BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THỦY

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH
ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 9460106

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, năm 2018


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Lê Văn Thành
2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến

Phản biện 1: PGS.TS. Ngô Hoàng Long
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 2: TS. Lê Hồng Sơn
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh
Phản biện 3: PGS.TS. Phan Đức Thành
Hội Toán học Nghệ An

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
Tại Trường Đại học Vinh

giới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Banach thực khả li. Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉ
số có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tương
tự.
1.3. Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác
suất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầy
đủ theo trung bình. Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn


2

hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình. Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ này
chưa thật phong phú.
1.4. Xác suất trên không gian Banach là một hướng nghiên cứu quan trọng của
lý thuyết xác suất. Có rất nhiều định lý giới hạn đúng trong không gian thực
nhưng không còn đúng trong không gian Banach.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình
là: “Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu
số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội
tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). Trong trường hợp không gian
Banach không là không gian Rademacher dạng p, chúng tôi chứng minh được hội
tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn. Luận án cũng nghiên cứu
điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử
ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các
dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng một trong các bất

cứu về luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ, và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu
sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Luật số lớn đầu tiên được Bernoulli công bố vào năm 1713. Về sau kết quả
này được mở rộng bởi Poisson, Chebyshev, Markov và Khintchin. Tuy nhiên
phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn được Borel phát hiện và kết quả này được
Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1933. Sau đó kết quả này đã được mở rộng
bởi Marcinkiewicz và Zygmund. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị


4

thực, năm 1973 Smythe đã thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov. Sau đó,
luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chỉ số cũng được
nghiên cứu bởi Gut năm 1978, Klesov năm 1985. Trong luận án, chúng tôi tiếp
tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Banach bất kì. Cụ thể hơn, chúng tôi đã đưa ra điều kiện để
luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau.
Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm này được đưa
ra đầu tiên bởi Chow năm 1988 cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thành và Volodin đã thiết lập sự
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu
sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Rademacher dạng p. Đối với không gian Banach bất kì,
chúng tôi chứng minh được từ Smn /(mn)(p+1)/p , p ≥ 1 hội tụ đầy đủ theo trung
bình về 0 kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Bên cạnh

minh họa cho các kết quả chính. Phản ví dụ thứ nhất chỉ ra hội tụ đầy đủ và hội
tụ theo trung bình không kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình. Phản ví dụ
thứ hai chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3, chúng ta không thể làm yếu giả thiết độc
lập bởi giả thiết độc lập đôi một. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra điều kiện cần
và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập
đôi một. Ở mục này, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng trong Định lý
2.2.2, ta không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi
một, cùng phân phối bởi giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi một phần tử
ngẫu nhiên bị chặn. Các kết quả chính của chương là Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3
và Định lý 2.2.2.
Chương 3 được dành để nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức
Etemadi, Lévy, Ottaviani và Hoffmann-Jørgensen đối với mảng hai chỉ số các
phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi trình bày sự vận dụng dạng tổng
quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q)
kéo theo luật mạnh số lớn. Các kết quả chính của chương là các Định lý 3.2.1,
3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 và Định lý 3.3.2.


6

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
BANACH

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần
tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Chúng tôi đưa ra các điều
kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau. Các kết quả
chính của chương được viết dựa trên bài báo [1] Trong luận án này, nếu không
nói gì thêm ta luôn giả sử rằng X, V, Xmn , Vmn , Xn ... là các phần tử ngẫu nhiên

n=1 P(Amn )

< ∞, thì P(lim sup Amn ) = 0.

(ii) Nếu {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố độc lập đôi một và
∞

∞

P(Amn ) = ∞,
m=1 n=1

thì
P(lim sup Amn ) = 1.
Định nghĩa sau trình bày về không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử {rj , j ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
1
2

phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = .
Không gian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (p ≥ 1) nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi i ≥ 1 và với mọi vj ∈ E (1 ≤ j ≤ i),
1/p

i

rj vj

E
j=1

1.2.5 đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với
nhau, tương ứng cho trường hợp độc lập không cùng phân phối và độc lập cùng
phân phối.


8

Trường hợp một chỉ số của Định lý 1.2.1 được chứng minh bởi de Acosta năm
1981.
1.2.1 Định lý. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử
ngẫu nhiên độc lập.
(i) Giả sử rằng
∞

∞

E Xmn

m=1 n=1

p

< ∞ với 1 ≤ p ≤ 2.

mαp nβp

(1.2.1)

Khi đó,
Smn P

Khi đó, luật yếu số lớn (1.2.2) và luật mạnh số lớn (1.2.3) là tương đương.
Chứng minh của Định lý 1.2.1 gồm nhiều bước. Vì vậy để chứng minh định lý
chúng tôi sẽ chia nhỏ từng bước bằng việc chứng minh ba bổ đề. Bổ đề đầu tiên
đảm bảo rằng trong Định lý 1.2.1 ta chỉ cần chứng minh cho mảng {Xmn , m ≥
1, n ≥ 1} với giả thiết là các phần tử ngẫu nhiên đối xứng.

1.2.2 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là
hai mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập sao cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là bản sao
độc lập của {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}. Khi đó
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mα nβ

(1.2.5)

n
j=1 (Xij
mα nβ

(1.2.6)

nếu và chỉ nếu
m
i=1

− Xij )

→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞,

và


(1.2.9)

thì với mọi p > 0,

Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Lévy cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc
lập, đối xứng làm chìa khóa để chứng minh bổ đề sau đây.
1.2.4 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập, đối xứng. Khi đó,
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mα nβ

(1.2.10)

nếu và chỉ nếu
2m −1
2n −1
i=2m−1
j=2n−1
2mα 2nβ

Xij

→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.

(1.2.11)

Bằng phương pháp chứng minh tương tự đã sử dụng trong chứng minh của
Định lý 1.2.1, ta thu được Định lý 1.2.5. Kết quả này là một dạng của luật số

- Đưa ra được điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối
với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực khả
li bất kỳ tương đương với nhau.
- Trình bày cách chứng minh mới cho luật mạnh số lớn đối với mảng các phần
tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p.


11

CHƯƠNG 2
SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
ĐẦY ĐỦ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN
NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp
p và sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chúng tôi đưa ra

một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy
đủ theo trung bình cấp p. Trong trường hợp không gian Banach khả li tùy ý,
chúng tôi chứng minh được rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng
Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /(mn) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.

Chúng tôi cũng trình bày sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu
nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Các kết quả chính của chương được viết
dựa trên hai bài báo [2,3].

2.1. Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình của mảng các phần tử
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
Năm 1988, Chow giới thiệu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0)
cho dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky,

c,Lp

Khi đó ta kí hiệu Xmn → X.
c,Lp

Lp

c

Dễ thấy rằng nếu Xmn → X thì Xmn → X và Xmn → X khi m ∨ n → ∞. Tuy
nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Trong mục này, chúng tôi đưa ra
ví dụ chỉ ra rằng tồn tại mảng các phần tử ngẫu nhiên {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa
c

Lp

mãn Vmn → X và Vmn → X khi m ∨ n → ∞, nhưng Vmn

c,Lp

X.

Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày kết quả về sự mở rộng Định lý 1 của ba tác
giả trên sang trường hợp mảng hai chỉ số. Kết quả này đưa ra một đặc trưng của
không gian Rademacher dạng p.
2.1.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là không gian Banach thực khả li. Khi đó các
khẳng định sau là tương đương.
(i) E là không gian Rademacher dạng p.
(ii) Với mỗi mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kì vọng
0 nhận giá trị trong E, điều kiện

→ 0 với p ≥ 1 kéo theo
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Chúng
(p+1)/p
mn
(mn)
ta nhấn mạnh rằng trong định lý này không có giả thiết không gian Banach E là

rằng

không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
2.1.3 Định lý. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập.
Nếu
Smn
c,Lp
→ 0 với p ≥ 1,
(mn)(p+1)/p

(2.1.3)

Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
mn

(2.1.4)

thì

2.1.4 Nhận xét. Năm 2006, Rosalsky, Thanh và Volodin thiết lập Định lý 2.1.3
cho trường hợp một chỉ số với 1 ≤ p ≤ 2. Như đã đề cập, phép chứng minh cho
trường hợp mảng hai chỉ số phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một chỉ số.


< ∞ với mọi ε > 0.

(2.1.6)

i=m+1 j=n+1

Bổ đề tiếp theo cũng đưa ra điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn Smn /(mn) →
0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}

độc lập nhưng không có giả thiết đối xứng.


14

2.1.6 Bổ đề. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập
nhận giá trị trong không gian Banach E. Khi đó,
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mn

(2.1.7)

Smn P
→ 0 khi m ∨ n → ∞
mn

(2.1.8)

khi và chỉ khi


max

k≤m, l≤n

Skl

c,Lp

→ 0 với 1 ≤ p ≤ 2

kéo theo
1
max
Skl → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
mn k≤m, l≤n

Kết quả của các tác giả trên và kết quả của chúng tôi là không so sánh được
với nhau. Chứng minh của chúng tôi cũng hoàn toàn khác với chứng minh ba tác
giả trên. Hơn nữa, trong mục này chúng tôi cũng chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3,
giả thiết mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập không thể
làm yếu hơn bằng giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một.

2.2. Sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập
đôi một nhận giá trị trong không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử
ngẫu nhiên độc lập đôi một. Kết quả chính của mục này là Định lý 2.2.2.
Trước khi trình bày kết quả về sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các
phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, chúng ta phát biểu và chứng minh một kết



k≤m, l≤n

m=1 n=1

> εmn

< ∞,

(2.2.2)

i=1 j=1

trong đó {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn
m

n

a2mnij ≤ Cmn với mọi m ≥ 1, n ≥ 1.

(2.2.3)

i=1 j=1

Bây giờ ta sẽ trình bày kết quả chính của mục này. Định lý sau đây thiết lập
sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi
một, cùng phân phối.
2.2.2 Định lý. Giả sử 1 ≤ p < 2, {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử
ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Nếu
EX = 0, E

amnij Xij > εmn

< ∞,

(2.2.5)

i=1 j=1

trong đó {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn (2.2.3).
Ngược lại, nếu (2.2.5) đúng với mọi ε > 0 và với mọi mảng số thực {amnij , m ≥
1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} thỏa mãn (2.2.3), thì ta thu được (2.2.4).


16

Trong mục này, chúng tôi cũng chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng trong Định lý 2.2.2, ta
không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}
độc lập đôi một, cùng phân phối, E X log+ X

< ∞ bởi giả thiết mảng các

phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử
ngẫu nhiên bị chặn X .
Kết luận của Chương 2
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Đưa ra một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) thông
qua sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên
độc lập.
Smn
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p về 0 kéo theo

3.2. Dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cực đại đối với
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach
Trong mục này, ta sử dụng hàm g : En → [0, ∞) đối xứng theo nghĩa g(−x) =
g(x) với mọi x ∈ En .

Kết quả chính đầu tiên của mục này là dạng tổng quát của bất đẳng thức
Etemadi đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Trường hợp đặc biệt, khi
m

n

ta chọn gmn (π(xij )m×n ) =

xij

với mọi π((xij )m×n ) ∈ Emn và α = 1, bất

i=1 j=1

đẳng thức (3.2.2) sau đây chính là bất đẳng thức Etemadi(1991) đối với mảng
các phần tử ngẫu nhiên độc lập.


18

3.2.1 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được, đối xứng sao cho
gmn (x + y) ≤ α (gmn (x) + gmn (y)) , với mọi x, y ∈ Emn ,

(3.2.1)

i=1 j=1

thức (3.2.4) sau đây chính là bất đẳng thức Lévy trong Etemadi(1991).
3.2.2 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được thỏa mãn điều kiện
(3.2.1) và
gmn (x) ≤ βqmn (2x) với mọi x ∈ Emn ,

(3.2.3)

trong đó β > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc hàm gmn . Cho {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
là họ gồm mn phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng. Khi đó với mọi t ≥ 0, ta có


kl
mn
P  max Smn
> 56α6 βt ≤ 40P(Smn
> t).

(3.2.4)

1≤k≤m
1≤l≤n

Định lý 3.2.3 sau đây là dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani đối với
m

n

mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Khi ta chọn gmn (π(xij )m×n ) =

0≤k≤m−1
0≤l≤n−1

2 .

(3.2.5)

kl > u)
P(Tmn

Định lý cuối cùng là dạng tổng quát của bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen
đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Ta chú ý rằng định lý tiếp theo
không có giả thiết các phần tử ngẫu nhiên là đối xứng.
3.2.4 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được, đối xứng thỏa mãn
điều kiện (3.2.1) và {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là các phần tử ngẫu nhiên độc lập.
Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) Với mọi s ≥ 0, t ≥ 0, u ≥ 0, ta có
mn
P(Smn
> α2 s + 3α3 (t + u))



 



kl
≤ P(Nmn > s) + P  max Smn
> t P  max

Trong phần này, ta xét mảng {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân phối.
Khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với dãy phần tử ngẫu nhiên độc
lâp cùng phân phối nhận giá trị trong không gian Banach đã được giới thiệu bởi
Li, Qi và Rosalsky năm 2016. Trên ý tưởng cơ bản này chúng tôi đưa ra định
nghĩa sau.


20

3.3.1 Định nghĩa. Cho 0 < p < 2 và q > 0. Ta nói mảng {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}
thỏa mãn luật mạnh số lớn dạng (p, q) nếu
∞

q

∞

m=1 n=1

1
mn

Smn

< ∞ h.c.c.

1

(3.3.1)

∞

ckl khi n → ∞.

ckl
k=1 l=1

(3.3.3)

k=1 l=1
∞

∞

(ii) Nếu {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực không âm thỏa mãn

amn

∞

akl , m ≥ 1, n ≥ 1 và γ =

lập, đối xứng. Đặt bmn =
k=m l=n

21−q ,
1,

nếu 0 < q ≤ 1
.
nếu q > 1

Khi đó, với mọi t ≥ 0, ta có
∞

P

sup bkl Xkl

q

> γt

k≥1, l≥1

∞

≤ 2P


k=1 l=1

và {a(m, n, k, l), k ≥ 1, l ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn
|a(m, n, k, l)| < ∞ và

sup
m≥1,n≥1
k≥1,l≥1

lim

m∨n→∞

a(m, n, k, l) = 0, với mọi k ≥ 1, l ≥ 1.

(3.3.7)
∞ ∞

Khi đó,

lim

m∨n→∞ k=1 l=1

a(m, n, k, l)c(k, l) = 0.

Bổ đề thứ tư là một mở rộng của Định lý 1.2.5 trong Chương 1. Tuy nhiên,
phép chứng minh của nó dựa vào Định lý 1.2.5.
3.3.6 Bổ đề. Giả sử 0 < p < 2 và {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử


KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận chung
Luận án đã thu được các kết quả chính sau đây:
- Đưa ra được điều kiện để luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn tương đương
với nhau đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối và
độc lập cùng phân phối.
- Đưa ra được đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p. Trong không gian Banach khả li tùy ý, luận
án chứng minh được hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p
kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
- Đưa ra được điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số
các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối.
- Thiết lập được các dạng tổng quát của các bất đẳng thức Etemadi, Lévy,
Ottaviani và bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen.
- Đưa ra khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng các phần tử ngẫu
nhiên và chứng minh được luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số
lớn.
2. Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo
Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây:
- Chuyển các kết quả cho trường hợp một chỉ số của Li, Qi and Rosalsky năm
2016 sang trường hợp hai chỉ số.
- Đưa ra điều kiện để hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình cấp p kéo theo
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p.
- Nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng có trọng số
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.


23