Tác giả xin được bày tở lòng biết ơn chân thành tới T.s Khuất Văn Ninh,
người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận
văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy
Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý
thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cún và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, thảng 6 năm 2013 Học viên
Nguyễn ngọc Bình
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cún của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của T.s Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên
Nguyễn ngọc Bình
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
Mỏ Đầu
1. Lý do chon đề tài
Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học đề cập đến.
Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn và có hiệu lực
mạnh mẽ. Nhưng trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên
nhân chỉ có tính chất gần đúng, do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên
cứu các phương trình toán tủ' theo quan điểm xấp xỉ
Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ của phương trình toán tử rất phong
phú đa dạng. Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai
với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có

tính điện tử.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức. Hàm
thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:
/) /?(*)>0 \/XGX; P(X) = 0<^>X = 0.
iĩ) /?(Ẳx) = |>l|jơ(jt) V/lEK VxeX.
ỉiỉ) p(x + y)<p(x) +p{y)
Không gian vectơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian
định chuẩn.
Sau này ta luôn dùng ký hiệu ||.II để chỉ một chuẩn trên không gian định
chuẩn X.
Không gian định chuấn X là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn:
4
d(x, j) = ||x-y||.
1.1.2. Không gian Banach
Không gian định chuẩn X là không gian mêtric đầy với mêtric sinh bởi
chuẩn được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1
Cho không gian Cị ^. Với x(r),y(í) eCj
h
yk e M, ta định nghĩa:
/)(*+ ;y)(í) = *(/) + V/e[a,&].
/z)(Ấ2t)(/) = &.*(/), Vre[ữ,&].
Như vậy với hai phép toán trên, không gian là một không gian vectơ trên
trường số R .
Với if/)eCr ,1, đặt llxll = maxlxiril lúc đó ta có ||.|| là một chuẩn trên
V ) M’ • I I II V ỉI IN I
Cị

\_
f ” ,2 V
Với xe/
2
, đặt 11*1 = 2JX;! , lúc đó ta có ||.|| là một chuân trên /
2
, và /
2
V i=1 )
cùng với chuấn đó là một không gian Banach.
1.2. Nguyên lý ánh xạ co
Banach Định nghĩa 1.2.1
5
Cho hai không gian metric Mị =(X,d
]
),M
2
=(Y,d
2
) . Ánh xạ A: M, —» M
2

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 < 6 < 1 sao cho: d
2
(A(x),A(y)^<ỡdị(x,ỵ), Vx,y
G X .
Định lý 1.2.1
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M =(x,d ) vào chính nó đều
có điểm bất động X duy nhất, nghĩa ìầ X eX thỏa mãn hệ thức Ax =x.
Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ A: X —» X thỏa mãn điều kiện

(1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn
n = 1,2,
7
(1.2)
Trong đó x
0
là phần tử tùy ý trong X. Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác
định bởi một trong các công thức
<-^llx
0
-A(x
0
)ll,
1-a
trong đó X* là nghiệm của phương trình (1.1)
Chủng minh. Trước hết ta chứng minh rằng dãy {x } là dãy cơ bản từ đó
suy ra sự hội tụ của nó.
Ta có
Ik
+
I - N H*») -
A{
-
x
»~' )|| -
a
k -
X
«-1 II’
k

n
_
x
) = A(x).
n—>oc
Cho nên Jt*=i4(/).
Điều này có nghĩa là X* là nghiệm của phương trình (1.1).
8
<a
n
(1.3)-X x
0
-x
(1.4)
X., -X
(1.5)
Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.1) là duy nhất. Kí hiệu X,
y là nghiệm của phương trình (1.1).
Khi đó
II* " >1
=
ll
A
W - ^(y)|| ^ a||* - y||
Vì a < 1 nên x = ỵ.
Có thể nhận được bất đẳng thức (1.4) bằng cách cho k —>00 trong công
thức (1.5). Còn công thức(l .3) nhận được từ bất đẳng thức sau:
*
x„—
<a

0
|| <
<a||x-x
0
|| + (l -a)r
Áp dụng đinh lí 1.3.2 ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.3.4
Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một lũy
thừa nào đó A
k
của toán tử A là một toán tử co trong X. Khi đó phương
9
trình (1.1) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2). Tốc
độ hội tụ được xác định bằng công thức
n>k;
Trong đó a < 1 là hệ số co của toán tò A
k
.
Chứng minh.
Theo định lí 1.3.1, X* là điểm bất động của toán tủ’ A
x=A
k
{x)
Khi đó A*[A(jc*)] = A[A*(jt*)] = A(jc*),
Nghĩa là /4(x*)là điểm bất động của toán tử A
k
. Do đó tính chất duy nhất
của điểm bất động của toán tử A
k
, ta suy ra

0
u = 0,1,2, ) .
£
mk
<a
m
'e* (m = 0,1,2, )
Hay là
B„<(ịỊãy
n
-
m
£
t
, (n>k)
Cho n tiến đến vô hạn ta được
limx„ = X*.
/ỉ—>00
Định lí được chúng minh.
Định lí 1.3.5
Giả sử X là một không gian Banach, toán tử F ( x , ỵ ) tác động từ X x X
vào X và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||F(x, j)-F(x)-F(ỹ)||<a||x-x|| + p||j-ỹ|| trong đó a + p<l.
Khi đó phương trình X = F(x,x) có nghiệm duy nhất và nghiệm này là
giới hạn của dãy
x
n
=F(x
n
,x

phưoìig trình toán tử
1.4.1. Khái nỉệm toán tử đơn điệu
Giả sử X là không gian định chuấn thực, X* ỉà không gian liên hợp của
X . Toán tử Ấ: D(/4)<= X -»X* được gọi là toán tử đơn điệu trên D(Á)
nếu:
(1.7)
Trong đó (A,x) = A^x)(Gỉả trị của phiếm hàm A tạỉx).
Nếu Vxj€ỡ(x) ta có (a(x) - A(y),x- Ỷ)
>
0 thì toán tử A được gọi là đơn
điệu thật sự (nghiêm ngặt).
Ví dụ 1.4.1. Cho không gian Hilbert H. Khi đó ta có H* =H, xét toán tử Ta có
(A(x)-A(y),x-y} = (A(x)-A(y),x-y).
LÚC đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi
(A(x)-A(;y),.x- y)>0, Vx,yeH.
1.4.2. Toán tử d-đon điệu
Cho không gian định chuắn X, toán tử A:X —> X* gọi là d-đơn điệu
nếu:
(Au - AV,U - v) >(a(||w||) —a(||v||))(||w|| —||v||).
Với a là hàm sổ tăng thật sự trên [0,+oo).
(1.8
)
1.4.3. Toán tử đơn điệu đều
Cho không gian định chuan X, toán tử A: X —> X* gọi là đơn điệu đều
nếu :
(1.9)
1.4.4. Toán tử đơn điệu mạnh
Cho không gian định chuân X, toán tử A: X —» X* gọi là đơn điệu
mạnh nếu tồn tại hang số m > 0 sao cho:
(1.10)

1.5.1. Toán tử đêmi liên tục
Giả sử X,Y là hai không gian định chuẩn và ánh
xạ A:X —»y.
Ảnh xạ A được gọi ỉà đêmỉ liên tục tại i
0
eD(A)cX nếu với mọi dãy {x^l c=
D mà ||jc
n
— JC
0
II —> 0 khi n —»00thì hội tụ yếu về G(x
0
).
1.5.2. Toán tử hêmi liên tục
Giả sử X , Y là hai không gian định chuân và ảnh
xạ A:X —>Y.
Ảnh xạ A được gọi là hêmi liên tục tại x
()
E Dị^À) d X nếu A(x
0
+Df) —»
A(x
0
) khỉ t —y0.
lim
|H||
—»
CO
= +00.
Như vậy nêu A là toán tử coercive thì: lim

0
Ax
2
Ị| = £o||A
x
i “ Ax
2
II Do A thỏa
mãn điều kiên Lipschitz nên
^oIỊAXị - Ax
2
|| < £
0
L ị x ị — x
2
ị AXj -^
0
Ax
2
||<£-
0
L||x, - X
2
\ \
Mà 0 < S
0
L < 1 suy ra £
0
A là toán tử co.
Giả sử nghiệm của phương trình (2.1) là x(£)và giả sử x(s

0
A F ~
]
F
2
' \ . . F ~ \ _
2
u = F
n
_
]
u Hay x + Ax = x + £
ữ
Ax+
£
ữ
Ax+ + £
Q
AiX = f Thực hiện N-l phép thay
biến: y = x + £
0
Ax = F,x z = y + s
ữ
AF-'y = F
2
y
. (2.4)
® = 1> + £
0
AF, 'F

x
(ữ là ánh xạ co với hệ số co q = s
a
L<\
Thật vậy:
Do S
0
A là toán tử co do đó với y tùy ý thuộc X phương trình FịX = X +£
( )
AX
= ỵ có nghiệm duy nhất.
Vì vậy toán tử F~' và F
2
xác định tại tất cả các điểm của không gian X.
Toán tử F~
]
thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L=1 vì:
x
m
=yAx
ffl
-^Ax
A
.+f, m=0,l,2, ; k=0,l,2 Vy^ỵ
2
eX,
đặt F~
ỉ
y
ỉ

< II*! -x
2
+ 2f
0
(AXj - AX
2
)||
= ||(x
l
ч-б^Ах,)-^ + £
0
AX
2
) + f
0
Ax, -£
,
0
Ax
2
||
= \\у\ - У2+£(>
AF
T' У\ - у2 II
—
^1 )
—
(^2 -^2)!
= ll^ï — z
2

x,„ = - 2
Ax
»
+ y
"'
x
»
cho tùy
ý’
m
=
2
-
Dưới dạng tống quát có thế viết quá trình lặp như sau:
*
m+l
=yAx,„ -^Ax+f, m=0,l,2, ; k=0,l,2, (2.11)
Ta có thế hiếu cách viết (2.11) như sau.
Ta lấy xấp xỉ không J
0
= X và dựng quá trình lặp
*™
+
i= 2
Ax
™ 2
A
*
+f
’

Ax
»‘ - 2
Ax
»' - -^
Ax
f
+f ; m
>
n
’ (2-12)
2.1.2. Ước lượng tốc độ hội tụ
Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách tự nhiên là
trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp. Ta sẽ ước lượng
sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng
n phép lặp. Ta giả thiết toán tử trong định lý (2.1) thỏa mãn điều kiện A(0) = 0.
Định lý 2.1.2
Giả sử ánh xạ A tác động trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục
Lipschitz với hằng số Lipschitz L. Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ{x(n,N)Ị, N>L,
n=l,2, được dựng trong quá trình lặp (2.12), hội tụ đến nghiệm đúng X của phương
trình (2.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng
Trong đó {i(n) = -f^\\fịn = \,2,:. K =ị-, n = 1,2,
\-q N
Chứng minh:
Ta thiết lập ước lượng Bài toán 1 (một bước theo tham biến £)
Xét phương trình X + £
0
Ax=f
Vì toán tử £
0
A là toán tử co vói hệ số co q = €

y
n
=-£
0
AF-'+f (2.14)
Với sai số ju(n). Vì toán tử e
ữ
A co với hệ số co q = s
ữ
L<\ nên sai số ju(n) cho
đối số của toán tử s
ữ
A tương đương với sai số qju(n) cho vế phải của phương trình
y + s
0
AF
i
"'y = f.
Vì ánh xạ F
2
~' liên tục Lipschitz với hàng số L=l, nên mang sai số qju(n) vào vế
phải của phương trình y + £
0
AF,
-1
y
=
/ sẽ gây ra trong nghiệm tương ứng sai số
không quá qụịrỉ).
Sai số ju(n) sau một số hữu hạn n phép lặp khi giải phương trình y + £

Lý luận tương tự với bài toán k:
X + ksAx = / , /■ e [1,7V] ta thu được ước lượng
lk-x(ks
ữ
)\\ = A
k
(n)<ổ
k
(n) + S
l
(n), (2.15)
ổịin) <q[ổ
i
_
Ị
(rì) + + ổ
]
(n)'ị + ju(n), \<ỉ <k (2.16)
Trong đó n là số các phép lặp thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng. Viết bất
đẳng thức (2.16) dưới dạng khác
s
k
< jUexp[q(k — l)], k =2,3,4, , (2.17)
Do đó có thê viêt ước lượng sai sô (2.16) đới với bài toán K dưới dạng sau đây
nếu lưu ý đến ước lượng (2.16)
\x
n
- X(K£
0
)\\ -

" tương thích với chuẩn của vectơ
trong R
n
được xác định bởi hệ thức:
\\A\\ = sup^yl = sup|| Ax||.
Trong không gian R
n
, chúng ta thường dùng một trong 3 công thức sau:
HI =max|x|;
II Iioo I 'I
1 [n ì /2
14=(*'*) =||>/
2
j •
Khi đó các chuẩn tương ứng thích của ma trận A sẽ là:
n
MI. = m a x V ứ ;
11 1,00
!<*<« “1
J
H
n
11^11, = max V \a
114 = /max /l
i
(Á
ĩ
A).
V i</<«
Trong đó Ả(A

ổ
l
1*1
1-
llổl
Chứng minh:
Ta có
V
(Bx-Bỵ,x-y) = (B(x-ỵ\x-y)
Đặt z = x-y.
Khi đó (Bx-Bỵ,x-ỵ} = (Bz,z)>0 ( do B là ma trận của dạng toàn phương xác
định dương).
Do đó B là toán tử đơn điệu trong R
n
.
Mặt khác ta có :
II Bx - 5>j| = \\B(x - y)|| < II Bị II* - y\\
Suy ra toán tò B thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
B thỏa mãn điều kiện đơn điệu và liên tục Lipschitz do đó phương trình
(2.19) có nghiệm duy nhất.
2.2.2. Giải hệ phưoìig trình tuyến tính bằng phưoìig pháp thác triển
theo tham số
Xét phương trình:
x = Bx + f.
Trong đó
' a
n
.

a