111

Chương 5
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM
5.1 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC
Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải tích số. Đó là công cụ để
khôi phục các đặc trưng liên tục của một hàm số y=f(x) từ các tập hợp dữ liệu rời
rạc do đo đạc hay quan sát được. Khi f(x) là một hàm phức tạp, khó tính toán và
khảo sát thì cũng cần được xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội
suy bằng đa thức. Lý do đa thức là một hàm đơn giản: dễ tính đạo đạo hàm và
nguyên hàm…
Nội suy bằng đa thức là tìm một đa thức P(x
i
) bậc n-1 qua n mốc nội suy x
i

với
1,
i n

thỏa mãn P(x
i
)= f(x
i

x
n-1
+ p
2
x
n-2
+ +p
n-1
x+ p
n

Từ điều kiện (5.1), để tìm các hệ số p
i
của đa thức nội suy P(x) ta có thể giải
hệ phương trình sau đây:
1 2
1 1 2 1 1 1 1
1 2
1 2 2 2 1 1 2
1 2
1 2 1

n n
n n
n n
n n
n n

1 2
1 1 1
1 1
1 2
2 2
2 2 2
1 2
1
1 1
n
n
n
n n
n n n
x x x
p y
p y
x x x
p y
x x x



 
   
 
   

i
=P(x
i
)=Q(x) với
1,
i n

.
Xét đa thức R(x)=P(x)-Q(x). Rõ ràng là:
R(x
i
)=P(x
i
)-Q(x
i
) =0 ,
1,
i n

.
Như vậy R(x) là đa thức bậc không quá n-1 nhưng có tới n nghiệm khác
nhau x
1
,x
2
, x
n
. Do đó R(x) =0 với mọi x, hay P(x)

Q(x). Điều đó chứng tỏ rằng

 
    

    
với
1,
i n

.

113
Dễ thấy các đa thức cơ bản có tính chất:

 
0 khi i j
1 khi i j
i j
L x







y y
1
y
2
y
3

Giải: Ta có các đa thức nội suy cơ bản:




 
 




 
 
2 3 1 3
1 2
1 2 1 3 2 1 2 3
( ) , ( )
x x x x x x x x
L x L x
x x x x x x x x
   
 
   

 




  
2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
( )
x x x x x x x x x x x x
P x y y y
x x x x x x x x x x x x
     
  
     
.
5.1.2 Đa thức nội suy Newton
Nội suy bằng đa thức Lagrange là một phương pháp khá đơn giản, sử dụng
rất ít các kiến thức về đại số, nên dễ nhớ. Tuy nhiên đây lại là một phương pháp
kém hiệu quả. Bây giờ xét trường hợp giữ bảng dữ liệu cũ và bổ sung thêm một
nút nội suy mới (để hàm số được nội suy chính xác hơn) thì tất cả các đa thức nội
suy cơ bản lại phải tính toán lại từ đầu. Thay cho công thức nội suy dạng
Lagrange ta viết đa thức nội suy P(x) dưới dạng:
P(x)= a
1
+ a
2
(x-x
1

1
1 1
1
,
i i
i i
i i
y y
f x x
x x






: Tỉ hiệu cấp 1 tại x
i
;

 
1 1 2 1 1
2 1 2
2
[ , ] [ , ]
, ,
i i i i
i i i
i i
f x x f x x

…
 
2 2 3 2 1 2 1
1 1 2
1
[ , , , ] [ , , , ]
, , ,
n n n n
n n
n
f x x x f x x x
f x x x
x x
  




:Tỉ hiệu cấp n-1 tại x
1
.
Tại nút x
i
chỉ phải tính các tỉ hiệu cấp 1 đến cấp n-i. Ta lập một bảng để
thuận tiện khi tính toán các tỉ hiệu.
Bảng 5-1
Bảng tỉ hiệu với 6 núy nội suy
x y
f
1

1
[x
3
,x
4
]

f
1
[x
4
,x
5
]

f
1
[x
5
,x
6
] x
2
y

4
,x
5
]

f
3
[x
3
,x
4
,x
5
,x
6
]
x
3
y
3
f
2
[x
2
,x
3
,x

6
]

x
4
y
4
f
2
[x
3
,x
4
,x
5
]

f
4
[x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
]

, a
2
= f
1
[x
1
,x
2
], a
3
= f
2
[x
1
,x
2
,x
3
] a
n
= f
n-1
[x
1
,x
2
,x
3
, ,x
n

n
)(x-x
n-1
)(x-x
n-2
) (x-x
2
) ( 5.5)
Khi đó các hệ số của đa thức nội suy dạng (5.5) được xác định như sau:
b
1
=y
n
, b
2
= f
1
[x
n-1
,x
n
], b
3
= f
2
[x
n-2
,x
n-1
,x

Thí dụ 2. Cho hàm y =f(x) dưới dạng bảng số sau:
x 1 2 3 5 6 8
y 5,230 2,092 1,406 -1,202 -1,321 0,015
Hãy lập đa thức nội suy cho hàm F(x) đã cho dưới dạng:
a. Tường minh;
b. Lagrange;
c. Newton tiến xuất phát từ x
1
=1.
d. Newton lùi xuất phát từ x
6
=8.
Giải.
a. Để tìm hệ số tường minh của đa thức P(x) ta sử dụng công thức (5.2):
>> x=[1 2 3 5 6 8];
>> y=[ 5.230 ; 2.092; 1.406; -1.202 ; -1.321; 0.015];
>> p=vander(x)\y
p =
-0.0187
0.4201
-3.4803
13.2919
-24.3719
19.3890
Do đó :
 
5 4 3 2
0,0187 0,4201 3,4803 + 13.2919 24,3719 19,389
0
P x x x x x x     

,a
2
, a
3
,…, a
n
)
của đa thức nội suy Newton tiến bậc n-1, xuất phát từ x
1
:
P(x) = a
1
+a
2
(x-x
1
)+ a
3
(x-x
1
)(x-x
2
)

+ + a
n
(x-x
1
)(x-x
2

ni ,1
. Cài đặt hàm tính hệ số a, b và c của quan hệ
hàm y = ax
2
+ bx + c theo phương pháp bình phương tối thiểu. Lệnh gọi hàm
có dạng:
[a,b,c] =ParaboFit(x,y).
4. Cho tập dữ liệu {(x
i
,y
i
)},
ni ,1
. Cài đặt hàm tính hệ số a, b và c của quan hệ
hàm y = a +b cosx+ c sinx theo phương pháp bình phương tối thiểu. Lệnh gọi
hàm có dạng:
[a,b,c] =CosSinFit(x,y).
5. Cho tập dữ liệu {(x
i
,y
i
)},
ni ,1
. Xây dựng công thức tính và cài đặt hàm tính
hệ số a và b của quan hệ hàm y = ae
bx
(a>0) theo phương pháp bình phương
tối thiểu. Lệnh gọi hàm có dạng:
[a,b] =ExpFit(x,y).



Tính xấp xỉ hàm f(x) tại x= 1; 1.1; 1.2; ; 3 bằng phương pháp spline bậc 3.
4. Hàm số y=f(x)

được cho bởi bảng số. Tính gần đúng f(x) tại x=1,25 bằng
phương pháp spline bậc 3:
x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
y 3,85011 -2,30650 -1,12320 4,85754 8,36602 10,99154
5. Dùng ma trận pascal, đưa ra màn hình vector hệ số của khai triển nhị thức
Newton bậc 10

.
6. Hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng, Tính vector hệ số của đa thức nội
suy bậc 5 bằng cách sử dụng ma trận Vandermonde
x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
y -2,30650 -1,12320 -1,00020 2,75754 8,37002 15,83752
7. Cho 2 vector:
5x
10
+

12x
9
-4x
7
+3x
6
-5

x