MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3
1.1. Thời điểm Markov và thời điểm dừng 3
1.1.1. Định nghĩa 3
1.1.2. Tính chất 3
1.2. Martingale 5
1.2.1. Định nghĩa 5
1.2.2. Các tính chất 6
1.2.3. Định lý Doob (Định lý hội tụ cup martingale) 6
1.3. Bổ đề Fatou 7
1.4. Định lý Caratheodory 8
CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON- NIKODYM 9
2.1. Tính chất Radon-Nikodym 10
2.1.1. Định nghĩa 10
2.1.2. Tính chất 14
2.2. Sơ bộ về Định lý hội tụ hầu khắp nơi 16
2.3. Định lý khai triển cho các hàm tập nhận giá trị trong X. 20
2.4. Mối liên hệ giữa sự hội tụ của các martingale và Định lý Radon-
Nikodym trong không gian Banach 22
2.4.1. Định lý chính 22
2.4.2. Ứng dụng 29
2.5. Phản ví dụ. 33
2.6. Một số ứng dụng của Định lý Radon-Nykodym đối với martingale
tiệm cận 35
2.6.1. Định nghĩa Martingale tiệm cận 35
2.6.2. Martingale tiệm cận nhận giá trị thực 35
2.6.3. Martingale tiệm cận nhận giá trị vector 38
2.6.4. Điều kiện Martingale tiệm cận nhận giá trị trong không gian
Banach hội tụ mạnh 41

tương đương với tính đúng đắn của Định lý Radon-Nikodym cho các hàm
tập hợp mang giá trị trong các không gian cùng loại. Đồng thời bài viết này
còn đưa ra các chứng minh độc lập cho hầu hết các Định lý hội tụ đối với các
Martingale nhận giá trị trong không gian Banach, các Định lý tổng quát hơn

2

thì được nêu trong [19] [20], và đưa ra một số ứng dụng của Định lý Radon-
Nikodym trong việc xét tính hội tụ của Martigale tiệm cận.
Nội dung luận văn gồm hai chương:
Chương I: Giới thiệu các kết quả chuẩn bị.
Chương II: Định lý hội tụ của martingale nhận giá trị trên các không gian
Banach có tính chất Radon – Nikodym.
Với sự nỗ lực cố gắng hết mình của bản thân, cùng với sự động viên giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của các thầy giáo, bản luận văn đã được hoàn thành.
Song do thời gian có hạn cũng như năng lực bản thân còn hạn chế nên luận
văn không tránh khỏi còn những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được
thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn này của các thầy cô và các độc
giả.
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo
thuộc tổ bộ môn Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trường đại học sư phạm
Hà Nội đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và góp ý
cho luận văn. Xin cảm ơn TS. Nguyễn Hồng Hải, TS. Trần Quang Vinh đã
đọc và góp ý sâu sắc cho luận văn. Đặc biệt chúng tôi muốn tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Văn Hùng, cán bộ thuộc Viện CNTT- Viện KH
& CN Việt Nam người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ chúng
tôi trong suốt quá trình làm luận văn này.
Cũng nhân dịp này, chúng tôi xin cảm ơn cơ quan, những người thân trong gia
đình cũng như các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện về thời gian, khích lệ về
tinh thần và hỗ trợ về vật chất trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

}
.
 ℝ

= ℝ∪
{
−∞
}
∪{+∞}.
 {ℱ

,n ∈ℕ} là dãy các - trường không giảm. Kí hiệu
ℱ

= ℱ




là -trường bé nhất chứa tất cả ℱ

,n ∈ℕ.
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử :Ω→ℕ∪{∞} là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞). Ta nói rằng
 là thời điểm Markor đối với {ℱ

,n ∈ℕ}, nếu
{
:
(

∈ℱ


Tính chất 2: Nếu 

,

là các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ} thì

4



∧

= min
(


,

)
; 

∨ 

= max
(


= inf




cũng là thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}.
Tính chất 4: Nếu  là thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}, thì ∈ℱ

.
Nếu  và  là các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ} sao cho 
(
≤

)
= 1, thì ℱ

⊂ℱ


Tính chất 5: Nếu 

,


thuộc vào ℱ

∩ℱ


Tính chất 7: Giả sử
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là dãy tương thích và  là thời điểm
Markov đối với
{
ℱ

,∈ℕ
}
, thì


:Ω→ℝ, 

(

)
= 



,∈ℕ
}
. Khi đó,  là ℱ

-đo được nếu và chỉ nếu

5

với mọi ∈ℕ, hạn chế của  trên {= } là ℱ

-đo được, tức là, 
{

}
∈
ℱ

.
Nếu  là biến ngẫu nhiên không âm hoặc có kỳ vọng hữu hạn thì ta có

(

|
ℱ

)
= 
(


}
được gọi
là:
Martingale trên (đối với
{
ℱ

,∈ℕ
}
), nếu:
(i)
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là dãy tương thích;
(ii) 
|


|
< ∞,∀∈ℕ;
(iii) Với ≤,,∈ℕ

(




,∈ℕ
}
), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện
và
(iii’’) Với ≤,,∈ℕ

(


|
ℱ

)
= 

, −hầu chắc chắn. 6

1.2.2. Các tính chất
 Tính chất 1: Nếu =
{


,ℱ

,∈ℕ
}


,ℱ

,∈ℕ
}
là martingale dưới và 

- bị chặn, tức là



|


|
< ∞,
thì dãy (

) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên 

nào đó với

|


|
< ∞.
Chứng minh:
Ký hiệu 



|
< ∞,
Suy ra 

< ∞ hầu chắc chắn, Suy ra, với mọi ,

{
lim inf

< < < lim sup

}
= 0
Mà
{
lim inf

< lim sup

}
= 
{
lim inf

< < < lim sup

}

|


|
< ∞
Hệ quả 1: Nếu
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là martingale dưới không dương (hoặc
martingale không âm), thì dãy (

) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên


.
Hệ quả 2: Giả sử
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là martingale dưới không dương (hoặc

) là dãy
các tổng riêng của nó:


= 

, 

= 

+ 

+ ⋯+

.
Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương:
(i) (

) hội tụ hầu chắc chắn;
(ii) (

) hội tụ theo xác suất;
(iii) (

) hội tụ theo phân phối.
1.3. Bổ đề Fatou
Giả sử ,

,



.
1.4. Định lý Caratheodory
Giả sử  là một tập hợp nào đó,  là đại số các tập con của . Giả sử 

là
một độ đo xác định trên  (nghĩa là 

là một hàm tập hợp, không âm, -
cộng tính trên ) và -hữu hạn (nghĩa là tồn tại dãy
(


)
⊂ sao cho
⋃




=  và 

(


)
< ∞,= 1,2,…). Khi đó tồn tại duy nhất một độ
đo  xác định trên () sao cho

(


)
() hay đơn
giản hơn là
∫
, sẽ luôn được xét theo ý nghĩa Bochner.
 Cho Σ

là một  đại số con của Σ, tồn tại một toán tử tuyến tính tốt của
một chuẩn, kì vọng điều kiện 

, hàm ánh xạ 

(
Σ,
)
→

(Σ

,) và
thỏa mãn


= 

, ∈Σ




∈Σ

(

)
= 
1 nếu ∈
0 nếu ∉

thì 

=
∑


(


)




với 

đại diện cho xác suất điều kiện trên Σ

. Bằng
một đối số xấp xỉ tiêu chuẩn, cho một hàm số tổng quát , có thể chỉ ra 



⊂,

rời rạc
mà luôn là một độ đo không âm trên Σ, cũng hoàn toàn hữu hạn. Vì thế đối số
tiêu chuẩn cho sự tồn tại của toán tử kì vọng điều kiện 

là không thích hợp.
Để thuận tiện ta giới thiệu định nghĩa sau đây.
2.1. Tính chất Radon-Nikodym
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1
Không gian Banach X gọi là có tính chất Radon-Nikodym (RN) đối
(
,,
)

nếu mọi hàm tập  -cộng tính nhận giá trị trong  của biến phân bị chặn
(tức là 

(

)
< ∞) mà liên tục tuyệt đối đối với  (tức là 
(

)
= 0 ⇒

(

11
Điều này sẽ tiếp tục được xem xét ở mục tiếp theo, nếu  là nguyên tử không
thuần túy thì  có tính chất RN đối với (,Σ,) khi và chỉ khi  có tính chất
(D). Vì vậy để phục vụ mục đích thực tế, tiếp theo của tính chất (D) là những
định nghĩa thực sự quan trọng. Nếu  là nguyên tử thuần túy thì bất cứ không
gian Banach  nào cũng có tính chất RN đối với (,Σ,), điều này có thể
được kiểm chứng một cách trực tiếp.
Định nghĩa 2.1.2.
Cho một tập có hướng
(
,≤
)
và một họ -đại số 

⊂,∈,
hệ thống {

,

,∈} là một Martingale nhận giá trị trong  nếu


∈

(
Σ

,
)
,≤⇒Σ

,

,

,…,

}
của  với ≥1, 

∈
Σ,
(


)
> 0,⋃




= ,

rời rạc.
Chúng ta viết 

≤

nếu mọi tập trong phân hoạch 

đều được chứa trong

Để minh họa cho quan hệ giữa sự hội tụ của các Martingale và tính chất RN,
chúng tôi sẽ phát biểu kết quả cơ sở sau.
Định lý 2.1.1.
(a) Cho ∈

(,) tức là  là -đo được và ∥∥


=
∫
|

|

< ∞,1 ≤
< ∞.Thì với bất kì tập có hướng  và -đại số 

, martingale {

,

,∈}
của Ví dụ (i) có tính chất


∥

−

∥

(,)

thì


∥

−∥

= 0.
(c) Trong Ví dụ (ii), nếu 


,

∥


−


∥

= 0 (tức là nếu 

là một
chuỗi Cauchy trong 

) thì 
(

∥


∥

< +∞ cũng là điều kiện đủ (và hiển nhiên luôn là điều kiện cần) cho
kết luận. Đây thực ra chính là Định lý cổ điển của F.Riesz với điều kiện là
sup


|

(


)
|

[

(


)]



< ∞.
= 



= 



.
(b) Được suy ra trực tiếp từ (a).
(c) Do tính đầy đủ của 

(Σ,) nên ∃∈

(Σ,) sao cho
lim

∥

−∥

= 0
Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra 

= 

. Khẳng định (a) sẽ lý giải cho kết luận
(c). Cho > 0, ∃ 

sao cho ∥



= 



.
Ta có



−

= 



−

≤


−

≤


−

< .

,≥1 (định nghĩa như ở Ví dụ (ii) trên) là dãy Cauchy hội tụ
trong 

.
(2) Khi hạn chế  trên bất kì -đại số con tách được của  (tức là, nó
được sinh bởi một số đếm được các tập hợp) có một phép biểu diễn
tích phân bởi trung bình của một hàm trong 

(,).
2.1.2. Tính chất
Định nghĩa 2.1.3 (nguyên tử thuần túy)
Nếu tồn tại một dãy rời rạc các tập 

∈,
(


)
> 0, 
(
∪




)
= 1 thì


là nguyên tử thuần túy (-nguyên tử) trong  (∈,⊂

(
A
)
= P
(
A
|
Σ

)
dμ
với P
(
A
|
Σ

)
là xác suất điều kiện của  trên Σ


Chứng minh Định lý 2.1.2:
(a) Nếu  là nguyên tử thuần túy thì mọi không gian Banach  có tính chất
RN đối với (,Σ,). Thật vậy, với bất kì -cộng tính, -liên tục tuyệt đối,
hàm tập  nhận giá trị trong  của biến phân bị chặn, hàm

(

)
= 


,0 ≤≤1,của hai độ đo xác suất 

,

với


là nguyên tử thuần túy và 

không là nguyên tử thuần túy. Vì thế  sẽ có
tính chất RN đối với (,Σ,) nếu và chỉ nếu nó có tính chất RN đối với
(,Σ,

).
(b) Ta giả sử rằng  không là nguyên tử thuần túy trên Σ. Do Hệ quả 2.1. 1, 
sẽ có tính chất RN đối với (,Σ,) nếu và chỉ nếu  cũng có tính chất RN đối
với (,Σ

,) với Σ

là -đại số con tách được. Rõ ràng Σ

có thể được chọn
để khi hạn chế trên Σ

,  cũng vẫn không là nguyên tử thuần túy. Ví dụ như,
Σ

có thể được định nghĩa là -đại số sinh bởi dãy các phân hoạch liên tiếp

< (), điều này chứng minh cho sự không
tồn tại của các nguyên tử trong Σ

. Theo một Định lý của Halmos và von
Neumann [12, p.173] đại số độ đo Σ


, là đẳng cấu với đại số độ đo (

,)
của khoảng đơn vị với độ đo Lebesgue  trên các tập Borel. Ta thấy phép
đẳng cấu  giữa Σ


và 

có thể được mở rộng thành phép đẳng cự giữa


(Σ

,) và 

(,) (được xem như lớp tương đương giữa các hàm) mà khi
đó
∫


=
∫

Cho {

,

,≥1} là một Martingale nhận giá trị trong  và cho ∈

.
Khi đó với mọi > 0,
∈,

|


(

)
|
≥ ≤ 




|


|

.
Có được Bổ đề này vì |



(là -đại số được sinh ra bởi
đại số ∪




.
Chứng minh :
Vì chứng minh này và chứng minh trong trường hợp nhận giá trị vô hướng là
như nhau (xem Billingsley [2] hoặc Dunford và Schwartz [11, trang 208])
nên ở đây chúng tôi đưa ra chứng minh sau:
Nếu  đo được đối với ∪


Σ

thì 

= . Vì thế suy ngay được kết luận như
trên.
Nếu  đo được đối với Σ

thì cho > 0,> 0, tồn tại một hàm  đo được
trên ∪


Σ

sao cho


+ 

(
−
)
−

(
−
)
|

≤
|


−


|
+
|


(
−
)
−





|
−
|
.
Do đó
lim sup
,→
|


−

|
≥≤
{
ℎ≥
}
≤2

‖
−
‖
< 
do áp dụng Bổ đề 2.1.1 trong trường hợp martingale nhận giá trị thực


|

là Σ

-đo được nên tồn tại lim 

. Việc đồng nhất
giới hạn với 

được suy trực tiếp từ Định lý 2.1.2.(a) ở trên.
Để tổng quát hơn, chúng tôi sẽ phát biểu trường hợp = {0,−1,−2,…} mà
đã được chứng minh ở [6], do Định lý đã đề cập đến trước kia của Banach, và
có thể được chứng minh bởi phương pháp trình bày như trên, không cần sử
dụng Định lý martingale nhận giá trị vô hướng.
Định lý 2.2.2.
Cho {

,

,≤0} là một Martingale nhận giá trị trong  thì

→


= 


tồn tại mạnh hầu khắp nơi kể cả trong 

(
,
)

(


)
= 0,
nhận giá trị trong không gian Banach .
Cho = Σ

tồn tại hầu khắp nơi, nhưng giả sử rằng chuỗi này là không hội
tụ tuyệt đối hầu chắc chắn. Hơn nữa cho ∈

(Σ,).
Định nghĩa 

= Σ
∈


với  là tập hữu hạn các tích phân dương. Cho 
được sắp xếp theo quan hệ bao hàm.
Nếu Σ

là -đại số nhỏ nhất đối với
{


,∈
}
đo được, thì rõ ràng 



và là độc lập. Trong trường hợp này, ∈

(Σ,) vì

|

|

=
|

|
Σ 1/

< ∞ và do đó, vì Định lý 2.1.2(a), nên 

hội tụ đến 
trong 

(Σ,). Cách chọn này được Chow trình bày trong [6, trang 1490],
nhưng chú ý ở đây là sự tính toán để chỉ ra rằng lim 

không tồn tại là không
cần thiết vì chuỗi Σ

hiển nhiên không hội tụ tuyệt đối.
Phản ví dụ của Định lý 2.2.2 (tức là trường hợp chỉ số giảm) cũng có thể được
đưa ra. Xét “tổng Riemann”


thì Σ


⊃Σ


. Định nghĩa 

≪

nếu 

|

. Khi đó
{

,Σ

} là một martingale không cần hội tụ hầu khắp nơi như chỉ ra trong
phản ví dụ của Rudin [17], dù là ∈

(0,1). Tương tự Định lý 2.1.2(a), tuy
nhiên, chỉ ra rằng với tất cả các trường hợp


→ trong 

(
0,1

(

)
<  à 

(


)
< ,
′ kí hiệu cho phần bù của .
Chứng minh:
Cho không gian (,Σ), có 

là một không gian Hausdorff compact với tính
chất sau:
(1) 

rời rạc, tức là, đại số Σ

của các tập hợp vừa đóng vừa mở hình thành
từ cơ sở đại diện cho tôpo của 

;
(2) Có một phép đẳng cự  giữa (,Σ)-không gian của các hàm Σ-đo được
cộng tính vô hướng bị chặn trên  và (

)-không gian của các hàm liên tục
nhận giá trị vô hướng trên 




(


)
= (

(


)
)

luôn luôn định nghĩa một hàm tập -cộng tính trên Σ

, dù  có là σ-cộng tính
hay không, vì 

(
∪




)
=
∑




∈Σ

. Rõ ràng nếu  là biến phân toàn
phần hữu hạn trên Σ

thì 

cũng vậy. Nếu  nhận giá trị vô hướng thì điều
này là do Định lý Caratheodory cổ điển. Nếu 

nhận giá trị trong  thì điều

22
này đã được đề cập đến từ lâu rồi, có thể tham khảo thêm trong [20, trang
119, ghi chú (6)]. Bây giờ cho 

,

là chuyển đổi của , trong Định lý này
trên không gian (

,Σ

). Cho 

,

đại diện cho các hàm tập được mở rộng
trên (

-
kì dị. Cho , là nghịch đảo của hạn chế của 

,

trên Σ

. Khi đó trên không
gian (,Σ), = +  với 

là -liên tục tuyệt đối và 

là -kì dị. Vì 


liên tục tuyệt đối đối với hàm -cộng tính  nên tính -cộng tính của  là
hiển nhiên. Do đó Định lý phân tích này đã được chứng minh xong.
Dường như  có thể phân tích thành tổng của hai hàm tập, một hàm là -cộng
tính và -kì dị và một hàm là cộng tính hữu hạn thuần túy bởi vì biến phân
toàn phần là kì dị đối với tất cả các hàm tập -cộng tính trên Σ. Chúng tôi vẫn
chưa thể chứng minh được điều này.
2.4. Mối liên hệ giữa sự hội tụ của các martingale và Định lý Radon-
Nikodym trong không gian Banach
2.4.1. Định lý chính
Định lý 2.4.1.
Cho không gian Banach  và không gian xác suất (,,), các phát biểu
sau là tương đương khi cho các Martingale
{




= 
→


tồn tại yếu hầu khắp
nơi, theo nghĩa là ∃ 

đo được mạnh sao cho với mọi 
∗
∈
∗
,
lim
→
〈


(

)
,
∗
〉
=
〈


(


(4) Nếu với > 0, 

|


()
|
<  hầu khắp nơi, thì 

= 
→



tồn tại yếu hầu khắp nơi theo nghĩa của phát biểu (2).
(5) Nếu 

là khả tích đều (tức là 
→
∫
|


|

{
|


|

→
‖


−

‖

= 0
(7) Không gian  có tính chất RN đối với (,,).
Chú ý: Bạn đọc lưu ý trong phần nói về tính chất RN ở trên, tính chất hội tụ
của các Martingale nhận giá trị trong  là độc lập với không gian xác suất cơ
sở. Nếu  không là nguyên tử thuần túy và  có một trong bảy tính chất thì 
cũng có tất cả các tính chất còn lại đối với không gian xác suất khác và đặc
biệt  cũng có tính chất (D).
Chứng minh :
Phần chính của chứng minh này là chứng minh (7)⇒(1). Tất cả các phép kéo
theo khác thì lý luận hoàn toàn thông thường.