Trờng THPT Đông Sơn 1 kì thi KSCL trớc tuyển sinh năm 2009 (lần 2)
Môn Thi: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 02 trang)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm )
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số
2
32


=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đờng tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của các đờng tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đờng tròn
ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phơng trình






=+
24
cos2sin
2







+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3aSA =
,
ã
ã
0
30= =SAB SAC

. d
2
:
3x +6y 7 = 0. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đờng thẳng đó
cắt hai đờng thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng
d
1
, d
2
.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),
D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phơng trình:
02 =++ zyx
. Gọi Alà hình chiêú của A lên
mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán
kính của đờng tròn (C) là giao của (P) và (S).
Câu VIIa (1 điểm)
Tìm số nguyên dơng n biết:
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200
+
+ + + +
+ + + + =
k k k n n
n n n n

AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm):
Giải hệ phơng trình





+=++
=+
++
113
2.322
2
3213
xxyx
xyyx
Hết
Chú ý: Thí sinh dự thi khối B và D không phải làm câu V
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trờng THPT đông sơn I kì thi KSCL trớc tuyển sinh năm 2009 ( lần II)
Hớng dẫn chấm môn toán
- Điểm toàn bài thi không làm tròn
- Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa.
- Nếu học sinh làm cả hai phần trong phần tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn
- Thí sinh dự thi khối B, D không phải làm câu V, thang điểm dành cho câu I. 1 và câu III là 1,5
điểm
Câu Nội dung Điểm
I. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số

<

=
Bảng biến thiên:
x
- 2 +
y - -
y
2
-
+
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2;
và
( )
+;2
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại






2
3
;0












,
( )
2
0
0
2x
1
)x('y


=
Phơng trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
( )
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:






Ta thấy
M0
0BA
xx
2
2x22
2
xx
==
+
=
+
,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy
=


=






+= 2
)2x(
1
)2x(2
2x
3x2
)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0,25
Dấu = xảy ra khi



=
=



=+
x
x
x
x
x

( )
xsin1x
2
cos1xsin
2
x
cosxsin
2
x
sin11
2
+=








+=+
0,25




0,25
01
2
x
sin2
2
x
sin21
2
x
sinxsin
2
=






++








= +




+ +

Z
0,25
II. 2 Giải bất phơng trình
1 điểm
ĐK:
( )
*
2
1
x
2
1
x
2
1
x
0)1x2(
2
1
x
01x4x4
0x
2

[ ]
1)x21(log)2x(2x2)x21(log2
22
++>
[ ]
01)x21(logx
2
<+
0,25




<
>











>
<





>+
<



<+
>

0x
4
1
x
1)x21(2
0x
1)x21(2
0x
0)x21(2log
0x
0)x21(2log
0x
01)x21(log
0x
01)x21(log
0x
2
2
2
2

dx
xx
x
I
1
1
ln1
ln
. Đặt
dx
x
1
tdt2;xln1txln1t
2
=+=+=
Đổi cận:
2tex;1t1x ====
0,25
( )
( )
( )
3
222
t
3
t
2dt1t2tdt2.
t
1t
I

2

=
. Đặt







=
=




=
=
3
x
v
x
dx
du
dxxdv
xlnu
32
0,25
e

Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân
nên MB SA, MC SA. Suy ra SA (MBC).
Ta có
MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S
S.SA
3
1
S.SA
3
1
S.MA
3
1
VVV =+=+=
0,25
S
A
B
C
M
N
Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tơng ứng bằng nhau nên chúng bằng
nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy
ra MN BC. Tơng tự ta cũng có MN SA.
16
a3
2
3a
4
a

2
a
.
4
3a
.3a
6
1
BC.MN
2
1
.SA
3
1
V
3
ABC.S
===
0,25
V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 điểm
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta có
zyx
9
z
1
y
1
x
1

1
c3b
1
b3a
1
P
+++++

+
+
+
+
+
=
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3
3
a 3b 1 1 1
a 3b 1.1 a 3b 2
3 3
b 3c 1 1 1
b 3c 1.1 b 3c 2
3 3
c 3a 1 1 1
c 3a 1.1 c 3a 2

1
a b c
4
4
a 3b b 3c c 3a 1

+ + =

= = =


+ = + = + =

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi
4/1cba ===
0,25
VIa.1 Lập phơng trình đờng thẳng
1 điểm
Cách 1: d
1
có vectơ chỉ phơng
)1;2(a
1

; d
2
có vectơ chỉ phơng
)6;3(a
2
Ta có:

==
++


A3B
B3A
0B3AB8A345cos
)1(2BA
BA2
220
2222
0,25
* Nếu A = 3B ta có đờng thẳng
05yx3:d =+
0,25
* Nếu B = -3A ta có đờng thẳng
05y3x:d =
Vậy qua P có hai đờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
05yx3:d =+
05y3x:d =
0,25
Cách 2: Gọi d là đờng thẳng cần tìm, khi đó d song song với đờng phân giác ngoài
của đỉnh là giao điểm của d
1
, d
2
của tam giác đã cho.
Các đờng phân giác của góc tạo bởi d
1
, d


d nên
05y3x:d15c0c96 ===++
0,25
+) Nếu d //
2
thì d có phơng trình
0cy3x9 =++
.
Do P

d nên
05yx3:d15c0c318 =+==+
0,25
Vậy qua P có hai đờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
05yx3:d =+
05y3x:d =
0,25
VIa. 2
Xác định tâm và bán kính của đờng tròn
1 điểm
Dễ thấy A ( 1; -1; 0)
* Giả sử phơng trình mặt cầu ( S) đi qua A, B, C, D là:
0,25
( )
0dcba,0dcz2by2ax2zyx
222222
>++=++++++
Vì
( )

2
5
a
021dc4b2a8
029dc4b6a8
014dc4b6a2
02db2a2
Vậy mặt cầu ( S) có phơng trình:
01225
222
=+++ zyxzyx
0,25
(S) có tâm






1;1;
2
5
I
, bán kính
2
29
R =
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đờng tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đờng thẳng đi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phơng là:

5
t
2
5
t302t1t1t
2
5
===+++++








6
1
;
6
1
;
3
5
H
0,25
6
35
36
75

++
+++++
+
+++=
(1)
* Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có:
n21n2
1n2
1kk
1n2
k2
1n2
1
1n2
n2
xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2(
+
+

+++
++++=+
(2)
0,25
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:
1n21n2
1n2
2kk
1n2
k3
1n2


. Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh là
M( 4; 3),
0,25
Giả sử phơng trình chính tắc của (E) có dạng:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
( với a > b)
(E) cũng có hai tiêu điểm
( ) ( ) ( )
15ba0;5F;0;5F
222
21
=
0,25
( ) ( ) ( )
2bab16a9E3;4M
2222
=+
Từ (1) và (2) ta có hệ:



1 điểm
Chuyển phơng trình d về dạng tham số ta đợc:





+=
=
=
3
1
32
tz
ty
tx

Gọi I là giao điểm của (d) và (P)
( )
3;1;32 + tttI
Do
( ) ( )
4;0;1105)3()1(232 ==++ IttttPI
0,25
* (d) có vectơ chỉ phơng là
)1;1;2(a
, mp( P) có vectơ pháp tuyến là
( )
1;2;1 n
[ ]

u;3u;u1AM
0,25
AM ngắn nhất

AM

0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM =++=

3
4
u =
. Vậy







3
16
;
3
4
;
3
7
M
0,25
VIIb Giải hệ phơng trình:

2
yxx
x
xxyx
x








=

=









=+
=


xy

=

xy
x
31
1
thay y = 1 3x vào (1) ta đợc:
2.322
1313
=+
+ xx

Đặt
13
2
+
=
x
t
Vì
1

x
nên
4
1
t
( )
( )
[ ]

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm





=
=
11
8
logy
0x
2
và
( )
[ ]





+=
+=
)83(log2y
183log
3
1
x
2
2