
ax
e dx
a
2
, ta được :

p
IkT
e dp IkT
2
2
2
và
sin
sin sin
p
I kT
e dp I kT IkT
2
2
2
2
22
. Thay vào biểu thức của
q

 Nhiệt dung :
{ ln [ ln( ) ]} .
S
k
V
T T T
V
C T T k T k Ik T k
2
81

Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy
R
, chiều cao
h
. Biết rằng hình
trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc .
a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình.
b)Tìm nội năng của khí.
Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình
trụ sẽ quay theo với vận tốc góc . Gọi
r
là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực
ly tâm tác dụng lên hạt là :
lt
f m r
2
. Lực này liên kết với thế năng ly tâm
()
lt

NN
m r p
HN
kT kT mkT
ii
NN
i
V
Z e d e dr e dp
2 2 2
33
11
22
22
1

 Sử dụng hệ tọa độ trụ
( , , )rz
, ta có :
| ( )
i
hR
mr
m r m r m R
R
hkT
kT
kT kT kT kT
i
mm

ta nhận được :
//
!( )
[ ( )( ) ] ( )
N
N m R m R
N N N
hkT
kT kT
Nm
i
Z e mkT T e
2 2 2 2
32
3 2 5 2
2
1
22
2
1
1 2 1

trong đó :
/
!( )
[ ( ) ]
N
NN
kh
Nm

mR
kT
mR
mR
e
Z
kT NkT NkT kT
kT
Rh R Rh R Rh
T
e
P T e
22
2
22
2
22
2
5
2
2 2 2 2
1
1

Hay :
( / )
mR
kT
m R kT
NkT

mR
e
kT
T
e
NkT
22
22
2
2
22
2
2
52
2
1

, hay :
/
mR
kT
Nm R
e
U NkT
22
22
2
2
5
2

(2),
trong đó
M Nm
là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được :
N
ci
i
z mgz
Nmg
1
1
(3)
Để tính
i
z
ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân
bố Boltzmann có dạng :
()
mgz
kT
z Be
. Từ điều kiện chuẩn hóa:
()z dz
0
1
, ta có :
( ) |
mgz mgz
mg
kT kT

kT
mg mg
e
0
. Thay giá trị này vào (3) ta có :
c
kT
z
mg
.
Bài 13. Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng
m
và tần số .
Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và
nhiệt dung của hệ.
Hướng dẫn. Hàm Hamilton của hệ là :
()
N
i
p m x
H
m
2 2 2
1
22
. Tích phân trạng thái :
!( )
N
N m x p
kT mkT


Từ đó suy ra :
!( ) !( )
[ ] .
NN
N
N
NN
kT kT
N m N
i
Z mkT T
2
22
11
22
1
2

Với
!( )
N
N
N
k
N
2
1
2


22
22
. Do đó, năng
lượng trung bình của dao động tử là :
p
mx
m
EH
2
22
22
(1). Theo định lý phân bố
đều động năng ta có :
p
H
kT
mp
p
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
mx
x
22
2
nên
lim
x

m
H kx E
2
4
2
. Do đó, năng lượng
trung bình là :
p
m
E kx
2
4
2
(1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có :
p
H
kT
mp
p
2
1
2 2 2
(2). Vì
lim
x
kx
4
nên
lim
x

(3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được :
kT kT kT
E
3
2 4 4

Bài 19. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong
trường lực có thế năng
2
()
n
U q q
(
n
: số tự nhiên, : hằng số dương).
Hướng dẫn: Hàm hamilton của hạt :
p
n
m
H q E
2
2
2
. Do đó, năng lượng trung
bình là :
p
n
m
Eq
2

H
, tacó :
.
nn
H
q
q q n q n q
2 1 2
11
22
2
.
Từ đó suy ra :
nn
H
kT kT
qn
q n q q
22
1
2 2 2
(3). Thay (2), (3) vào (1) ta được :
kT kT kT
nn
E
1
2 2 2
1

Bài 20. Chứng minh các hệ thức sau :

j j i
Zq
j j i
dp dq F e dq
1
1
(1)
Lấy tích phân từng phần ta có :

i
ii
i
H H H
q
HF
kT kT kT
ii
qq
q
F e dq kT F e kT e dq

Vì
lim
i
q
H
nên
lim .
i
H

1
1

b)
ii
HF
pp
F kT

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có :
( ) ( )
( , )
H
kT
i i i
s
H H H
jj
p p Z p
j
F F q p d F e dq dp
1
1[]
i
sH
H
kT

kT
p
Fe 0

i
i
H
p
kT
p
kT F e 0
. Do đó :
ii
HH
HF
kT kT
ii
pp
F e dp kT e dp
(2). Thay (2) vào (1) ta được :
()
[ ] ( , )
i i i i
sH
H F F F
kT
j j i
p Z p p p
j j i
F dq dp kT e dp kT q p d kT

n
nn
1
2
0 1 2
nên, ta có :
()
sh( )
kT
kT kT kT
nn
kT kT kT kT
nn
e e e
Z e e e e
1
2
2
22
1 1 1
22
1
2
00
1

Từ đó ta nhận được :
sh( )
[]
N

hay :
ln sh( ) coth( )
kT kT kT
S Nk Nk
22
2

b) Năng lượng trung bình :
= coth
N
kT
E F TS
22

Nhiệt dung
sh( ) sh( )
coth( ) .( ).
kT kT
E
NN
V
T T kT kT
V
kT
C Nk
2 2 2
22
2
11
2 2 2 2

động tử điều hòa hai chiều là :
( ) ( , )
n
nn1 0 1
có bội suy biến
()
n
gn1

nên, ta có :
()
sh( )
( ) [ ]
kT
kT
n
n
Z n e
2
1
2
1
1
2
0
1
Từ đó ta nhận được :
sh( )
[]
kT

kT
EN
2

 Nhiệt dung :
sh sh
coth
kT kT
E
V
T T kT kT
V
kT
C N N Nk
2 2 2
22
2
11
22
2
2

Bài 3. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức
năng lượng
3
2
n
n
suy biến bội
12

01
có bội suy biến
( )( )
()
nn
n
g
12
2
nên, ta có :
()
( )( )
sh( )
[]
n
nn
kT
n
kT
Ze
3
2
12
3
1
1
2
2
0
2

3 2 3

Hay :
coth
N
kT
E
3
22

 Nhiệt dung :
sh sh
coth
kT kT
E
NN
V
T T kT kT
V
kT
C Nk
2 2 2
22
2
3 3 1 1
2 2 2 2
2
3

[]
n
kT kT
nn
kT kT kT kT
n
ee
n
kT kT
e e e e
kT
22
2
1 1 1 1
Bài 5. Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường
H
thì các mức năng lượng của nó tách làm
2 :
H
và
H
tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ
trường
H
. Giả sử hệ gồm
N
hạt như thế được đặt trong từ trường
H
ở nhiệt độ

[2ch( )]
H
N
kT
Z

 Năng lượng của hệ :
sh
ln
ch
ln[ ch( )]= ( ) .th
H
kT
H
kT
H H H
Z
T T kT kT
V
kT
E kT NkT NkT N H
2
2 2 2
2

 Nhiệt dung của hệ :
ch ch
.( )
HH
kT kT

Do đó momen từ trung bình của một hạt là :
()
z i i
i
W
. Vì moment từ của một
hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên :
sh( )
ch( ) ch( )
( ) ( ) .th( )
HH
H
kT kT
kT
HH
kT kT
e e H
z
kT
WW
2

Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là :
.th( )
H
kT
N