1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Khái niệm độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36


2

MỞ ĐẦU

Luật số lớn là một trong ba định lý giới hạn quan trọng trong lý thuyết
xác suất. Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713. Về
sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov... mở rộng.
Tuy nhiên phải đến nửa đầu thế kỷ 20 luật số lớn mới được Borel và
Kolmogorov hoàn thiện.
Cho tới nay, các định lý giới hạn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của
lý thuyết xác suất. Luật số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Banach cũng đang được nghiên cứu rộng rãi trong
những năm gần đây. Chẳng hạn, năm 2006, Rosalsky và Thanh [11] đã
đưa ra luật mạnh và luật yếu số lớn đối với tổng kép các phần tử ngẫu
nhiên trong không gian Banach Rademacher dạng p. Năm 2007, các tác
giả trong [12] nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung
bình đối với tổng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach. Về mảng kép các phần tử ngẫu nhiên, năm 2008, Quang và
Huan [9] nghiên cứu về luật yếu số lớn. Năm 2009, Quang và Huan [10]
cung cấp điều kiện để luật mạnh số lớn và sự hội tụ trong Lp của các phần
tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều.

sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các
thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 5 năm 2013
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, các khái niệm, bổ đề cần thiết dùng để chứng minh
các kết quả chính sẽ được giới thiệu.

1.1

Phần tử ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ. E là không gian Banach
thực khả ly. B(E) là σ - đại số Borel của E.
Cho a, b ∈ R, ta ký hiệu min{a, b}, max{a, b} lần lượt là a∧b, a∨b. Cho

x

0, số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x ký hiệu là [x]. Cho x

1,

logarit tự nhiên và lôgarit cơ số 2 lần lượt được ký hiệu là logx và Logx.
Trong suốt bài viết, ký tự C sẽ ký hiệu cho một hằng số dương không

A
X −1 (B) =
A



Ω

nếu
nếu
nếu
nếu

0∈
/ B, α ∈
/B
0 ∈ B, α ∈
/B
0∈
/ B, α ∈ B
0 ∈ B, α ∈ B


5

nên X −1 (B) ∈ F với mọi B ∈ B(E).
1.1.3 Định nghĩa. Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử
ngẫu nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được. (|X(Ω)| là lực lượng
của tập hợp X(Ω).)
Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên

Điều này kéo theo aX + bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên.


6

1.2

Các dạng hội tụ

Trong mục này, chúng tôi trình bày các dạng hội tụ của dãy các phần
tử ngẫu nhiên, mối quan hệ của chúng và các tính chất liên quan.
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử {Xn , n

1} là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng

xác định trên không gian Ω nhận giá trị trên E.
Ta nói {Xn , n

1} hội tụ đến X (khi n → ∞)

• hầu chắc chắn(h.c.c) nếu : P ( lim Xn − X = 0) = 1.
n→∞

Ký hiệu Xn

h.c.c
−−→ X.
∞

• đầy đủ nếu :


p

= 0.

X.

1.2.2 Ví dụ. Giả sử α ∈ E, α = 0 và Xn là phần tử ngẫu nhiên đơn giản
nhận các giá trị 0 và α với xác suất tương ứng là 1 − 1/n và 1/n. Khi đó

Xn

P
→
−

0 và Xn

L2
−
→

0 (khi n → ∞).

Thật vậy, ta có Xn : Ω → R+ xác định bởi

Xn (ω) =

0
α


E Xn − 0

2

= 02 .(1 − 1/n) + α 2 .1/n = α 2 .1/n → 0 khi n → ∞

Điều này có nghĩa Xn

L2
−
→

0 (khi n → ∞).


7

Định lý sau đây nêu lên một tiêu chuẩn của sự hội tụ hầu chắc chắc
chắn.
1.2.3 Định lý ([1]). Xn → X h.c.c (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi

ε > 0,
lim P (sup Xm − X > ε) = 0.

n→∞

m n

Tiếp theo, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các dạng hội tụ.


c
→
−

h.c.c
−−→

X (khi n → ∞).

1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn

h.c.c
−−→

α∈

α (khi n → ∞).

1.2.5 Định nghĩa. Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n

1} là dãy cơ

bản

• Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P ( lim

m,n→∞

Xm − Xn = 0) = 1.

Định lý sau nêu lên điều kiện cần và đủ để một dãy cơ bản h.c.c.


8

1.2.7 Định lý. Dãy {Xn , n

1} là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một

trong hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i) lim P (supk,l

n

Xk − Xl > ε) = 0 với mọi ε > 0;

(ii) lim P (supk

n

Xk − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0.

n→∞

n→∞

Chứng minh. Ta có Xk − Xl

Xk − Xn + Xl − Xn . Suy ra


k,l→∞

Suy ra {Xn , n
∞

Xk − Xl = 0) =
m=1 n=1

∞

∞
m=1

∞
n=1

n (1/m))

=1

∞
n (1/m)

=0⇔P

m=1 n=1
n→∞

n (1/m).

1.2.8 Bổ đề. Giả sử E là không gian Banach và dãy {xn , n

1} ⊂ E.

Khi đó, nếu

1
2n
1} là dãy cơ bản (do đó hội tụ).
xn+1 − xn

với mọi n

n0 thì {xn , n

Sử dụng Bổ đề trên ta thu được kết quả sau.
1.2.9 Định lý. Nếu dãy {Xn , n
con {Xnk , k

1} ⊂ {Xn , n

1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy

1} sao cho {Xnk , k

1} hội tụ h.c.c.


9



Lấy εk = 1/2k , tồn tại nk > nk−1 sao cho với mọi m, n

P ( Xm − Xn >
Suy ra dãy {Xnk , k
∞

1
1
)


∞

1
> k
2

Xnk+1 − Xnk

A=
m=1 k=m

nk thì

∞


∞
m=1

∞

lim

m→∞

P (Ak )
k=m

∞
k=m (

1
= 0.
k
m→∞
2
k=m
lim

Xnk+1 − Xnk

1
2k ).

Giả sử ω ∈ A suy ra tồn tại m0 sao cho

1.2.10 Định lý. Dãy {Xn , n
là dãy cơ bản theo xác suất.

1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó


10

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử {Xn , n

1} hội tụ theo xác suất. Khi

đó với mọi ω ∈ Ω ta có Xm (ω) − Xn (ω)

Xm (ω) − X(ω) + Xn (ω) −

X(ω) . Do đó, với mọi ε > 0 thì
ε
ε
( Xm − Xn > ε) ⊆ ( Xm − X > ) ∪ ( Xn − X > ).
2
2
P ( Xm − X > 2ε ) + P ( Xn − X > 2ε ).

Suy ra P ( Xm − Xn > ε)
Vì {Xn , n

1} hội tụ theo xác suất nên P ( Xm − Xn > ε) → 0 khi

m, n → ∞.

2

Xnk −X >

ε
2

→0

khi n → ∞.
Vậy Xn

P
→
−

X khi n → ∞. Định lý được chứng minh.

Về hội tụ theo trung bình ta có kết quả sau.
1.2.11 Định lý. Dãy {Xn , n

1} hội tụ theo trung bình cấp p (p

1)

khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử Xn

Lp
−

εp

p

→0


11

khi n, m → ∞. Do đó {Xn , n

1} là dãy cơ bản theo xác suất. Suy ra

tồn tại {Xnk , k

1} sao cho Xnk → X h.c.c khi k → ∞.

1} ⊂ {Xn , n

Mặt khác, do {Xn , n

1} là dãy cơ bản theo trung bình cấp p nên với

mọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho

E Xm − Xn
với mọi m, n

E Xm − Xn



Định lý được chứng minh.

1.3

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử
m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

f (m) = E(f (X)).
Ký hiệu m = EX.
Sau đây là một ví dụ về phần tử ngẫu nhiên.
1.3.2 Ví dụ. Giả sử α ∈ E, A ∈ F và X = αIA , tức là

X(ω) =

α
0

nếu ω ∈ A,
nếu ω ∈
/ A.

Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ,

f (P (A)α) = P (A)f (α)
và

E(f (X)) = E(f (α)IA ) = f (α)E IA = f (α)P (A).


ω ∈ Ω. Suy ra f (αξ) = ξf (α). Đặt m = αEξ . Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta
có

E(f (αξ)) = E(ξf (α)) = f (α)Eξ = f (αEξ) = f (m).
Do đó m = E(αξ).
4. Ta có (X = α) ⊂ (f (X) = f (α)) ∈ F mà P (X = α) = 1 nên

P (f (X) = f (α)) = 1. Suy ra với mọi f ∈ E∗ ta có
Ef (X) = Ef (α) = f (α).


13

Do đó α = EX .
5. Ta có f (ξX)(ω) = f (ξ(ω)X(ω)) = ξ(ω)f (X(ω)) = ξf (X)(ω) với
mọi ω ∈ Ω. Suy ra f (ξX) = ξf (X). Đặt m = EξEX . Khi đó, với mọi

f ∈ E∗ ta có
E(f (ξX)) = E(ξf (X)) = EξEf (X) = Eξf (EX) = f (EξEX) = f (m).
Do đó m = E(ξX).
6. Đặt m = T (EX). Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có

E(f (T (X))) = E((f T )(X)) = (f T )(EX) = f (m).
Do đó m = E(T X).
1.3.4 Định lý ([1]). Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và

EX

E X .

tính chất sau.
1.3.9 Định lý ([1]). Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên và ξ là biến
ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P ), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó

1. E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G).
2. Tồn tại E(aX|G) = aE(X|G).
3. Tồn tại E(αξ|G) = αE(ξ|G).
4. Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X|G1 ) |G2 ) = E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ).
1.4

Khái niệm độc lập

Trong mục này, chúng ta trình bày các kiến thức về sự độc lập.
1.4.1 Định nghĩa. Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được
gọi là độc lập nếu

P

Ai
i∈I

=

P (Ai ),
i∈I

với mọi Ai ∈ Fi , i ∈ I .
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập nếu
mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.
1.4.2 Định nghĩa. Giả sử {Xt , t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng


n} được gọi là M-phụ thuộc (xem [8]) nếu

M + 1 hoặc m ∨ n > M + 1 và các phần tử ngẫu nhiên

{X11 , · · · , Xij } độc lập với họ {Xkl , · · · , Xmn } trong đó (k − i) ∨ (l − j) >
M.
1.5.2 Định nghĩa. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m
được gọi là M-phụ thuộc nếu với mỗi m

m, 1

j

1, n

1, n

1, tập {Xij , 1

1}
i

n} là M -phụ thuộc.

Với định nghĩa trên ta có thể thấy rằng, nếu mảng {Xmn , m

1, n

1}


1.6.2 Định nghĩa. Một mảng kép {Xmn , m

1} được gọi là p-tựa

p < ∞) nếu E Xmn < ∞ với mọi m, n

trực giao (1
m1

1, n

p

n1

E

aπ1 (i)π2 (j) Xπ1 (i)π2 (j)

m2

1 và
p

n2

E

aπ1 (i)π2 (j) Xπ1 (i)π2 (j)


E Xij p I(Xij ∈
/ K) < ε.

sup (mn)
m 1,n 1

i=1 j=1

1.6.4 Định nghĩa. Tập con D của không gian metric E được gọi là
hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại các phần tử

a1 , a2 , . . . , an ∈ E sao cho D ⊂

n
i=1 B(ai , ε),

trong đó B(x, ε) là hình cầu

mở tâm x, bán kính ε.
Kế tiếp chúng tôi đưa ra một số bất đẳng thức. Các bất đẳng thức này
đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập kết quả chính.

1.7

Các bất đẳng thức

1.7.1 Bất đẳng thức (Bất đẳng thức Cr ). Giả sử {Xi , 1

i

p

2. Trước hết ta cần sử dụng bổ đề sau.


17

1.7.2 Bổ đề. Nếu {Xkl , Fl , l

1}, k = 1, . . . , m là các martingale dưới

không âm, thì { max Xkl , Fl , l

1} cũng là martingale dưới không âm.

1 k m

Chứng minh. Với L > l

1, ta có

max XkL |Fl

E

max E(XkL |Fl )

1 k m

max Xkl .


k

m, 1

l

n.

i=1 j=1

Khi đó
m

E

max

Skl

1 k m,1 l n

p

n

E Xij p ,

C


i

m, 1

j

l

n, 1

i

l), 1

E(Sk,l−1 |Fl−1 ) = Sk,l−1 và E(Xil |Fl−1 ) = 0.
k

m, 2

l

n, ta có
k

E(Skl |Fl−1 ) = E Sk,l−1 +

Xil Fl−1
i=1

l


n} là martingale với mỗi k = 1, . . . , m . Theo

Scalora [13], ta có { Skl , Fl , 1

l

n} là martingale dưới không âm với

mỗi k = 1, . . . , m . Sử dụng Bổ đề 1.7.2, {Yl , Fl , 1

l

n} là martingale

dưới không âm và theo bất đẳng thức Doob (xem [4] trang 225), ta có
p
p
p
p
E
max
Skl
= E( max Yl )
EYnp .
(1.2)
1 k m;1 l n
1 l n
p−1
Đặt Gk = σ(Xij , 1


p

p
p−1

p

E Smn

p

n

E Xij p .

C
i=1 j=1

(1.3)
Kết luận (1.1) thu được từ (1.2) và (1.3).

2 và m ∧ n = 1, thì (1.1) được chứng minh tương

Tiếp đến, nếu 1 < p

tự như trường hợp m ∧ n

2.


=E



l

m

n

Xij  =
i=1 j=1

E Xij .
i=1 j=1

Điều này kéo theo (1.1). Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề tiếp theo là một kết quả trong [8]. Kết quả này mở rộng Bổ
đề 1.7.3 sang trường hợp M -phụ thuộc.
1.7.4 Bổ đề. Cho E là không gian Rademacher dạng p (1

{Xij , 1

i

m, 1

j

p

trong đó, hằng số C độc lập với m và n.
Hệ quả sau đây suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.7.4
1.7.5 Hệ quả. Cho E là không gian Rademacher dạng p (1

{Xij , 1

i

m, 1

j

p

2) và

n} là tập các phần tử ngẫu nhiên M -phụ thuộc

với kỳ vọng 0, nhận giá trị trên E. Khi đó
m

p

n

E

Xij

m


p

1, n

1} là p-tựa trực giao thì với

2, ta có



E

2). Nếu {Xmn , m

k

l

max

1 k m;1 l n

p

Xij 
i=1 j=1

m



∞

E Xmn

p

0 bất kỳ, ta có

P

sup
m∨n k

P { Xmn > ε}

Xmn > ε
m∨n k

∞

∞

m=1 n=1

E(|Xmn |p I(|Xmn | (mn)1/q ))
< ∞ với mọi p > q
(mn)p/q

và
∞

∞

m=1 n=1

E(|Xmn |r I(|Xmn | > (mn)1/q ))
< ∞ với mọi 0 < r < q.
(mn)r/q

Mệnh đề sau là một trong những kết quả chính của Thanh và Rosalsky
trong [11]. Mệnh đề này góp phần chứng minh Định lý 2.1.4.
2.1.3 Mệnh đề (Rosalsky và Thanh, [11]). Cho 1

p

2 và cho E

là một không gian Banach thực khả li. Khi đó 2 khẳng định sau là tương


Xij
−→ 0 hầu chắc chắn khi max{m, n} → ∞.
mn

(2.4)

Mệnh đề 2.1.3 được tổng quát bởi định lý sau đây.
2.1.4 Định lý. Cho 1

p

2 và E là một không gian Banach thực khả

li. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Không gian Banach E là Rademacher dạng p.
(ii) Với mọi mảng kép {Xmn , m

1, n

1} các phần tử ngẫu nhiên

độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E và với mọi cách chọn hằng số


22

α > 0 và β > 0, điều kiện
∞



1} các phần tử ngẫu nhiên

độc lập với kỳ vọng 0 trong không gian E và với mọi cách chọn hằng số

α > 0 và β > 0, điều kiện (2.5) kéo theo
m

n

i=1 j=1

Xij
−→ 0 hầu chắc chắn và trong Lp khi m ∨ n → ∞. (2.7)
mα nβ

Chứng minh. Từ (iii) suy ra (i) được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.3 bằng
cách cho α = β = 1. Từ (ii) suy ra (iii) là hiển nhiên. Do đó ta chỉ cần
chứng minh từ (i) suy ra (ii). Giả sử rằng (i) thỏa mãn. Khi đó
p

m

∞

k=1

∞



i=1 j=1
2αkp 2βlp
∞

C

C

i=1 j=1

2αk 2βl
2k

C

n

∞

( theo Bổ đề 1.7.3 )

E Xij p
2αkp 2βlp

i=1 j=1 k=[Logi] l=[Logj]
∞ ∞
E Xij p
2αp[Logi] 2βp[Logj]
i=1 j=1
∞ ∞


1, ta đặt k

1 sao cho 2k−1

1, l

(2.8)

m


1} là mảng kép các

phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach thực khả
li Rademacher dạng p (1

E Xmn

p

2). Nếu
mαp−1 nβp−1
C
(log(m + 1)log(n + 1))1+ε

p

với các hằng số α > 0, β > 0, ε > 0, C < ∞ nào đó và với mọi m

(2.9)

1, n

1, thì
k

l

max



Từ Định lý 2.1.4 suy ra kết luận (2.10).


24

2.1.6 Nhận xét. Như chúng ta biết, nếu một mảng kép {Xmn , m

1, n

1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập kỳ vọng 0 trong không gian Banach
thực khả li Rademacher dạng p (1

p

sup E Xmn

2) sao cho
p

< ∞,

(2.11)

m 1,n 1

thì (2.9) thỏa mãn với mọi ε > 0 và C < ∞ nào đó, α ∧ β > 1/p. Theo
Hệ quả 2.1.5 suy ra (2.10). Điều kiện (2.11) hiển nhiên thỏa mãn nếu

{Xmn , m


1} bị chặn ngẫu nhiên

bởi phần tử ngẫu nhiên X với

E( X
với 1

q

log ( X ∨ 1)) < ∞

(2.13)

q < p nào đó. Khi đó
k

l

max

1 k m;1 l n

Xij
i=1 j=1

(mn)1/q

−→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞. (2.14)



max

1 k m;1 l n

Xij
i=1 j=1

−→ 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞. (2.16)

mα nβ
Chứng minh. Với m


1, n

k

E

l

max

1, ta có

p

Xij 


n

m

=

E Xij

p

.

i=1 j=1

Do đó


k=1

∞


1
E


l=1

m




2l

E Xij

p

i=1 j=1
2αkp 2βlp
∞

1)

Xij p 

E

∞



l

max

1 k m;1 l n

p 