Chuyờn LTH Hunh Chớ Ho boxmath.vn
Chuyờn 14: GII HN LIấN TC O HM
A. Gii hn
1. Cỏc gii hn c bn:
1)
x x
0
lim C C

=
(C laứ haống soỏ)
2)
0
x x
0
lim f(x) f(x )

=
(f(x
0
) phaỷi xaực ủũnh)
3)
x
lim C C

=
,
x
1
lim 0
x


=
vi k l s l
a)
k
x
lim x

= +
vi k l s chn.
2. Cỏc quy tc tớnh gii hn:
1)
[ ]
x x x x x x
0 0 0
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

=
2)
[ ]
x x x x x x
0 0 0
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)

=
3)






=
c cho trong bng sau:
0
x x
lim f (x)

=
Du ca L
[ ]
0
x x
lim f(x).g(x)

+
+


+

+

+


+
(Quy tc ny vn ỳng cho cỏc trng hp sau:
0 0
x x ;x x ;x ;x
+

g(x)

=
c cho trong bng sau:
Du ca L Du ca g(x)
0
x x
f (x)
lim
g(x)

+
+


+

+

+


+
125
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
(Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau:
0 0
x x ;x x ;x ;x
+ −
→ → → +∞ → −∞

2 2
→+∞
 
− +
 ÷
 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
a)
x
2x 1
lim
x 2
→−∞
+
−
b)
x
2 x
lim
2x 1
→+∞
−
+
a)
x 2
2x 1
lim
x 2
+
→

2x 3x 1
lim 2x
x 2
→+∞
 
− −
−
 
−
 
a)
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2
−
→
− −
−
b)
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2
+
→
− −
−

• Định nghĩa 3 : Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn
[ ]
a;b
.
Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn
[ ]
a;b
nếu nó liên tục trên khoảng
( )
a;b
và
x a
x b
lim f (x) f (a)
lim f (x) f (b)
+
−
→
→
=



=


Định lý:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng
(tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).

0
0
x x
0
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x
→
−
=
−
2. Ý nghóa hình học của đạo hàm:
• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x
0
là f'(x
0
) . (C) là đồ thò của hàm số

0 0 0
M (x ;f(x )) (C)∈
và
∆
là tiếp tuyến của (C) tại M

a) Ý nghóa hình học của đạo hàm:
• Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thò hàm số đó tại
điểm

0
y f(x )
k f '(x )
=



=


3. Các quy tắc tính đạo hàm:
Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số
a. Đạo hàm của tổng ( hiệu ):
( )
vuvu
′
±
′
=
′
±
b. Đạo hàm của tích:

( )
v.uv.uv.u
′
+
′
=
′

−
 
=
 ÷
 
và
′
 
= −
 ÷
 
2
C C.v'
v
v
d. Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho hai hàm số
( )
ufy =
và
( )
xgu =
khi đó
( )
[ ]
xgfy =
được gọi là hàm hợp của hai
hàm số trên, khi đó:
xux
u.yy

( )
n n 1
x n.x
−
′
=

( )
n N,n 2∈ ≥

( )
n n 1
u n.u .u
−
′
′
=
2
1 1
x x
′
 
= −
 ÷
 

(x 0)≠

2
1 u

′

( )
ucosuusin
′
=
′

( )
xsinxcos −=
′

( )
usinuucos
′
−=
′

( )
2
2
1
tan x 1 tan x
cos x
′
= = +

( )
2
2

2
dcx
b.cd.a
dcx
bax
+
−
=
′






+
+
( )
2
11
111
2
1
11
2
2
bxa
cabbxbaxaa
bxa
cbxax

e e u=
(với u là một hàm số)
( )
' . ln . '
u u
a a a u=
(với u là một hàm số)
• Đạo hàm của hàm số lơgarit:

( )
1
ln 'x
x
=
và
( )
1
ln 'x
x
=

( )
'
ln '
u
u
u
=
và
( )

log '
.ln
a
u
u
u a
=
và
( )
'
log '
.ln
a
u
u
u a
=
(với u là một hàm số)
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Ví dụ 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau

= − + − − = − −
− − −
=
+ +
4
3 2 2
2
1 x 3
1) y x 4x 5x 11 2) y x

=
x
x
y
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1)
xxy −= 4
2)
1
2
3
+
+
=
x
x
y

3)
xxy −+−= 42
4)
2
2 xxy −+=
Ví dụ 5: Tính
f '(x)
và giải phương trình
f '(x) 0=
khi biết
1)
3 2

4 2
= − +
2)
4 2
f (x) x 8x 6= − + +
3)
3x 1
f (x)
1 x
+
=
−
4)
2
x x 1
f (x)
x 1
− +
=
−
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
1)
3
y x 3x 2= − +
tại điểm trên (C) có hồnh độ bằng 2.
2)
4 2
y x 2x= −
tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8.
3)

.
C. VI PHÂN
Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích
f '(x). x∆
gọi là vi phân của hàm số
y f (x)=
, ký hiệu là

df (x) f '(x). x= ∆
(1) . Đặc biệt với hàm số
y x=
ta có
( )
dx x '. x x= ∆ = ∆
nên (1) có thể viết thành:

df (x) f '(x).dx=
Hết
129