Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

58
Chơng 5
Lực cán và mômen cán
5.1- Khái niệm chung

á
p lực của kim loại lên trục cán là nguyên nhân chính tạo ra trạng thái ứng
suất trong vùng biến dạng, đặc điểm biến dạng của trục cán. áp lực từ phía trục cán
lên kim loại có sự tơng tác với vợt trớc, sự dãn rộng, điều kiện ăn kim loại. Từ
điều kiện và các thông số công nghệ ta có thể tính đợc áp lực của kim loại lên trục
cán và qua đó xác định đợc mômen cán, công suất cán, công suất động cơ và tiêu
hao năng lợng trong quá trình cán.
Trị số và sự phân bố áp lực trên cung tiếp xúc của vùng biến dạng có ảnh
hởng trực tiếp đên mức độ mòn trục cán và do đó ảnh hởng đến thời gian làm
việc của trục. Trị số mômen và công suất cán là các thông số cần thiết để tính các
kích thớc giá cán và các chi tiết máy cán. Trị số mômen không chỉ phụ thuộc vào
áp lực mà còn phụ thuộc vào điểm đặt lực tổng hợp trên cung tiếp xúc.
Nhiều kết quả nghiên cứu cho thấy áp lực của kim loại lên trục cán bao gồm
hai thành phần chính:
1. Bản thân trở kháng của vật liệu cán (
S
). Trị số của
S
phụ thuộc vào
thành phần hoá học của vật liệu và đợc xác định trên cơ sở thử kéo (nén) ở trạng
thái ứng suất đờng thuần túy và tĩnh (với mỗi một vật liệu, ở những trạng thái nhiệt
độ khác nhau và trạng thái gia công cơ, nhiệt khác nhau đều đợc đo trị số

.n
v
.n
H
.

S
(5.1)
5.2- Đặc điểm trở kháng biến dạng (
S
)
Trên thực tế, trong quá trình cán trị số

S
là một đại lợng biến đổi tùy theo
mức độ biến dạng, tùy theo tính chất của từng kim loại có mức độ biến cứng nhiều
hay ít khác nhau (thực chất là cấu trúc mạng của kim loại).
Nh ở hình 5.1, tùy thuộc vào vật liệu cán và trớc đó đã đợc biến dạng
nguội mà trị số trở kháng biến dạng có sự thay đổi khác nhau. Trị số

S
không
những chỉ biến đổi theo lợng biến dạng nguội mà trong quá trình cán nóng, trên
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

59
một độ dài cung tiếp xúc từ thời điểm vật cán đi vào trục cho đến lúc ra khỏi trục
cán giá trị

. Kết quả thực nghiệm cho thấy trị số trở kháng biến dạng có giá
trị lớn nhất ở giữa cung tiếp xúc.

Tùy theo các thông số công nghệ phát sinh trong quá trình cán mà trị số trở
kháng biến dạng
S
có những giá trị khác nhau. Vì vậy, việc tính trị số áp lực trung
bình theo biểu thức (5.1) sẽ gặp khó khăn. Do đó trong thực tế tính toán, ngời ta
thờng lấy giá trị không đổi đã đợc thực nghiệm đo đạc khi thử kéo (nén) theo các
điều kiện kỹ thuật nhất định nh đã trình bày ở trên, hoặc theo các công thức thực
nghiệm đợc tiến hành trong một số công nghệ cụ thể.
60
80
100
0 20 40 60
%

S

100
0 20 40 60

%

S
(Kg/mm
2
)

0%
20%
40%
60%
120
a) b)
c)
C
x
C



H

C
y
h
1
h

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

60
5.3- Các phơng pháp tính áp lực cán
5.3.1- Giải phơng trình vi phân cân bằng khi cán
Nh ta đã biết, lực cán làm ảnh hởng đến sự phân bố ứng suất trong vùng
biến dạng. Vì vậy, nếu tìm đợc quy luật phân bố ứng suất thì ta có thể xác định
đợc lực cán. Chính phơng trình vi phân cân bằng cho ta quy luật phân bố ứng suất
và khi giải nó ta có thể tìm đợc giá trị ứng suất trong vùng biến dạng khi cán.
Thực chất của phơng pháp giải phơng trình vi phân cân bằng khi cán là ta
tách từ vùng biến dạng ra một phân tố thể tích vô cùng bé, chọn một hệ toạ độ thích
hợp rồi đa phân tố đó vào, với giả thiết rằng chúng ta có tất cả các ứng suất đã tác
động lên phân tố ấy và ở trong điều kiện cân bằng. Trong quá trình thực hiện bài
toán sẽ phải kết hợp với các điều kiện và phơng trình phụ khác để đảm bảo cho bài
toán có thể giải đợc.
Ví dụ nh hình 5.3, giả thiết
trong vùng biến dạng ABCD
ta tách ra một phân tố abcd.
Trên phân tố này, mặt bd cách
mặt phẳng gốc toạ độ là x,
chịu tác dụng một ứng suất
nén

x
, mặt ac cách mặt bd
một đoạn là dx chịu tác dụng
một ứng suất nén là (


Từ phía trái của phân tố:

()()


++ cos
cos
dx
2;dyy2d
xxx

(giả thiết chiều của trạng thái ứng suất tiếp cùng chiều với hớng cán, vũng trễ)
với y = h/2.
Điều kiện để phân tố ở trạng thái cân bằng là:

X = 0, vì thế nếu ta chọn
H
A
h
x
l
x
Hình 5.3- Sơ đồ tách phân tố trong vùng biến
dạng để thành lập phơng trình vi phân
P
x
B

dx
2dyy2dX
xxxxx
=+

+

++=
Vì x, y là toạ độ của cung tiếp xúc nên:

dl
cos
dx
và
dx
dy
tg =

=
(5.3)
Khai triển và rút gọn biểu thức (5.2), thay tg

= dy/dx, bỏ qua đại lợng vô
cùng bé ta sẽ nhận đợc biểu thức sau:

0
ydx
dy
.
y

Hai biểu thức (5.4) và (5.5) chính là phơng trình vi phân của quá trình cán
dọc khi có biến dạng hai chiều và khi viết tổng hợp cho cả vùng trễ và vùng vợt
trớc có dạng:
0
ydx
dy
.
y
P
dx
d
xxxx
=





(5.6)
Trong biểu thức (5.6) ta có 3 ẩn số:

x
, P
x
,

x
. Vậy muốn giải phơng trình
này ta cần phải có thêm 2 phơng trình, đó là phơng trình dẻo (5.7) và phơng
trình quan hệ giữa ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên độ dài cung tiếp xúc (5.8).

2
trong phơng trình (5.7) có giá trị:

2
31
2
+
= (5.9)
Thay trị số
2
ở (5.9) vào (5.7), ta đa biểu thức này về dạng rút gọn:

1
-
3
= 1,15
S
(5.10)
đặt K = 1,15

S
, suy ra:

1
-

3
= K (5.11)
Mà:


0
ydx
dy
y
K
dx
dP
xx
=

(5.14)
hay:
0
y
P.f
dx
dy
y
K
dx
dP
xx
=
(5.15)
Biểu thức (5.15) do ông Carman tìm ra và đợc gọi là phơng trình Carman.
Giải phơng trình Carman ta sẽ tìm đợc lực cán trong quá trình biến dạng:





không có vùng dính.
- Hệ số ma sát f không đổi theo dọc cung ăn.
- Quan hệ giữa ứng suất tiếp pháp

= f.P, tuân theo định luật Amôtôn.
- Trở kháng biến dạng

s
là không đổi trên độ dài cung tiếp xúc (thực
chất là có biến dạng khi cán nguội).
- Độ dài cung tiếp xúc đợc thay bằng dây cung.
Với các giả thiết trên, sau khi giải phơng trình (5.15) tác giả tìm đợc giá trị
của ứng suất pháp trong vùng trễ và vùng vợt trớc:

()








+











+

=

1
h
H
1
K
P
x
x
(5.18)
ở đây,

là một tham số đợc đặc trng bởi các giá trị:

h
l.f2
x

=
(5.19)
h
x
: chiều cao vật cán mà tại đó xác định điều kiện biên.

(hình 5.4) viết trong hệ tọa
độ trụ có dạng:

0
h.
2
hdh
d
=









Trong biểu thức (5.21)
trên, ta có;
= x; h = x; dh = dx
với: là góc đợc giới hạn
bởi phân tố chịu tác dụng của
các ứng suất (hình 5.4).
Nếu ta để ý đến dấu của ứng suất tiếp ở vùng trễ và vùng vợt trớc ta có thể
đa hai phơng trình (5.17) và (5.18) về dạng xác định trị số ứng suất tiếp:

()



()

















+

=


1
h
H
1
f
K
x

H
1
K.f
P.f
x
xxT
=








+










==

(5.24)



==

(5.25)
Vậy tại điểm các giá trị ứng suất tiếp của hai vùng bằng nhau, từ (5.24) và
(5.25) suy ra:
H
A
h


l
x
Hình 5.4- Vùng biến dạng trong hệ tọa độ trụ
C




x
+
d
x



d









=
1
T
1
f2
1
H
h
(5.26)














+
+

= K
với vùng hãm, trị số ứng suất tiếp đạt đến giá trị tới hạn (
x
= K/2) lực pháp tuyến
tiếp tục tăng do lợng biến dạng tăng (
S
). Phơng trình dẻo có dạng:
P
x
-

x
= 0 (5.28)
ở vùng ngng trị số ứng suất tiếp biến đổi theo biểu thức:

c
x
h
x
2
K
= , trong phạm vi vùng trễ (5.29)

1
c
x
h
x
2
K

x
l
x
N
D

1
H
0
x
l
0
l
0t
N

0
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
-6,0
-7,0
K
P
x
f = 0
f = 0,2
f = 0,5