ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
*****

TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN – 2008
và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân
của hàm đó và mối quan hệ giữa các khái niệm này. A. Daniilidis và N.
Hadjisavvas [3] nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không
trơn. Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt
hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa
đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt.
Luận văn tập trung trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi,
giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn
điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi
phân của hàm đó.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo.
Chương I . Hàm tựa lồi không trơn.
Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn
tương ứng qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm

2
đó. Kết quả chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi
và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :
 
0 f x f 
có cực tiểu toàn cục tại x.
Chương II. Các hàm tựa lồi chặt và bán chặt không trơn.
Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán
chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán
chặt của dưới vi phân của nó. Phần cuối chương trình bày một áp dụng chứng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu –
Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và
nghiêm khắc trong khoa học để tác giả hoàn thành bản luận văn. Tác giả cũng

có cực tiểu toàn cục tại x.
Kết quả trong chương này là của D. Aussel [1].
1.1 Các khái niệm và định nghĩa
Giả sử X là không gian Banach,
*X
là không gian đối ngẫu tôpô của X
và <.,.> là cặp đối ngẫu. Giá trị của hàm
*
*uX
tại
uX
là
*
,uu
.
Với
,0xX


, ta ký hiệu
 
Bx

là hình cầu tâm x bán kính

:
 
 
' : 'B x x X x x



,xy
.
Hầu hết các hàm
 
:fX  
được xét trong chương này là hàm
nửa liên tục dưới và domf là miền hữu hiệu của f
 
 
::domf x X f x   

Xét ánh xạ đa trị
:*A X X
. Ký hiệu
 
 
::domA x X A x   
.
Định nghĩa 1.1 ([2])
Dưới vi phân của hàm nửa liên tục dưới
 
:fX  
tại
xX

mà ta ký hiệu
 
fx
, là tập con của tập

là khác rỗng.
Ta nói rằng một hàm f là

- dưới khả vi tại x khi
 
fx  

Khái niệm dưới vi phân trừu tượng trên bao hàm một lớp rộng các dưới vi
phân chẳng hạn : dưới vi phân Clarke – Rockafeller
CR
f
; dưới vi phân dưới
và dưới vi phân trên Dini
D
f


và
D
f


; dưới vi phân Hadamard dưới
H
f


; dưới vi phân Fréchet
F
f


H D D
    
.
Ta nhắc lại định nghĩa của dưới vi phân Clarke – Rockafeller và định nghĩa
của dưới vi phân trên Dini :
   
 
**
*: , , ,
CR
f x x X x v f x v v X

     
,
với
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
0
0
0
0
,


supinf sup inf
.
Có thể lấy
 
fu


khi f là hàm nửa liên tục dưới;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
   
 
**
*: , , ,
DD
f x x X x v f x v v X

     
,
với
 
   
,
D
f x tv f x
f x v
t



, trong đó [a,b] là đoạn thẳng đóng trong X;
(ii)
 
2
2
:
nn
n
x x v

  

, trong đó
 
1, 0;
n n n
n
v



hội tụ
trong X .
Ta nói rằng một không gian Banach nhận một chuẩn mới

trơn nếu nó
nhận một chuẩn tương đương mà chuẩn đó là

trơn.
Cho một vài ví dụ về chuẩn

Kết quả sau đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức giá trị trung bình
trong [2].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Mệnh đề 1.1
Giả sử X là không gian Banach với một chuẩn mới

trơn và hàm
 
:fX  
nửa liên tục dưới. Với bất kỳ
; a domf b X
sao
cho
   
f a f b
,


,c a b
và dãy
 
n
x
hội tụ đến c và
 
 
**
;
n n n

 
     
 
**
: , 0 , ,
s
Q x f x x y x f z f y z x y       
.
Ví dụ 1.1. Xét hàm số f xác định trên

như sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
 
, 0,
0, 0< 1,
1, 1.
x khi x
f x khi x
x khi x









Khi đó f là hàm tựa lồi trên

thoả mãn
 
*
, , 0f x y x x y x

   
.
Vì vậy, tồn tại
0


sao cho
n
có thể tìm được
 
n
n
x B x



Và khi đó,
   
, 0,1
nn
y x B y x t

   
thoả mãn
 

và
 
* D
x f x


thoả mãn
 
,0
D
f x y x


,
thì

 
_
f z f x




với
_
z
nào đó
 
_
z,xy



 
_
*
, ,
n n n
x x x z x f x  
,
và
*
, 0,
nn
x y x n   
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Giả thiết (ii) kéo theo
n
, mọi điểm


,
n
z x y
xác định bởi
 
1
n
z x y

.
Áp dụng mệnh đề 1.1 cho các điểm x, z ta nhận được hai dãy
 
n
a
và
 
*
n
a
,
với
n
a
hội tụ về


,a x z
,
 
*
nn
a f a
và
*
, 0,
nn
a c a n   
và


,c z y
f b f c



 min
.
Vì vậy,
     
,c x y
f a f b f c



min
.
Vì hàm f là hàm liên tục radian cho nên tồn tại
   
 
   
_
0,1 :
2
f a f z
t t f a t z a


    



Nhắc lại, ánh xạ đa trị
:*A X X
là tựa đơn điệu nếu
,x y X
,
   
* * * *
: , 0 : , 0x A x x y x y A y y y x        
.
Sự tương tự giữa tính chất tựa lồi của hàm và tựa đơn điệu của dưới vi phân
của nó đã được nghiên cứu trong [2] cho trường hợp
CR
  
.
Mục đích của hai kết quả tiếp theo chỉ ra rằng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
f là hàm tựa lồi


f
là tựa đơn điệu.
và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1.
Mệnh đề 1.3
Giả sử X là không gian Banach. Khi đó dưới vi phân Clarke – Rockafellar
và dưới vi phân Dini trên của hàm tựa lồi
 
:fX  
là tựa đơn
điệu.

Cố định
 
_
v B y


. Bởi vì
_
,f x v x





là dương chặt cho nên
     
''
_
' 0, : , ( )
v
u B x B f x

   
    
và
 
0,1




.
Từ các bất đẳng thức này theo giả thiết tựa lồi của hàm f ta suy ra
 
_ _ _
_
, 0,1
v
f v t u v f v t

   
    
   

   

.
Hơn nữa, từ việc chọn

và
'

suy ra
 
_
_
v
u v B x y

  
.

   
sao cho
 
 
0
v
f v t u v
t

  

.
Điều này kéo theo
 
,0f y x y


.
Trong trường hợp dưới vi phân Dini trên, từ tính tựa lồi của hàm f ta có
     
,0
D
f x y x f x f y

   
,
hoặc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
     

f


là ánh xạ đa trị tựa đơn điệu.
Định lý 1.2
Giả sử X là không gian Banach, với chuẩn mới

trơn và hàm
 
:fX  
nửa liên tục dưới. Khi đó, f là hàm tựa lồi nếu và chỉ
nếu
f
là tựa đơn điệu.
Chứng minh
Bởi vì dưới vi phân trừu tượng
f
được giả thiết nằm trong
CR
f
hoặc
D
f


, cho nên phần “chỉ nếu” được chứng minh từ mệnh đề 1.3.
Để chứng minh phần “nếu”, ta giả sử rằng
f
là tựa đơn điệu, ta phải
chứng minh rằng hàm nửa liên tục dưới f thoả mãn tính chất (

 
*
nn
y f y
và
*
, 0,
nn
y x y n   
.
Do tính tựa đơn điệu của
f
ta có
*
, 0,
n
x x y n  
và
 
*
x f x 
.
Khi đó,
_
**
_

, , 0.
yx
x y x x y x








Khi đó f là hàm tựa lồi và tựa lõm trên

. Do đó f là hàm tựa affine trên

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Xét tính chất hỗn hợp sau đây
 
     
 
**
: , 0 , ,
s
Q x f x x y x f z f y z x y

       
.
Đặc trưng tính tựa lõm của hàm f bằng tính chất
 
s
Q


**
: , 0 , ,
s
Q x f x x y x f z f y z x y

       
.
Chứng minh
Suy ra đúng như chứng minh của định lý 1.1.
Giả sử f thoả mãn tính chất
 
s
Q

và


, , ,x y X z x y

thoả mãn
   
f z f y
.
Từ mệnh đề 1.1 ta suy ra tồn tại hai dãy
 


,
n
a a z y

xz
bởi
 
 
12
;
n n n n n
z a t a y x a t a y
n
     
.
Với n đủ lớn ta có
*
, 0
n n n
a x a
.
Vì vậy theo tính chất
 
s
Q

ta có
   
nn
f z f x
.
Cuối cùng, do f là hàm liên tục ta có
   
f z f x

nn
n
x B x t
n






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
thoả mãn
 
 
 
n n n n
f x t x y f x  
.
Với n bất kỳ, hai điểm
n
x
và
 
1
nn
z x t y

  
( với


  
, ta có
 
,0
D
f x x y


.
Vì vậy, với mọi n, tồn tại
1
0,
n
t
n




thoả mãn
 
 
 
n
f x t x y f x  
.
Nhưng f là hàm tựa lõm và
 
 

1 2 1 2
,f x t d f x t d t t     
.
Thật vậy, kết hợp các tính chất
 
s
Q
và
 
s
Q

tương đương với
   
**
,
: , 0 :
xd
x f x x d f t f x td    
không tăng trên

.
Đó chính là khẳng định (ii). Tương đương khác của (ii) là :
 
     
**
, , : , 0 .z x y z f z z y x f x f y       

1.4. Hàm giả lồi
Hàm f được gọi là giả lồi nếu


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
(c) Xét hàm số
 
, 0,
1
, 0.
2
x khi x
fx
x khi x









là hàm giả lồi trên

.
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa tính giả lồi và tính tựa lồi của hàm
nửa liên tục dưới, liên tục radian.
Định lý 1.3
Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới


*
x f x
sao cho
*
,0x y x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
Nếu
 
0 fx
thì x là cực tiểu toàn cục của f, và ta có
   
f x f y
.
Trong trường hợp
 
0 fx
thì tồn tại
dX
sao cho
*
,0xd
.
Bây giờ ta định nghĩa dãy
 
n
y
bởi
1

 
 
n
f y f x
.
Và do tính chất liên tục radian của f ta suy ra
   
f y f x
.
Bây giờ sử dụng quan hệ giữa tính tựa lồi và tính giả lồi và đặc trưng của
tính tựa lồi bởi tính tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó thì có thể cho hai
đặc trưng của hàm giả lồi, liên tục radian, nửa liên tục dưới.
Nhắc lại rằng, ánh xạ đa trị
:*A X X
gọi là giả đơn điệu nếu
,x y X
ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
   
* * * *
, , 0 , , 0x A x x y x y A y y y x        
.

Định lý 1.4
Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới

trơn và hàm
 
:fX  

 
,z x y

   
f z f y
.
   
ii i
: Hiển nhiên .
   
i iii
: Trường hợp
CR
ff  
.
Giả sử ngược lại rằng f là hàm giả lồi và
f
không giả đơn điệu. Điều này
có nghĩa là
 
*
, , x y dom f x f x   
và
 
*
y f y
sao cho
**
, 0, , 0x y x y y x   
.