Chöông 4
NOÄI SUY VAØ
XAÁP XÆ HAØM

I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Để tính giá trò của một hàm liên tục
bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một
đa thức, tính giá trò của đa thức từ đó
tính được giá trò gần đúng của hàm

Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số
y
o
y
1
y
2
. . . y
n
y
x
o
x
1
x
2
. . . x
n
x


1
y
2
. . . y
n
y
x
o
x
1
x
2
. . . x
n
x
Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x)
trên [a,b]=[x
0
, x
n
].

Ñaët
( )
0,
0,
0 1 1 1
0 1 1 1
( )
( )

Ta coù
( )
1
( )
0
k
n i
i k
p x
i k

=
=

≠


Đa thức
( )
0
( ) ( )
n
k
n n k
k
L x p x y
=
=
∑
có bậc ≤ n và thỏa điều kiện L

p x x x
− −
= = − −
− −
(2) 2
( 0)( 1) 1
( ) ( )
(3 0)(3 1) 6
n
x x
p x x x
− −
= = −
− −
Ña thöùc noäi suy Lagrange
2 2 2 2
1 1 1 7 19
( ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) 1
3 2 3 6 6
n
L x x x x x x x x x= − + + − + − = − +
f(2) ≈ L
n
(2) = -2/3


Caựch bieồu dieón khaực :
(x
k
) = (x

'( )( )
k
n
k k
x
p x
x x x


=

0
( ) ( )
'( )( )
n
k
n
k
k k
y
L x x
x x x


=
=


vụựi D
k

=
=

=



Để tính giá trò của L
n
(x), ta lập bảng
ω(x)
D
0
D
1
…
D
n
x- x
0
x
0
- x
1
.... x
0
- x
n
x
1

.... x
n
x
tích
dòng
tích đường chéo

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
-1 -4 -9 y
-9 -7 -4 x
Tính gần đúng f(-6)
Ta lập bảng tại x = -6
-6
30
-6
-30
3 -2 -5
2 1 -3
5 3 -2
-9
-7
-4
-9 -7 -4 x = -6
Vậy f(-6) ≈ L
2
(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
1 1 2 -1y
0 1 3 4x

h
−
=
Ta có x
k
= x
o
+ kh
⇒ x-x
k
= x- x
o
-kh = (q-k)h
x
i
-x
j
= (x
o
+ih)-(x
o
+jh) = (i-j)h
⇒ ω(x)=(x-x
0
)(x-x
1
) .... (x-x
n
)=q(q-1)…(q-n)h
n+1

k
n
k
k k
y
L x x
x x x
ω
ω
=
=
−
∑
0
( 1)
( ) ( 1)...( )
!( )!( )
n k
n
k
n
k
y
L x q q q n
k n k q k
−
=
−
⇒ = − −
− −

n
x a b
M f x
+
+
∈
=
Ta có công thức sai số
1
| ( ) ( ) | | ( ) |
( 1)!
n
n
M
f x L x x
n
ω
+
− ≤
+

Ví dụ : Cho hàm f(x)=2
x
trên đoạn [0,1]. Đánh
giá sai số khi tính gần đúng giá trò hàm tại điểm
x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi
chọn các điểm nút x
o
=0, x
1

n
M
f x L x x
n
x
ω
+
−
− ≤
+
= − − − =
công thức sai số

III. ĐA THỨC NỘY SUY NEWTON:
1. Tỉ sai phân :
Cho hàm y = f(x) xác đònh trên [a,b]=[x
o
, x
n
]
và bảng số
y
o
y
1
y
2
. . . y
n
y

k+1
]

Tæ sai phaân caáp 2
1 2 1
1 2
2
[ , ] [ , ]
[ , , ]
k k k k
k k k
k k
f x x f x x
f x x x
x x
+ + +
+ +
+
−
=
−
Baèng qui naïp ta ñònh nghóa tæ sai phaân caáp p
1 2 1 1
1
[ , , ... , ] [ , , ... , ]
[ , , ... , ]
k k k p k k k p
k k k p
k p k
f x x x f x x x

2.0
f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
,x
k+3
]f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
]f[x
k
,x
k+1
]f(x
k
)x
k
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân

2. ẹa thửực noọi suy Newton :
Tổ sai phaõn caỏp 1
0
0
0

( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )f x y f x x x x f x x x x x x x= + +

Tiếp tục bằng qui nạp ta được
Đặt
(1)
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1
( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ...
[ , ,..., ]( )( ) ... ( )
( ) [ , ,..., ]( )( ) ... ( )
n
n n
n n n
x y f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x
x f x x x x x x x x x
−
ℵ = + − + − − +
+ − − −
ℜ = − − −
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1
( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ...
[ , ,..., ]( )( ) ... ( )
[ , ,..., ]( )( ) ... ( )
n n
n n
f x y f x x x x f x x x x x x x

x y f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x
f x
x
x x
x x
− − − −
−
ℵ = + − + − − +
+ − −
ℵ
−
= + ℜ
(1)
(2)
( ) :
( ) :
( ) :
n
n
n
x đa thức nội suy Newtontiến
x đa thức nội suy Newtonlùi
x xác đònh sai số
ℵ
ℵ
ℜ
Nếu hàm f có đạo hàm liên tục đến cấp n+1,
ta có công thức đánh giá sai số :
( 1)

2.5238
2.7183
0
0.3
0.7
1
f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
,x
k+3
]f[x
k
,x
k+1
,x
k+2
]f[x
k
,x
k+1
]f(x
k
)x
k
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân
Newton lùi

- y
k
Bằng qui nạp, Sai phân hữu hạn cấp p của hàm
tại điểm x
k

∆
p
y
k
= ∆(∆
p-1
y
k
) = ∆
p-1
y
k+1
- ∆
p-1
y
k
Ta có công thức
1
[ , ,..., ]
!
p
k
k k k p
p