ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HẠNH HOA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HẠNH HOA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.0112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Tin, Ban giám hiệu, Phòng
Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trang bị những
kiến thức cơ bản và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS. TS. Tạ
Duy Phượng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tấm
gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống
của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành

1.2.1 Phương pháp của Potra và Pták (1984, [11]) . . . . . . . . . . . . . 25
i
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
1.2.2 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq
(2008, [37]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 Phương pháp của Sanjay K. Khattri, Ioannis K. Argyros (2010, [43]) 26
1.2.4 Phương pháp của Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) . 27
1.2.5 Phương pháp của Linke Hou và Xiaowu Li (2010, [23]) . . . . . . . 27
1.3 Phương pháp tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Phương pháp của Mamta, V. Kanwar, V. K. Kukreja, Sukhjit Singh
(2005, [28]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Phương pháp của Sanjay K. Khattri và S. Abbasbandy (2011, [45]) 29
1.3.3 Phương pháp của Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) . . . . . . 29
1.3.4 Phương pháp của Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou và He Julin
(2007, [19]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Phương pháp khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Phương pháp của Jisheng Kou (2007, [18]) . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Phương pháp của M. M. Hosseini (2009, [27]) . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Phương pháp Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5 Phương pháp nội suy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1 Phương pháp của Manoj Kumar Singh (2009, [29]) . . . . . . . . . 37
1.5.2 Phương pháp của Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010,
[32]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.3 Phương pháp của Manoj Kumar Singh và S. R. Singh (2011, [30]) . 39
1.6 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.1 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2003, [12]) . . . . . . . . . . . 40
1.6.2 Phương pháp của J. R. Sharma (2005, [15]) . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.3 Phương pháp của B. Neta (2008, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.4 Phương pháp của J. R. Sharma (2007, [16]) . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.3 Phương pháp của Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) . . . . . 67
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 70
iii
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Isaac Newton (1642 - 1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự
nhiên và nhà toán học vĩ đại người Anh. Ông đã xây dựng một công thức giải phương
trình phi tuyến f(x) = 0 viết năm 1671 và được công bố lần đầu tiên vào năm 1685.
Newton tính toán một chuỗi các đa thức sau đó ông đưa đến một nghiệm xấp xỉ của
phương trình. Joseph Raphson (1648 - 1715) đã coi phương pháp của Newton hoàn toàn
như là một phương pháp đại số và giới hạn việc sử dụng nó cho các đa thức một biến.
Tuy nhiên Raphson đã mô tả phương pháp thông qua dãy các xấp xỉ kế tiếp x
n
thay vì
các chuỗi đa thức phức tạp như Newton. Cách giải thích của Raphson được xem như là
đơn giản hơn của Newton và đã được ông công bố vào năm 1690. Ngày nay chúng ta gọi
là phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình phi tuyến f(x) = 0 bằng việc xây dựng một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của
phương trình.
Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật,
đặc biệt đối với ngành Toán học nói chung và phương pháp số nói riêng. Trong thực tế
nó có khả năng ứng dụng rất lớn.
Sau khi phương pháp Newton – Raphson ra đời, việc giải phương trình phi tuyến phát
triển rất mạnh mẽ và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Giải các bài toán có ý nghĩa thực
tế quan trọng, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay với sự hỗ trợ của máy tính điện tử việc
này càng trở nên có hiệu lực. Điều đó đã thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp này. Dựa trên cơ sở của phương pháp Newton – Raphson đã có, rất nhiều
bài báo được đăng trên các tạp chí nổi tiếng thế giới nói về cách xây dựng những phương
pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, có thể thực hiện

Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm
Mỗi một phương trình nói chung có thể có nhiều nghiệm. Chúng ta cần tìm khoảng
chứa nghiệm (a, b), trong đó phương trình có nghiệm (có duy nhất nghiệm) bằng một
trong các tiêu chuẩn sau.
Định lí 1. (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều
kiện f(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).
Định lí 2. (Hệ quả của Định lí 1) Giả sử f(x) là một hàm liên tục và đơn điệu ngặt
trên đoạn [a, b]. Khi đó nếu f (a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có duy nhất một
nghiệm trong khoảng (a, b).
Định lí 3. (Hệ quả của Định lí 2) Giả sử f (x) có đạo hàm f

(x) và đạo hàm f

(x)
của nó không đổi dấu trên đoạn [a, b]. Khi đó nếu f(a)f (b) < 0 thì phương trình f(x) = 0
có duy nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).
3
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Bước 2: Giải gần đúng phương trình
Sau khi sử dụng ba định lí trên để xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình
f(x) = 0, chúng ta xét phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x) = 0 trong
trường hợp nghiệm đơn. Ở đây
f : R → R
là một hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn
x
∗
, tức là f(x
∗

)
. (1.2)
Phương pháp lặp này có tốc độ hội tụ bậc hai nhưng chỉ tốt khi f

(x
∗
) = 0. Người ta
có thể cải tiến phương pháp này trở nên tốt hơn bằng cách nâng tốc độ hội tụ lên cao
hơn. Trong chương này, chúng ta trình bày lại nội dung của một số bài báo về sự cải tiến
của phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao
cho trường hợp nghiệm đơn và minh họa qua một số ví dụ tính toán cụ thể. Trường hợp
nghiệm bội của phương trình chúng ta sẽ được xét ở Chương 2.
1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân
Xét biểu diễn của hàm f(x) dưới dạng
f(x) = f (x
n
) +

x
x
n
f

(t)dt. (1.3)
Nhiều nhà toán học đã cải tiến phương pháp Newton bằng việc xấp xỉ tích phân trong
công thức (1.3) bởi các quy tắc khác nhau và đã thu được không ít những phương pháp
lặp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao hơn. Dưới đây chúng
tôi trình bày phương pháp giải phương trình f(x) = 0 có tốc độ hội tụ bậc cao trong một
số bài báo.
4

x
x
n
f

(t)dt ≈ (x −x
n
)
f

(x
n
) + f

(x)
2
. (1.3b)
Giả thiết f (x) khả vi liên tục và f

(x∗) = 0. Khi ấy f

(x
n
) = 0 với x
n
đủ gần x
∗
. Từ
(1.3a) ta có
f(x) ≈ f (x

,
kết hợp f (x) = 0 ta được x ≈ x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
. Đây chính là công thức lặp Newton - Raphson,
có tốc độ hội tụ bậc hai (xem thí dụ, [51]).
Từ (1.3b) ta có
f(x) ≈ f (x
n
) + (x − x
n
)
f

(x
n
) + f

(x)
2
f(x) − f(x
n

)
f

(x
n
) + f

(x)
.
Cho x = x
n+1
ta có
x
n+1
= x
n
−
2f(x
n
)
f

(x
n
) + f

(x
n+1
)
.

f : D ⊂ R → R
với D là một khoảng mở, f có đạo hàm cấp một, cấp
hai và cấp ba trong khoảng D. Nếu f(x) có một nghiệm đơn x
∗
∈ D và x
0
đủ gần x
∗
thì
phương pháp xác định bởi (1.4) có sai số:
e
n+1
= (C
2
2
+
1
3
C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
),
5
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của

) = f (x
∗
) + f

(x
∗
)e
n
+
1
2!
f

(x
∗
)e
2
n
+
1
3!
f
(3)
(x
∗
)e
3
n
+ O(e
4

(x
∗
)e
3
n
f

(x
∗
)
+ O(e
4
n
)

= f

(x
∗
)[e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3

(x
∗
)e
2
n
+ O(e
3
n
)
= f

(x
∗
)

1 +
f

(x
∗
)e
n
f

(x
∗
)
+
1
2!

+ O(e
3
n
)].
Suy ra
f(x
n
)
f

(x
n
)
=
e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)


1 −[2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)] + [2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)]
2
−

= [e

2
e
2
n
+

= [e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)][1 −2C
2
e
n
+ (4C
2
2
− 3C
3

e
3
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)
= e
n
− C
2
e
2
n
+ (2C
2
2
− 2C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n

3
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]
= x
∗
+ C
2
e
2
n
+ (2C
3
− 2C
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
).
f

(x

∗
)

1 + [2C
2
e
2
n
+ 4(C
3
− C
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]
f

(x
∗
)
2f

(x
∗
)


(x
n
) + f

(x
∗
n+1
) = 2f

(x
∗
)

1 + C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e

3
n
+ O(e
4
n
)
1 + C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e
3
n
)
= [e
n
+ C
2
e

)]
+ [C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e
3
n
)]
2
−

= [e
n
+ C
2
e
2
n

n
−
3
2
C
3
e
3
n
+ C
2
e
2
n
− C
2
2
e
3
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)
= e


(x
∗
n+1
)
e
n+1
+ x
∗
= e
n
+ x
∗
− [e
n
− (C
2
2
+
1
2
C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]

2
x −x
2
+ 1
f
3
(x) = x
2
− e
x
− 3x + 2
f
4
(x) = cosx − x
f
5
(x) = x
3
− 10.
Chúng ta tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình trên chính xác đến 15 chữ số thập phân
và so sánh số lần lặp của phương pháp Newton (PPN) với phương pháp (1.4) (PP(1.4))
(Bảng 1), ta thấy (PP(1.4)) có tốc độ hội tụ cao hơn (PPN).
7
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Hàm x
0
PPN PP(1.4) x
∗

)f

(
x
n
2
+
x
2
).
Kết hợp với f(x) = 0 và cho x ≈ x
n+1
ta được
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f


x
n
+x
n+1
2


Q
m
(f) = (x − x
n
)
m

j=1
ω
j
f(η
j
)
trong đó η
j
= x
n
+ τ
j
(x −x
n
), τ
j
∈ [0, 1],
m

j=1
ω
j
= 1 và

n
f

(t)dt ≈ f(x
n
) + (x − x
n
)
m

j=1
ω
j
f

(η
j
).
8
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Thay x = x
n+1
, ta có f(x
n+1
) = f (x
n
) + (x
n+1

m

j=1
ω
j
f

(η
j
)
⇒ x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
m

j=1
ω
j
f

(η
j
)
.
Theo cách xấp xỉ tích phân bởi hình chữ nhật ở trên ta có x ≈ x

f

(x
n
)
− x
n

= x
n
− τ
j
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Vậy
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)

x
y
n
f

(t)dt,
với y
n
= x
n
+
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Chúng ta sử dụng quy tắc trung điểm để xấp xỉ tích phân trong công thức trên

x
y
n
f

(t)dt ≈ (x −y
n
)f

Thay f


x
n+1
+y
n
2

= f


x
∗
n+1
+y
n
2

, với x
∗
n+1
nhận được từ phương pháp lặp Newton ta thu
được
x
n+1
= x
n
−
f

x
n+1
= x
n
−
f

x
n
+
f(x
n
)
f

(x
n
)

− f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Thay f


(x
n
)

− f(x
n
)
λ
n
f(x
n
) + f

(x
n
)
(1.8)
với λ
n
∈ R, 0 ≤ |λ
n
| ≤ 1, n = 0, 1, 2, là các tham số được chọn sao cho
sign

λ
n
f(x
n
)



(α)(x − α) ≈ 0 ⇒ x −α ≈ −
f(α)
f

(α)
, f

(α) = 0.
Ta có phương pháp Newton hội tụ bậc hai: x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Để xây dựng phương pháp lặp hội tụ bậc ba, ta viết lại khai triển Taylor đến cấp hai của
hàm f(x) tại x = α như sau
f(x) = f (α) + f

(α)(x − α) +
f


f

(α)

f

(α)
2
(x −α) ≈ 0
hay
f(α) + (x −α)

f

(α) −
f(α)f

(α)
2f

(α)

≈ 0.
Suy ra
x −α ≈ −
2f(α)f

(α)
2f
2


(x
n
)
2f
2
(x
n
) −f(x
n
)f

(x
n
)
, n = 0, 1, 2,
Phương pháp này được gọi là phương pháp Halley có tốc độ hội tụ bậc ba.
Theo công thức (1.3) ta có
f(x) = f (x
n
) +
x

x
n
f

(t)dt.
Xấp xỉ tích phân trên bởi quy tắc hình chữ nhật tại một điểm λx + (1 −λ)z
n

f

(z
n
)
ta được:
f


λx + (1 − λ)z
n

≈ f

(z
n
) + λ(x − z
n
)f

(z
n
) = f

(z
n
) −λ
f(z
n
)

f

(z
n
)

x = z
n
−
f(z
n
)f

(z
n
)
f
2
(z
n
) −λf(z
n
)f

(z
n
)
.
11
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n
)f

(x
n
)
,
x
n+1
= y
n
−
f(y
n
)
f

(y
n
)
.
(1.9)
Người ta chứng minh được rằng với λ =
1
2
thì công thức lặp (1.9) hội tụ bậc sáu.
Để không phải tính f

(y
n

) ≈ f(x
n
) + f

(x
n
)(y
n
− x
n
) +
1
2
f

(x
n
)(y
n
− x
n
)
2
.
Suy ra
f

(x
n
) ≈ 2

n
) ≈ 2
f(y
n
) −f(x
n
)
y
n
− x
n
− f

(x
n
).
Khi đó công thức (1.9) được viết lại như sau:





y
n
= x
n
−
f(x
n
)f

y
n
−x
n
−f

(x
n
)
.
(1.10)
Người ta đã chứng minh công thức (1.10) hội tụ bậc năm khi λ =
1
2
(xem [36]).
1.1.6 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat
Yasmin (2010, [38])
Ta có
f(x) = f (z
n
) +
x

z
n
f

(t)dt,
12
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n
= −
f(z
n
)
f


x+z
n
2

.
Coi x
∗
≈ x và x
n+1
≈ x, ta có
x
n+1
= z
n
−
f(z
n
)
f


x

n
)f(y
n
)
f(x
n
) −2f(y
n
)
,
z
n
= y
n
−
f(y
n
)
f

(y
n
)
,
y
n
= x
n
−
f(x

)
f

(y
n
)
,
ω
n
= y
n
−
1
2

(x
n
− y
n
)f(y
n
)
f(x
n
) −2f(y
n
)
+
f(y
n

n
chúng ta có thể loại bỏ đạo hàm cấp hai và xấp xỉ f

(y
n
)
bởi:
f

(y
n
) ≈ 2
f(y
n
) −f(x
n
)
y
n
− x
n
− f

(x
n
).
Khi đó sơ đồ lặp trên trở thành




2

(x
n
−y
n
)f(y
n
)
f(x
n
)−2f(y
n
)
+
f(y
n
)
2
f(y
n
)−f(x
n
)
y
n
−x
n
−f


n
)
f

(y
n
)
.
Người ta đã chứng minh công thức lặp (1.11) hội tụ bậc 8 (xem [38]).
1.1.7 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2005, [13])
Thay vì sử dụng hàm y = f(x) như của Newton - Raphson thì Homeier lại sử dụng
hàm ngược của nó:
x(y) = x(y
n
) +

y
y
n
x

(η)dη,

y
y
n
x

(η)dη ≈ R
m

j
= 1 và
m

j=1
ω
j
τ
j
=
1
2
sao cho R
m
có bậc nhỏ nhất
là 1.
Ta có
x(y) = x(y
n
) + (y −y
n
)
m

j=1
ω
j
x

(ξ

j
x

(ξ
j
).
Vì ξ
j
= y
n
+ τ
j
(y − y
n
) = (1 − τ
j
)y
n
nên x
∗
= x
n
− y
n
m

j=1
ω
j
x

Chúng ta có đánh giá x
n,j
= x

(1 −τ
j
)y
n

. Khai triển Taylor hàm x

(1 −τ
j
)y
n

tại y
n
:
x

(1 −τ
j
)y
n

≈ x(y
n
) + x



(x
n
)
.
Khi đó
x
n,j
= x
n
− τ
j
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Vậy chúng ta có sơ đồ lặp
x
n+1
= x
n
− f(x
n
)
m

2
=
1
2
, τ
1
= 1 − τ
2
= 0 ta có sơ đồ lặp hội tụ bậc ba
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
2

1
f

(x
n
)
+
1
f




x
n
f

(t)dt ≈
x −x
n
2

f

(x
n
) + f

(x)

+
(x −x
n
)
2
12

f

(x
n
) −f


(x
n
) −f

(x)

.
Nghiệm x
n+1
của phương trình M
n
(x
n+1
) = 0 được tính như sau:
f(x
n
) +
x
n+1
− x
n
2

f

(x
n
) + f


12f(x
n
) + (x
n+1
− x
n
)
2

f

(x
n
) −f

(x
n+1
)

6

f

(x
n
) + f

(x
n+1
)

(x
n
) + f
2
(x
n
)

f

(x
n
) −f

(x
n+1
)

6f
2
(x
n
)

f

(x
n
) + f


f

(x
n
) −f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)


6f
2
(x
n
)

f

(x
n

(x
n
)
2f
2
(x
n
) −f(x
n
)f

(x
n
)
thì ta thu được phương pháp hội tụ bậc bốn:
x
n+1
= x
n
−
12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n

y
n
= x
n
−
2f(x
n
)f

(x
n
)
2f
2
(x
n
) −f(x
n
)f

(x
n
)
.
Kết hợp công thức (1.16) và phương pháp Newton người ta lại thu được phương pháp
hội tụ bậc sáu:
z
n
= x
n

)


6f
2
(x
n
)

f

(x
n
) + f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)


,

, c
j
=
f
(j)
(x
∗
)
j!f

(x
∗
)
, j = 2, 3, Sử dụng khai triển Taylor mở
16
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
rộng tại x
∗
:
f(x
n
) = f

(x
∗
)(e
n
+ c

(x
n
) = f

(x
∗
)(2c
2
+ 6c
3
e
n
+ 12c
4
e
2
n
+ ),
f(x
n
)
f

(x
n
)
=
e
n
+ c

+ c
3
)e
3
n
+ (−3c
4
+ 7c
2
c
3
− 4c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Kết hợp với phương pháp Newton y
n
= x
n
−
f(x
n
)
f

e
2
n
+ 2(c
2
2
+ c
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
),
f

(y
n
) = 1 + 2c
2
2
e
2
n
− 4(−c
3
+ c
2
2

3
n
+ O(e
4
n
).
Đặt





k
1
= 12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n
)[f

(x
n
) −f


e
2
n
+ 12(90c
3
+ 96c
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
),
k
2
= 12 + 60c
2
e
n
+ (90c
3
+ 108c
2
2
)e
2
n
+ + O(e

n
+ O(e
5
n
). (1.19)
Từ (1.16) và (1.19) ta có
e
n+1
+ x
∗
= e
n
+ x
∗
−

e
n
− c
2
2
e
3
n
+ (−
7
2
c
2
c

)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Điều đó chứng tỏ công thức lặp (1.16) hội tụ bậc ba.
Định lý 2. Giả sử hàm
f : I ⊂ R → R
với I là khoảng mở có một nghiệm đơn x
∗
. Nếu
f(x) là một hàm đủ trơn trong lân cận của nghiệm x
∗
thì phương pháp lặp xác định bởi
17
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
(1.17) hội tụ bậc bốn.
Chứng minh: Từ phương pháp Halley ta có
y
n
= (−c
3
+ c
2
2
)e

n
+ (−3c
4
+ 6c
2
c
3
− 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
),
f

(y
n
) = 1 + 2(−c
3
+ c
2
2
)c
2
e
3

)c
3
e
3
n
− 18c
3
(c
4
− 2c
2
c
3
+ c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Đặt





l

) + f

(y
n
)].
⇒





l
1
= 12e
n
+ 60c
2
e
2
n
+ (90c
3
+ 96c
2
2
)e
3
n
+ + O(e
5

3
2
e
4
n
+ O(e
5
n
). (1.20)
Từ (1.17) và (1.20) ta thu được
e
n+1
+ x
∗
= e
n
+ x
∗
−

e
n
− c
3
2
e
4
n
+ O(e
5

− c
2
2
e
3
n
+ (−
7
2
c
2
c
3
+ 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
)
⇒ z
n
= c
2
2
e
3

2
2
e
3
n
+ (
7
2
c
2
c
3
− 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
),
f

(z
n
) = 1 + 2c
3
2
e

Ví dụ
Các ví dụ dưới đây giúp chúng ta so sánh phương pháp Newton (PPN), phương
pháp của Homeier [13] (PPH) và các phương pháp (1.16) (N1), (1.17) (N2) và (1.18) (N3)
(Bảng 2). Ta có thể sử dụng phần mềm Maple 13 để tính toán và lấy nghiệm xấp xỉ với
sai số
|f(x
n
)| < 10
−15
|x
n+1
− x
n
| < 10
−15
.
Xét các hàm số sau và thực hiện tính toán tìm nghiệm gần đúng x
∗
chính xác đến số
thập phân thứ 27.
f
1
(x) = cosx − x, x
∗
= 0.739085133215606416553120876
f
2
(x) = x
3
+ 4x

−15
.
19
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên