LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa
Toán - Lý - Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại
học, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là cô Phạm Thị Thái, thầy
Vũ Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động
viên tôi có thêm nghị lực hoàn thành đề tài này.
Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53
ĐHSP Toán.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi để tôi hoàn thành đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn la, tháng 5 năm 2015.
Người thực hiện
Sinh viên: Hoàng Thị Hiền - Trương Bá Hiệp

1


Mục lục

Mở đầu

6

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

9

1.1

1.2.2

Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3

Một số tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . . . . . . 18

Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1

Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2

Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Độ đo trong Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2


1.5

1.6

2

3



2.2

Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3

Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5

Hội tụ hầu như đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN
ĐO

52

3.1

Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo . . . . . . 52

3.2

Sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi . . . . . 53


Tài liệu tham khảo

67

4


TỪ VIẾT TẮT
VT

vế trái

VP

vế phải

h.k.n hầu khắp nơi
h.n.d

hầu như đều

5


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Các dạng hội tụ của dãy hàm trên không gian đo là một phần nhỏ trong lĩnh
vực Độ đo và tích phân Lebesgue. Đây là một trong những phần giải tích
được ứng dụng nhiều trong thực tế , đó là nền tảng cho giải tích hiện đại. Do
vậy việc nghiên cứu là rất cần thiết, giúp chúng tôi nắm vững hơn kiến thức

dung đề tài gồm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày cơ bản về lý thuyết độ đo, hàm đo được và về tích phân Lebesgue
để làm cơ sở cho những nghiên cứu trong các chương sau.
Chương 2. Các dạng hội tụ
Trình bày một số dạng hội tụ quan trọng trong không gian đo bao gồm sự hội
tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ trung bình.
Chương 3. Sự liên hệ giữa các dạng hội tụ
Trình bày những mối quan hệ giữa một số dạng hội tụ đã nêu trong chương
7


2. Đó là mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi.
4. Đóng góp của đề tài
Đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan và chi tiết kiến thức
về sự hội tụ của dãy hàm trên không gian đo. Đề tài là tài liệu tham khảo
chuyên sâu hữu ích cho các sinh viên chuyên ngành toán trong lĩnh vực của
đề tài, và cũng là tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường
Đại học Tây Bắc tại thư viện của nhà trường.

8


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Lý thuyết độ đo được xây dựng vững chắc trên lý thuyết về đại số và σđại số tập hợp. Trong phần đầu của chương này, chúng tôi dành cho việc trình
bày lý thuyết về đại số và σ− đại số tập hợp, tiếp đến chúng tôi trình bày lý
thuyết độ đo và hàm đo được trên không gian đo.

1.1

A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C .
Xét:
A ∩ B = A ∩ B = A ∪ B.
Vì A ∈ C , B ∈ C nên A ∈ C , B ∈ C , do đó A ∪ B ∈ C .
10


Theo điều kiện b) ta có A ∪ B ∈ C , tức là A ∩ B ∈ C .
Vậy c) suy ra c)’. Ngược lại, tương tự ta cũng có c)’ suy ra c) và ta có điều phải
chứng minh.
Nhận xét 1.1.4. a) Nếu C là một đại số thì C chứa X và đóng kín đối với các
phép toán hữu hạn về tập hợp( phép hợp và giao hữu hạn, phép lấy hiệu, hiệu
đối xứng).
Thật vậy:
i) Nếu A ∈ C thì X \ A ∈ C .
ii) Nếu A, B ∈ C thì A ∪ B; A ∩ B ∈ C . Do A\ B = A ∩ B nên A\ B ∈ C .
iii) A

B = ( A\ B) ∪ ( B\ A) ∈ C .

b) Nếu { An }n≥1 ⊂ C là dãy các tập tùy ý đại số thì tồn tại { Bn } ⊂ C sao cho
Bn ⊂ An (∀n ≥ 1) và
∞

∞

Bn ; Bi ∩ Bj = ∅.

An =
n =1


Bn ⊂

An (cần chứng minh x ∈

∞

An .

n =1
∞

Bn ).

n =1

Thật vậy, chúng ta chọn n0 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
x ∈ A n0 , x ∈
/ Ak , ∀k < n0 . Khi đó ta có
n0 −1

Bn0 = An0 \

Ak
k =1
∞

⇒ x ∈ Bn0 ⊂
n =1
∞

···

∪ A j −1 )

có phần tử Ai

Vậy Bi ∩ Bj = ∅(∀i = j).
Mệnh đề sau là kết quả quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại của đại
số sinh bởi một họ các tập hợp không nhất thiết là một đại số.
Mệnh đề 1.1.5. Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại số các
tập con của X. Đặc biệt cho A là họ các tập con của X, bao giờ cũng tồn tại một đại
số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P ( X ) tất cả các tập con của X. Kí
12


hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa A,khi đó C(A) là một
đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A.
Chứng minh. Thật vậy, lấy {Ci }i∈ I là họ các đại số của X và đặt C =

i∈ I

Ci . Khi

đó
A∈

Ci ⇒ A ∈ Ci ∀i ⇒ CA ∈ Ci ∀i ⇒ CA ∈

Ci .



= I1 × I2 × · · · × Ik ; Ij ∈ J, j = 1, k}.

Ví dụ 1.1.7. Trong R2 ta xét J2 = { I1 × I2 , I1 , I2 ∈ J }.
Chúng ta đặt C = { A ⊂ Rk sao cho: A biểu diễn được dưới dạng hợp hữu hạn
các tập

j

∈ Jk.

j

∩

i

= ∅}.Chúng ta kí hiệu C = C ( J k ) là đại số sinh bởi

các gian trong Rk . Mệnh đề sau cho ta thấy C là một đại số trên Rk .
Mệnh đề 1.1.8. C là một đại số trong Rk . Hơn nữa C = C( J k ) đại số nhỏ nhất sinh
bởi J k .
Chứng minh. Xem tài liệu [1].

1.1.3

σ −đại số tập hợp

Trong mục trước chúng ta nói tới khái niệm đại số tập hợp. Có thể nói đại
số tập hợp đóng kín đối với hữu hạn các phép toán về tập hợp. Trong mục

Ta có nhận xét quan trọng sau.
Nhận xét 1.1.11. a) F là một σ - đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F
đóng kín đối với vô hạn đếm được các phép toán về tập hợp.
b) Một σ- đại số các tập con của X cũng là một đại số. Tuy nhiên ngược lại
không đúng.
Ví dụ 1.1.12. Cho X = ∅, F = P( X ) - họ mọi tập con của X hoặc F = { X, ∅}.
Khi đó F là σ đại số trên X.

15


1.2
1.2.1

Độ đo trên đại số các tập hợp
Hàm tập hợp

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng, C là họ các tập con nào đó
của X. Hàm:
µ : C → R = R ∪ {−∞; +∞}
A → µ( A)
được gọi là hàm tập hợp.
Chú ý 1.2.2. i) Hàm tập hợp µ được gọi là có tính chất cộng tính nếu ∀ A, B ∈ C
sao cho A ∪ B ∈ C , A ∩ B = ∅ thì µ( A ∪ B) = µ( A) + µ( B).
ii) Hàm µ được gọi là có tính chất σ - cộng tính nếu Ai ∩ A j = ∅, i = j và
∞
n =1

An ∈ C thì ta có
∞

iv) Nếu µ là σ cộng tính, µ(∅) = 0 thì µ là hữu hạn cộng tính. Tuy nhiên điều
ngược lại là không đúng.

16


1.2.2

Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập con của
X và được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiện sau:
a) µ( A) ≥ 0, ∀ A ∈ C .
b) µ(∅) = 0.
c) µ có tính chất σ cộng tính.
Chú ý 1.2.4. a) Nếu µ( X ) < +∞ thì µ được gọi là độ đo hữu hạn.
b)Nếu tồn tại { Xn }n≥1 ⊂ C sao cho

∞
n =1

Xn = X; µ( Xn ) < +∞, ∀n thì µ được

gọi là σ - hữu hạn.
Chúng ta đi đến một ví dụ đơn giản về độ đo như sau.
Ví dụ 1.2.5. Độ đo đếm
Cho X là một tập vô hạn, và P ( X ) là σ - đại số tất cả các tập con của X. Khi
đó hàm µ xác định như sau là một đô đo trên P ( X ), gọi là độ đo đếm:






0 nếu x ∈
/ A.
µ( A) =




1 nếu x ∈ A.
Khi đó µ là một độ đo và được gọi là độ đo Dirac.

1.2.3

Một số tính chất cơ bản của độ đo

Trong mục này chúng tôi dành cho việc trình bày một số tính chất cơ bản
của độ đo.
Định lý 1.2.7. Cho µ là độ đo trên đại số C các tập con của X. Khi đó ta có:
i) Nếu A, B ∈ C , A ⊂ B thì µ( A) ≤ µ( B).
ii) Nếu A, B ∈ C , A ⊂ B, µ( A) < +∞ thì µ( B\ A) = µ( B) − µ( A).
iii) Nếu ∀{ An }n≥1 ⊂ C , A ∈ C và A ⊂

∞
n =1

∞

An thì µ( A) ≤ ∑ µ( An ).


= 0 với

∞
n =1

An

∈ C.

ii) Nếu A, B ∈ C , µ( A) = 0 thì µ( A ∪ B) = µ( B).
Chứng minh. Xem tài liệu [1]
Mệnh đề 1.2.9. Chúng ta có các khẳng định sau còn gọi là tính liên tục của độ đo
mà chúng ta cần dùng tới nhiều lần sau này.
Cho µ là độ đo trên đại số C . Khi đó:
i) Nếu ∀{ An }n≥1 ⊂ C ,

∞
n =1

An ∈ C sao cho A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · thì
∞

µ( lim An ) = µ
n→∞

ii) Nếu ∀{ An }n≥1 ⊂ C ,

∞
n =1

quả của Caratheodory ta sẽ thu được kết quả như yêu cầu. Đầu tiên là khái
niệm độ đo ngoài được định nghĩa như sau.
19


1.3.1

Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.3.1. Hàm tập hợp µ∗ xác định trên σ - đại số P (X ) tất cả các tập
con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ∗ thỏa mãn các điều kiện:
a) µ∗ ( A) ≥ 0, ∀ A ∈ P( X ).
b) µ∗ (∅) = 0.
c) µ∗ có tính chất σ cộng tính dưới. Tức là ∀{ An } ⊂ P ( X ) (rời nhau) ta đều có:

µ

∗

∞

∞

An

≤

∑ µ ∗ ( A n ).

n =1

µ ( A) = in f

∞

∞

n =1

n =1

∑ m( An )|{ An }n≥1 ⊂ C , A ⊂

An .

Khi đó ta có:
i) µ∗ là độ đo ngoài trên X và µ∗ ( A) = m( A) với mọi A ∈ C .
ii) σ- đại số F (C) sinh bởi C đều µ∗ - đo được.
Chứng minh. ii ) σ- đại số F (c) sinh bởi C đều µ∗ đo được.
Để cho µ∗ đo được ta chỉ cần chứng minh µ∗ có tính chất σ - cộng tính dưới.
∞

Thật vậy. Vì µ∗ ( An ) = inf{ ∑ m( An,i )|{ An,i } ⊂ C}
i =1
∞

⇒ ∀ε > 0, f { An,i } ⊂ C : A ⊂

i =1

An,i .

∗

∞

∞

An

≤

∞

∑ ∑ m( An,i )

n =1 i =1

n =1

∞

≤

∑µ

∗

∞

( An ) +


22


Ta chứng minh µ∗ là độ đo đủ.
Thật vậy, ∀ B ⊂ A, ta có: µ∗ ( B) ≤ µ∗ ( A) = 0.

⇒ µ ∗ ( B ) = 0 ⇒ B ∈ L.
Từ những kết quả trên đây ta được kết quả sau về mở rộng độ đo.
Định lý 1.3.6. Cho m là độ đo trên đại số C . Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ - đại số L
sao cho L ⊃ F (C) ⊃ C và thỏa mãn: i) m = µ∗ |C = µ.
ii) Nếu độ đo m là hữu hạn thì µ là hữu hạn.
Nếu m là σ - hữu hạn thì µ là σ - hữu hạn.
iii) µ là độ đo đủ.
iv) A ∈ L khi và chỉ khi A = B ∪ N hoặc A = B\ N.
ở đó B ∈ F (C) − σ- đại số và N ⊂ E, E ∈ F (C) : µ( E) = 0.
Chứng minh. Xem tài liệu [1].

1.4

Độ đo trong Rk

Trong phần này chúng ta sẽ áp dụng kết quả về mở rộng độ đo trong
trường hợp tổng quát để xây dựng độ đo Lebesgue, độ đo quan trọng và là cơ
sở cho việc xây dựng tích phân Lebesgue sau này.

23


1.4.1


Tiếp theo, mỗi

⊂ C( J ),

=

n
i =1

nếu I = ∅.
nếu a, b ∈ R.
nếu a hoặc b vô hạn.

Ii , Ii ∩ Ij = ∅, i = j.

Đặt
n

m( ) =

∑ m( Ii )

(1)

i =1

Có thể chứng minh (chẳng hạn xem [1]), công thức (1) xác định một độ đo
trên C( J ). Từ đó áp dụng lý thuyết mở rộng độ đo tổng quát ta thu được định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.1. Áp dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory thác

i

∩

j

i,

trong đó nếu

= ∅. Đặt
n

m( A) =

∑ m(

i ).

(1)

i =1

Khi đó số m( A) không phụ thuộc vào cách biểu diễn A thành hợp hữu hạn
các gian rời nhau và ta có các khẳng định sau:
Định lý 1.4.3. i) Hàm tập hợp m xác định bởi công thức (1) là một độ đo trên C( J k ).
ii) Độ đo m có thể mở rộng tới độ đo đủ µ trên σ - đại số L ⊃ F (C) ⊃ C . Mỗi tập
A ∈ L được gọi là tập đo được Lebesgue.
iii) Tập A ⊂ Rk đo được Lebesgue khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại tập mở G ⊃ A
sao cho µ∗ ( G \ A) < ε.