Số hóa bởi trung tâm học liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC


DƯƠNG VĂN SÁNG

NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI TOÁN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG
KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

2 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử
accretive mạnh 18
2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên
tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên
tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Bảng ký hiệu
X Khơng gian Banach thực
X
∗
Khơng gian liên hợp của X
φ Tập rỗng
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
I Tốn tử đơn vị
A
∗
Tốn tử liên hợp của tốn tử A
D(A) Miền xác định của tốn tử A
F ix(T ) Tập các điểm bất động của tốn tử T
x
n
→ x Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
2

giãn, bài tốn điểm bất động và phương trình tốn tử accretive. Phần cuối
của chương giới thiệu một số dãy lặp cổ điển xấp xỉ điểm bất động, đó là
dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa. Chúng tơi cũng giới thiệu lịch sử của
các dãy lặp này trên cơ sở các mở rộng của Deiling, Chidume, Liu, Zhou,
Osilike và Ding (xem [6], [2], [8], [12], [10], [4], [5]).
Trong chương 2, chúng tơi trình bày một số phương pháp lặp giải phương
trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach. Sự
hội tụ của các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa được chứng minh chi tiết
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trong các trường hợp tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục Lipschiz và
liên tục đều.
Đóng góp chính của chúng tơi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp kiến
thức trong các tài liệu [1]-[12]. Tồn bộ phần chứng minh các định lý trong
chương 2 được chúng tơi làm rõ từ các kết quả nghiên cứu đã có trong [1],
và khơng được chứng minh tường minh trong tài liệu này.
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Phương trình phi tuyến với tốn tử
accretive
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả về
tốn tử accretive, bài tốn điểm bất động, phương trình tốn tử và một
số phương pháp lặp kinh điển tìm điểm bất động của tốn tử trong khơng
gian Banach. Các kết quả của chương này được tham khảo trong tài liệu
[1]-[12].
1.1 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn
Cho X là một khơng gian Banach thực, X
∗
là khơng gian liên hợp của
X và x
∗

i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0;
ii) J là tốn tử đơn trị khi X
∗
là khơng gian lồi chặt. Trong trường hợp
X là khơng gian Hilbert thì J ≡ I-tốn tử đơn vị trong X.
Một bất đẳng thức đơn giản và thơng dụng thường được dùng để thiết
lập mối quan hệ giữa tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn . trong
khơng gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [11].
Định nghĩa 1.3. Cho X là một khơng gian Banach thực, J : X → 2
X
∗
là tốn tử đối ngẫu của X. Khi đó
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, j(x + y) (1.1)
với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J(x + y).
Bất đẳng thức (1.1) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn.
Định nghĩa 1.4. Tốn tử đơn trị A : X → X được gọi là
i) accretive nếu
Ax − Ay, J(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
ii) accretive chặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi
x = y;
iii) accretive đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, sao cho
Ax − Ay, J(x − y) ≥ γ(x − y), ∀x, y ∈ D(A);
iv) k-accretive mạnh nếu γ(t) = kt
2
, k > 0 là một hằng số;
v) m-accretive nếu R(I + λA) = X, ∀λ > 0.

, (1.6)
ở đây I là tốn tử đồng nhất trong X.
Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.6) được viết dưới dạng
(I − T)x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k(I − T)x − (I − T )y
2
. (1.7)
Trong khơng gian Hilbert, bất đẳng thức (1.6) và (1.7) tương đương và
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ λ(I − T )x − (I − T )y
2
, (1.8)
với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1. Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.8)
có dạng
T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.9)
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2 Bài tốn điểm bất động
Định nghĩa 1.7. Phần tử x ∈ D(T ) trong khơng gian Banach X được
gọi là một điểm bất động của tốn tử T nếu x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của tốn tử T là F ix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của tốn tử khơng giãn T trong khơng gian Banach
lồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng. Bài tốn điểm bất động
được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của khơng gian Banach
X, T : C → X là một tốn tử.
Hãy tìm phần tử x
∗
∈ C sao cho T x
∗

8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Khi đó, cho x
0
= 1,
x
1
= T x
0
,
x
2
= T x
1
= 1,
x
3
= T x
2
= 0,
· ··,
x
2n
= T x
2n−1
= 1,
x
2n+1
= T x
2n
= 0,

= T x
n
, x
n
=
n

k=1
x
k
k
, n ≥ 0 (1.12)
hội tụ tới một điểm bất động của T .
Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {x
n
} được
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />xác định bởi:



x
0
∈ C,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n

định bởi:





x
0
∈ C,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n

rỗng của X và T : K → K là tốn tử giả co chặt (giả co mạnh). Khi đó
T có duy nhất điểm bất động trong K.
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Năm 1987, Chidume [2] đã chứng minh định lý về sự hội tụ mạnh của
dãy lặp Mann xác định bởi (1.13) trong L
p
(p ≥ 2) như sau:
Định lý 1.12. Cho X = L
p
, p ≥ 2 và T : X → X là tốn tử accretive
mạnh và liên tục Lipschitz. Với f ∈ X cho trước, tốn tử S : X → X xác
định bởi Sx = f − T x + x. Khi đó dãy lặp Mann {x
n
} xác định bởi (1.13)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Định lý 1.13. Cho X = L
p
, p ≥ 2 và C là tập con lồi đóng bị chặn khác
rỗng của X. Nếu T : C → C là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz
thì dãy lặp Mann {x
n
} xác định bởi (1.13) hội tụ mạnh tới điểm bất động
duy nhất của T .
Cũng tại thời điểm này, Chidume đặt ra các câu hỏi mở dưới đây:
Câu hỏi mở (I): Định lý 1.12 và 1.13 có mở rộng được cho khơng gian
L
p
với 1 < p < 2 hay khơng?
Câu hỏi mở (II): Dãy lặp Ishikawa {x
n

Các khơng gian L
p
, l
p
là các ví dụ về khơng gian trơn đều.
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 1.16. Cho X là khơng gian Banach trơn đều và T : X → X
là tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số k ∈ (0; 1) và
L ≥ 1. Cho trước f ∈ X, xác định tốn tử S : X → X bởi Sx = f +x−T x.
{u
n
} và {v
n
} là hai dãy khả tích trong X và {α
n
}, {β
n
} là hai số thực
trong [0; 1] thỏa mãn:
i) lim
n→∞
α
n
= 0,
∞

n=0
α
n
= ∞,

n
+ v
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
Sy
n
+ u
n
, n ≥ 0
(1.17)
và {Sy
n
} bị chặn, thì dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của
phương trình T x = f.
Năm 1994, Chidume [3] mở rộng Định lý 1.13 từ L
p
, p ≥ 2, lên khơng
gian Banach trơn đều.
Định lý 1.17. Cho X là khơng gian Banach trơn đều, K là tập con lồi
đóng và bị chặn khác rỗng của X và T : K → K là tốn tử giả co mạnh

+
b(t) = 0;
(3) x + y ≤ x
2
+ 2y, j(x) + max{x, 1}yb(y) với mọi
x, y ∈ X.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Khi đó, dãy lặp {x
n
} xác định bởi:

x
0
∈ K,
x
n+1
= (1 − c
n
) x
n
+ c
n
T x
n
, n ≥ 0
(1.18)
hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Chidume cũng đưa ra câu hỏi mở dưới đây:
Câu hỏi mở (III): Định lý 1.17 có phát triển được cho dãy lặp Ishikawa
{x





x
0
∈ X,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0
(1.19)

= (1 − c
n
) x
n
+ c
n
T x
n
+ u
n
, n ≥ 0
(1.20)
hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Theo ý tưởng của Liu, Chidume và Osilike [4] đã mở rộng Định lý 1.19
thành q trình lặp Ishikawa như sau.
Định lý 1.20. Cho X là khơng gian Banach thực, K là tập con lồi đóng
khác rỗng của X, và T : K → K là tốn tử giả co mạnh và liên tục
Lipschitz. Gọi {α
n
} và {β
n
} là các dãy thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều
kiện sau:
i) α
n
, β
n
→ 0 khi n → ∞,
ii)
∞

n
T x
n
, n ≥ 0
(1.21)
hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Năm 1997, Osilike [10] cũng đã chứng minh kết quả dưới đây bằng việc
sử dụng ý tưởng và phương pháp của Liu.
Định lý 1.21. Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn
tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số k ∈ (0; 1) và L ≥ 1.
Cho {u
n
}, {v
n
} là hai dãy trong X và {α
n
}, {β
n
} là dãy thực trong [0; 1]
thỏa mãn:
i) lim
n→∞
α
n
= 0,
∞

n=0
α
n

, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
[f + (I − T )y
n
] + u
n
, n ≥ 0
(1.22)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Năm 1997, Ding [5] cũng đã chứng minh một kết quả sau, kết quả này
tổng qt hóa kết quả đã đưa ra trong Osilike.
Định lý 1.22. Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn
tử k-accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miền
giá trị R(T ). Giả sử phương trình T x = f có nghiệm với bất kì f ∈ D(T ).
Cho {u
n
}, {v
n
} là hai dãy trong X và {α
n
}, {β
n
} là hai dãy thực trong

n
< ∞,
iv)
∞

n=0
α
2
n
< ∞.
Giả sử rằng, với x
0
∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {x
n
} với sai số
xác định bởi:

x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
[f + (I − T )y
n
] + u
n
, n ≥ 0

Số hóa bởi trung tâm học liệu />thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện từ i) đến iv) trong Định lý 1.22.
Giả sử với x
0
∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {x
n
} với sai số xác
định bởi:

x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n
+ u
n
, n ≥ 0
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x

Như vậy việc xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với tốn tử
accretive hoặc accretive mạnh được đưa về bài tốn điểm bất động của
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />tốn tử giả co hoặc giả co chặt. Trong chương 2 chúng tơi sẽ làm rõ mối
liên hệ này trên cơ sở chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tương
ứng.
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Phương pháp lặp giải phương trình
phi tuyến với tốn tử accretive
mạnh
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình
phi tuyến trên cơ sở sự hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa với
tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach. Các kết quả của chương
này được tổng hợp và làm chi tiết hơn từ tài liệu [1].
2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên
tục Lipschitz
Ký hiệu L ≥ 1 và k ∈ (0; 1) là hằng số Lipschitz và hằng số accretive
mạnh của tốn tử T . Đặt L
∗
= 1 + L và r là bất kỳ, nhưng cố định trong

0; k
2

.
Định lý 2.1. Cho X là một khơng gian Banach thực bất kỳ và T : X → X
là một tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz, {α
n
} và {β

n=0
α
n
= ∞.
Với bất kỳ f ∈ X, tốn tử S : X → X được xác định bởi Sx = f − T x + x
với mọi x ∈ X. Khi đó, dãy lặp Ishikawa





x
0
∈ X
y
n
= (1 − β
n
)x
n
+ β
n
Sx
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
)x

n+1
− x
∗
= (1 − α
n
) (x
n
− x
∗
) + α
n
(Sx
n+1
− Sx
∗
)
− α
n
(Sx
n+1
− Sy
n
) .
(2.2)
Đặt
K
n
= L
∗
(1 + L

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Tác động với j(x
n+1
) ∈ J(x
n+1
) trong đẳng thức (2.2) ta thu được
x
n+1
− x
∗
 ≤ (1 − α
n
) x
n
− x
∗
, j (x
n+1
− x
∗
)
+ α
n
Sx
n+1
− x
∗
, j (x
n+1
− x
∗

n+1
− x
∗
)
+ α
n
Sx
n+1
− Sy
n
 x
n+1
− x
∗
 .
(2.4)
Dễ thấy rằng tồn tại j(x
n+1
− x
∗
) ∈ J(x
n+1
− x
∗
) sao cho
Sx
n+1
− Sx
∗
, j (x

x
n+1
− x
∗

2
+ K
n
α
n
x
n
− x
∗
 x
n+1
− x
∗
 .
(2.6)
Ở đây, ta giả thiết rằng x
n+1
− x
∗
 > 0, nên từ (2.6) suy ra:
x
n+1
− x
∗
 ≤ (1 − α

∗
 ≤
1 − α
n
+ K
n
α
n
1 − (1 − k) α
n
x
n
− x
∗

≤

1 −
r
1 − (1 − k) α
n
α
n

x
n
− x
∗

≤ (1 − rα

n
} được xác định bởi

x
0
∈ X
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
Sx
n
, n ≥ 0
hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Chứng minh. Cho β
n
= 0 với mọi n ≥ 0 trong Định lý 2.1 ta nhận được
điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3. Cho X, T , S, {α
n
} như trong Định lý 2.1. Khi đó dãy lặp
Picard {x
n
}

x

[1 + L
∗
(1 + L
∗
)]

, n ≥ 0,
ii) β
n
≤
k(1 − k)
2L
∗
(1 + L
∗
)
, n ≥ 0,
iii)
∞

n=0
α
n
= ∞.
Tốn tử S : X → X được xác định bởi Sx = f + x − T x với mọi x ∈ X
và f ∈ X. Khi đó dãy lặp Ishikawa





21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ta có đánh giá
x
n+1
− x
∗
 ≤
1
k





exp



−k
n

j=0
α
j



T x
0
− f , n ≥ 0.

[1 + L
∗
(1 + L
∗
)]α
n
+ L
∗
(1 + L
∗
)β
n
.
Sử dụng Định lý 1.1 và (2.10) ta có:
x
n+1
− x
∗

2
= (1 − α
n
) (x
n
− x
∗
) + α
n
(Sy
n

n
− x
∗

2
+ 2α
n
Sy
n
− Sx
n+1
, j (x
n+1
− x
∗
)
+ 2α
n
Sx
n+1
− Sx
∗
, j (x
n+1
− x
∗
)
≤ (1 − α
n
)

n
− Sx
n+1
 ≤ L
∗
y
n
− x
n+1

= L
∗
(α
n
− β
n
)(x
n
− x
∗
)
+ α
n
(x
∗
− Sy
n
) + β
n
(Sx

− x
∗


≤ L
∗

α
n
[1 + L
∗
(1 + L
∗
)]
+ β
n
(1 + L
∗
)

x
n
− x
∗

= L
n
x
n
− x

− x
∗

+ 2α
n
(1 − k) x
n+1
− x
∗

2
≤

(1 − α
n
)
2
+ α
n
L
n

x
n
− x
∗

2
+ [2α
n

n+1
− x
∗

2
,
(2.14)
suy ra
x
n+1
− x
∗

2
≤
1 − α
n
(2 + k)
1 − α
n
(1 − k) (2 + k)
x
n
− x
∗

2
=

1 −

0
− x
∗

2
→ 0, khi n → ∞,
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />